A number of the form 2^n-1,n=1,2,3…

A number of the form 2^n-1,n=1,2,3… is called a Mersenne number (denoted by M_n) after the Franciscan friar Marin Mersenne (1588-1648). If 2^n-1 is prime, it is called a Mersenne prime. It is easy to show that if 2^n-1 is prime, then n itself is prime. However, 2^n-1 is not necessarily prime for every prime number n; for example, for 〖n=11,2〗^n-1=89∙23
Each Mersenne prime immediately leads to a perfect number [12]. Euclid’s formula for a perfect number, (2^n-1)∙ 2^n-1, depends upon the first factor’s being a prime number. This has been a motivation in the search for Mersenne prime.

In 1750 Leonhard Euler proved that M_31 is prime. In 1876 the French mathematican Edouard Anatole Lucas showed that M_127, a number named by 39 digits, is prime. It has been conjectured (but not proved) that the number of Mersenne primes is infinit. Since there are certain tests that can be applied to determine whether a given M, is prime or composite, the use of computers has permitted the checking of extremely large Mersenne numbers.
In the early 1950’s M_2,281 was found to be prime, but M_8,191 (after a hundred hours of machine computation) was found to be composite. In 1961 the American mathematician Alexander Hurwitz found that M_4,253 is prime ; this is the first known prime to possess more than 1,000 digits in decimal expansion. The machine time to test M_4,423 (leading to the twentieth perfect number, containing 2,663 digits) was about fifty minutes on an IBM 7090.
The largest known prime is the Mersenne prime 2^11,213-1 ,containing 3,376 digits.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จำนวนแบบฟอร์ม 2 ^ n-1, n = 1, 2, 3...เรียกว่าหมายเลข Mersenne (เขียนแทน ด้วย M_n) หลังไฟรอาร์ฅั้ Marin Mersenne (1588-1648) ถ้า 2 ^ n-1 เป็นนายก เรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะแมร์ มันง่ายที่จะแสดงว่าถ้า 2 ^ n-1 เป็นนายก แล้ว n ตัวเองเป็นนายก อย่างไรก็ตาม 2 ^ n-1 ไม่จำเป็นต้องเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ n ตัวอย่างเช่น 〖n = 11, 2〗 ^ n-1_=_89∙23 แต่ละแมร์ทันทีนำไปเหมาะ [12] จำนวนสมบูรณ์ สูตรของ Euclid (2 ^ n-1) ∙ 2 ^ n-1 ขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกเป็นจำนวนเฉพาะ นี้ได้รับการจูงใจในการค้นหาสำหรับแมร์ ใน 1750 นฮาร์ดออยเลอร์พิสูจน์ว่า M_31 นายก ใน 1876 mathematican ฝรั่งเศสลูคัส Anatole ปริ๊นซ์เอดูอาร์พบว่า M_127 หมายเลขที่ตั้งชื่อตามหลัก 39 นายก จะได้รับ conjectured (แต่ไม่จริง) ว่าจำนวนของ Mersenne ไพรม์ infinit เนื่องจากมีบางการทดสอบที่สามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าการกำหนด M เป็นนายก หรือคอมโพสิต การใช้คอมพิวเตอร์ได้รับอนุญาตการตรวจสอบหมายเลข Mersenne ขนาดใหญ่มาก ในช่วงปี 1950 M_2 พบ 281 จะ นายก แต่ M_8, 191 (หลังจากร้อยชั่วโมงของเครื่องจักรคำนวณ) พบว่ามีคอมโพสิต ในปีค.ศ. 1961 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Hurwitz อเล็กซานเดอร์พบว่า M_4, 253 เป็นนายก นายกรู้จักแรกมีมากกว่า 1,000 ตำแหน่งทศนิยมขยายอยู่ เวลาเครื่องทดสอบ M_4, 423 (นำจำนวนสมบูรณ์ยี่สิบ ที่ประกอบด้วยตัวเลข 2,663) คือประมาณ 50 นาทีบนการ IBM 7090 นายกที่รู้จักมากที่สุดคือ นายก Mersenne 2 ^ 11, 213-1 ที่ประกอบด้วยตัวเลข 3,376

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนของรูปแบบ 2 ^ n-1 n = 1,2,3 ... เรียกว่าเป็นจำนวนเซนเน (แสดงโดย m_n) หลังจากที่ฟรานซิสคริสตศาสนา Marin Mersenne (1588-1648) ถ้า 2 ^ n-1 เป็นนายกจะเรียกว่าเซนเนนายก มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้า 2 ^ n-1 เป็นนายกแล้ว n ตัวเองเป็นสำคัญ อย่างไรก็ตาม 2 ^ n-1 ไม่จำเป็นต้องเป็นสำคัญสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ n; ตัวอย่างเช่นสำหรับ〖 n = 11,2 〗 ^ N-1 = 89 23 ∙
แต่ละนายกเซนเนทันทีนำไปสู่จำนวนสมบูรณ์ [12] สูตรของ Euclid สำหรับจำนวนที่สมบูรณ์แบบ (2 ^ n-1) ∙ 2 ^ n-1 ขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกของการเป็นจำนวนเฉพาะ นี้ได้รับแรงจูงใจในการค้นหาเซนเนนายก.

ใน 1750 Leonhard ออยเลอร์ได้รับการพิสูจน์ว่า M_31 เป็นสำคัญ ใน 1876 mathematican ฝรั่งเศส Edouard Anatole ลูคัสแสดงให้เห็นว่า M_127 จำนวนหนึ่งชื่อ 39 หลักเป็นสำคัญ มันได้รับการคาดคะเน ( แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์) ว่าจำนวน Mersenne เป็นจำนวนเฉพาะ infinit เนื่องจากมีการทดสอบบางอย่างที่สามารถนำมาใช้เพื่อตรวจสอบว่าได้รับ M เป็นนายกหรือคอมโพสิต, การใช้คอมพิวเตอร์ได้รับอนุญาตตรวจสอบหมายเลข Mersenne ขนาดใหญ่มาก.
ในช่วงต้นปี 1950 M_2,281 ถูกพบว่าเป็นนายก แต่ M_8 191 (หลังจากที่ร้อยชั่วโมงของการคำนวณเครื่อง) ถูกพบว่าเป็นคอมโพสิต ในปี 1961 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันอเล็กซานเด Hurwitz พบว่า M_4,253 เป็นสำคัญ; นี้เป็นครั้งแรกที่สำคัญที่รู้จักกันที่จะมีมากกว่า 1,000 ตัวเลขทศนิยมในการขยายตัว เวลาเครื่องเพื่อทดสอบ M_4,423 (นำไปสู่จำนวนสมบูรณ์ยี่สิบมี 2,663 ตัวเลข) คือประมาณห้าสิบนาทีไอบีเอ็ม 7090.
ที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักกันเป็นนายกเซนเนนายก 2 ^ 11,213-1 มีตัวเลข 3,376