Essential norm of generalized weigh

Essential norm of generalized weighted composition operators on Bloch-type spaces
Xiangling Zhu, a, b,


Show more


doi:10.1016/j.amc.2015.10.061

Get rights and content








Abstract

In this paper, we give some estimates of the essential norm for generalized weighted composition operators on Bloch-type spaces. Moreover, we give a new characterization for the boundedness and compactness of the generalized weighted composition operator on Bloch-type spaces.

Keywords
Bloch-type space;
Essential norm;
Generalized weighted composition operator

MSC
30H30;
47B38



1. Introduction

Let DD be the open unit disk in the complex plane CC and H(D)H(D) be the space of analytic functions on DD. Let α ∈ (0, ∞). An f∈H(D)f∈H(D) is said to belong to the Bloch-type space (or the α -Bloch space), denoted by Bα,Bα, if


View the MathML source∥f∥α=supz∈D(1−|z|2)α|f′(z)| 1, they obtained the following result.


Theorem A.

Suppose α > 1 and 0 < β < ∞ and suppose that uCφ:Bα→BβuCφ:Bα→Bβis bounded. Then


View the MathML source∥uCφ∥e,Bα→Bβ≈max(lim supj→∞jα−1∥Iu(φj)∥Bβ,lim supj→∞jα−1∥Ju(φj)∥Bβ),

Turn MathJax on
where

View the MathML sourceIuf(z)=∫0zf′(ζ)u(ζ)dζ,Juf(z)=∫0zf(ζ)u′(ζ)dζ.

Turn MathJax on




In [30], Wu and Wulan proved that CφDn:B→BCφDn:B→B is compact if and only if View the MathML sourcelim|a|→1∥CφDn(a−z1−a¯z)∥B=0. Motivated by this, in [39], we consider the case of the operator View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβ and obtained the following result.


Theorem B.

Let n be a positive integer, 0 < α, β < ∞, u∈H(D)u∈H(D)and φ be an analytic self-map of DDsuch that View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβis bounded. Then the following statements are equivalent.

(a)


View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβis compact.

(b)




View the MathML sourcelim|a|→1∥Dφ,un(1−|a|2(1−a¯z)α)∥Bβ=0andlim|a|→1∥Dφ,un((1−|a|2)2(1−a¯z)α+1)∥Bβ=0.

Turn MathJax on


(c)




View the MathML sourcelim|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u(z)∥φ′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α=0andlim|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α−1=0.

Turn MathJax on





Motivated by [6], the purpose of this paper is to give some estimates of the essential norm for the operator View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβ. Moreover, we give a new characterization for the boundedness, compactness and essential norm of the operator View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβ.

Throughout this paper, we say that P ≲ Q if there exists a constant C such that P ≤ CQ. The symbol P ≈ Q means that P ≲ Q ≲ P.



2. Essential norm of View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβ

In this section, we give two estimates of the essential norm for the operator View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβ.


Theorem 2.1.

Let n be a positive integer, 0 < α, β < ∞, u∈H(D)u∈H(D)and φ be an analytic self-map of DDsuch that View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβis bounded. Then


View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ≈max{A,B}≈max{E,F},

Turn MathJax on
where

View the MathML sourceA:=lim sup|a|→1∥Dφ,un(1−|a|2(1−a¯z)α)∥Bβ,B:=lim sup|a|→1∥Dφ,un((1−|a|2)2(1−a¯z)α+1)∥Bβ,

Turn MathJax on


View the MathML sourceE:=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u(z)∥φ′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α,F:=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α−1.

Turn MathJax on




Proof.

First we prove that View the MathML sourcemax{A,B}≤∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ.

Let a∈Da∈D. Define


View the MathML sourcefa(z)=1−|a|2(1−a¯z)α,ga(z)=(1−|a|2)2(1−a¯z)α+1,z∈D.

Turn MathJax on
It is easy to check that View the MathML sourcefa,ga∈B0α and ∥fa∥Bα≲1,∥ga∥Bα≲1∥fa∥Bα≲1,∥ga∥Bα≲1 for all a∈Da∈D and fa, ga converges to 0 weakly in BαBα as |a | → 1. This follows since a bounded sequence contained in View the MathML sourceB0α which converges uniformly to 0 on compact subsets of DD converges weakly to 0 in BαBα (see [14]). Thus, for any compact operator K:Bα→Bβ,K:Bα→Bβ, we have

View the MathML sourcelim|a|→1∥Kfa∥Bβ=0,lim|a|→1∥Kga∥Bβ=0.

Turn MathJax on
Hence

View the MathML source∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim sup|a|→1∥(Dφ,un−K)fa∥Bβ≥lim sup|a|→1∥Dφ,unfa∥Bβ−lim sup|a|→1∥Kfa∥Bβ=A,

Turn MathJax on
and

View the MathML source∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim sup|a|→1∥(Dφ,un−K)ga∥Bβ≥lim sup|a|→1∥Dφ,unga∥Bβ−lim sup|a|→1∥Kga∥Bβ=B.

Turn MathJax on
Therefore, from the definition of the essential norm, we obtain

View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ=infK∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳max{A,B}.

Turn MathJax on
Next, let {zj}j∈N{zj}j∈N be a sequence in DD such that |φ(zj)| → 1 as j → ∞. Define

View the MathML sourcehj(z)=1−|φ(zj)|2(1−φ(zj)¯z)α−αα+n(1−|φ(zj)|2)2(1−φ(zj)¯z)α+1,

Turn MathJax on
and

View the MathML sourcekj(z)=1−|φ(zj)|2(1−φ(zj)¯z)α−αα+n+1(1−|φ(zj)|2)2(1−φ(zj)¯z)α+1.

Turn MathJax on
Similarly to the above we see that both hj and kj belong to View the MathML sourceB0α and converges to 0 weakly in BαBα. Moreover,

View the MathML sourcehj(n)(φ(zj))=0,|hj(n+1)(φ(zj))|=α(α+1)⋯(n+α−1)|φ(zj)|n+1(1−|φ(zj)|2)n+α,

Turn MathJax on
and

View the MathML source|kj(n)(φ(zj))|=α(α+1)⋯(n+α−1)n+α+1|φ(zj)|n(1−|φ(zj)|2)n+α−1,kj(n+1)(φ(zj))=0.

Turn MathJax on
Then for any compact operator K:Bα→Bβ,K:Bα→Bβ, we obtain

View the MathML source∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞∥Dφ,un(hj)∥Bβ−lim supj→∞∥K(hj)∥Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u(zj)∥φ′(zj)∥φ(zj)|n+1(1−|φ(zj)|2)n+α

Turn MathJax on
and

View the MathML source∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞∥Dφ,un(kj)∥Bβ−lim supj→∞∥K(kj)∥Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u′(zj)|φ(zj)|n(1−|φ(zj)|2)n+α−1.

Turn MathJax on
From the definition of the essential norm, we obtain

View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ=infK∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u(zj)∥φ′(zj)|(1−|φ(zj)|2)n+α=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u(z)∥φ′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α=E,

Turn MathJax on


View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ=infK∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u′(zj)|φ(zj)|n(1−|φ(zj)|2)n+α−1=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u′(z)|(1−|φ(z)|2)n+α−1=F.

Turn MathJax on
Hence

View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ≳max{E,F}.

Turn MathJax on


Now, we prove that


View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ≲max{A,B}and∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ≲max{E,F}.

Turn MathJax on
For r ∈ [0, 1), set Kr:H(D)→H

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปกติสำคัญของตัวดำเนินการส่วนประกอบน้ำหนักเมจแบบทั่วไปบนช่องว่างของเม็ดเลือดขาวชนิดซู Xiangling, a, b ดูเพิ่มเติมdoi:10.1016/j.amc.2015.10.061ได้รับสิทธิและเนื้อหาบทคัดย่อในเอกสารนี้ เราให้บางประเมินปกติจำเป็นสำหรับเมจแบบทั่วไปองค์ประกอบของน้ำหนักตัวในช่องว่างของเม็ดเลือดขาวชนิด นอกจากนี้ เราให้จำแนกใหม่ boundedness และ compactness ดำเนินเมจแบบทั่วไปถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบในช่องว่างของเม็ดเลือดขาวชนิดคำสำคัญเม็ดเลือดขาวชนิดพื้นที่ ปกติจำเป็น น้ำหนักองค์ประกอบดำเนินการตั้งค่าทั่วไปปริญญาโทจาก30H 30 47B381. บทนำให้ดีดีที่จะเปิดหน่วยดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน CC และ H(D)H(D) เป็นพื้นที่ของฟังก์ชันคู่บน DD. ให้ด้วยกองทัพ∈ (0 ∞) F∈H(D)f∈H(D) กล่าวได้ว่า เป็นพื้นที่ชนิดของเม็ดเลือดขาว (หรือด้วยกองทัพ-พื้นที่เม็ดเลือดขาว), สามารถบุ ด้วย Bα, Bα ถ้า ดู MathML source∥f∥α = supz∈D (1−|z|2) α|f′ (z) | < ∞เปิด MathJaxBαBα เป็นพื้นที่ Banach ภายใต้ ∥f∥Bα ปกติ = |f (0) | + ∥f∥α∥f∥Bα = |f (0) | + ∥f∥α เมื่อด้วยกองทัพ = 1 ด้วยกองทัพ = 1, B1 = BB1 = B คือ พื้นที่เม็ดเลือดขาวคลาสสิก F∈Bαf∈Bα กล่าวได้ว่า เป็นของเล็กน้อยเม็ดเลือดขาวชนิดพื้นที่ดู MathML sourceB0α (หรือด้วยกองทัพน้อย-พื้นที่เม็ดเลือดขาว) ถ้า lim|z|→1|f′ =0.lim|z|→1|f′ |α (1−|z|2) (z) (z) | ด้วยกองทัพ (1−|z|2) = 0 ดู [35] ในทฤษฎีของช่องว่างของเม็ดเลือดขาวชนิดΦเป็น nonconstant ที่สร้างให้ตนเองแผน DD และ you∈H(D)u∈H(D) ตัวถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบ สามารถบุ โดย uCφ กำหนดไว้ดังนี้: ดู MathML sourceuCφf=u(z)·f(φ(z)),f∈H(D)เปิด MathJaxเมื่อคุณ = 1, u = 1 เราได้รับองค์ประกอบตัวดำเนินการ สามารถบุ โดย Cφ เมื่อφ (z) = z φ (z) = z เรารับตัวดำเนินการคูณ สามารถบุจากหมู่ให้ n เป็นจำนวนเต็ม nonnegative ตัวเส้นดำเนินการ สามารถบุ ด้วย sourceDφ MathML, un ถูกกำหนดเป็นดังนี้ (ดู เช่น, [36]): ดู MathML source(Dφ,unf)(z)=u(z)·f(n)(φ(z)), f∈H (D), z∈Dเปิด MathJaxตัวนี้เรียกว่าตัวประกอบเมจแบบทั่วไปถ่วงน้ำหนัก และถูกนำมาใช้ โดยผู้เขียนเอกสารนี้ แรงจูงใจ โดยการศึกษาก่อนหน้านี้ของผลิตภัณฑ์ของตัวดำเนินการองค์ประกอบและการสร้างความแตกต่าง (ดู เช่น, [2] และ [7]) เมื่อ n = 0, n = 0 ดู MathML sourceDφ สหประชาชาติ = uCφ เมื่อ n = 1n = 1 และ you(z)=φ′(z),u(z)=φ′(z) แล้วดู sourceDφ MathML สหประชาชาติ = DCφ ซึ่งได้ศึกษาใน [2], [7], [9], [11], [13], [19], [21] [32] เมื่อคุณ (z) = 1, u (z) = 1 แล้วดู sourceDφ MathML สหประชาชาติ = CφDn ซึ่งได้ศึกษา ตัวอย่าง [2], [19] และ [30] ดู ตัวอย่าง, [5], [23], [24], [25], [33], [36], [37], [38] [39] และสำหรับการศึกษาการดำเนินการองค์ประกอบถ่วงน้ำหนักเมจแบบทั่วไปบนช่องว่างของฟังก์ชันต่าง ๆ เมื่อเร็ว ๆ นี้ ได้มีการสนใจอย่างมากในการศึกษาของผู้ประกอบการผลิตภัณฑ์คอนกรีตชนิดบนโดเมนต่าง ๆ ในระนาบเชิงซ้อน CC หรือ n-มิติพื้นที่ซับซ้อน nCCn สำหรับบางอื่น ๆ ผลิตภัณฑ์ชนิดตัวดำเนินการที่ประกอบด้วยองค์ประกอบตัว เห็น เช่น, [12], [20], [22], [26], [27] [28] และการอ้างอิงและ thereinคุณสมบัติต่าง ๆ ของตัวประกอบ ตัวถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบในเม็ดเลือดขาวชนิดช่องว่างได้ศึกษา ตัวอย่าง [1], [2], [8], [10], [11], [14], [15], [16], [18], [21], [25], [29], [30], [31], [32], [34] และ [39] Tjani ใน [29] พิสูจน์ Cφ:B→BCφ:B→B ที่เป็นเท่านั้นและถ้าขนาดกะทัดรัด ดู MathML sourcelim|a|→1∥Cφ ∥B (1−|a|21−a¯z) = lim|a|→1∥Cφ (a−z1−a¯z) ∥B = 0เปิด MathJaxWulan เจิ้ง และซูได้รับการจำแนกใหม่สำหรับ compactness ที่ผู้ดำเนินการองค์ประกอบ Cφ:B→BCφ:B→B ใน [31], เช่น พวกเขาพิสูจน์ Cφ:B→BCφ:B→B ที่เป็นเท่านั้นและถ้าขนาด limj→∞∥φj∥B=0.limj→∞∥φj∥B=0 ใน [34], เส้าขยายผล [31] ในช่องว่างของเม็ดเลือดขาวชนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ได้รับการเป็นบรรทัดฐานสำคัญของ Cφ:Bα→BβCφ:Bα→Bβ เป็นดังนี้: ดู MathML source∥Cφ∥e, Bα→Bβ = supn→∞nα−1∥φn∥β αlim (e2α)เปิด MathJaxนึกว่า เป็นบรรทัดฐานสำคัญของตัวดำเนินเส้นกี่ t:กำลัง X → Y เป็นระยะห่างจากชุดของผู้ประกอบการขนาดเล็ก K แม็ป X เป็น Y คือ ดู MathML source∥T∥e, X→Y = inf {∥T−K∥X→Y:Kiscompact },เปิด MathJaxX, Y ช่อง Banach และ‖· ‖X → Y ปกติดำเนินได้Ohno, Stroethoff และเจียวศึกษา boundedness และ compactness uCφ:Bα→BβuCφ:Bα→Bβ ตัวใน [18] เป็นบรรทัดฐานสำคัญของ uCφ:Bα→BβuCφ:Bα→Bβ ดำเนินถูกกำหนดใน [14] Manhas และเส้ารับการประเมินบางใหม่สำหรับเป็นบรรทัดฐานสำคัญของ uCφ:Bα→BβuCφ:Bα→Bβ ใน [16] โดยเฉพาะ เมื่อด้วยกองทัพ > 1 พวกเขาได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้ ทฤษฎีบทอ. สมมติว่า ด้วยกองทัพ > 1 และ 0 < β < ∞ และสมมติว่า uCφ:Bα→BβuCφ:Bα→Bβis ที่ล้อมรอบ แล้วดู MathML source∥uCφ∥e, Bα→Bβ≈max (lim supj→∞jα−1∥Iu (φj) ∥Bβ, supj→∞jα−1∥Ju(φj)∥Bβ) ริมเปิด MathJaxซึ่งดู sourceIuf MathML (z) = ∫0zf′ (ζ) u (ζ) dζ, Juf (z) = ∫0zf (ζ) u′ (ζ) dζเปิด MathJaxใน [30], วูและ Wulan พิสูจน์ CφDn:B→BCφDn:B→B ที่เป็นถ้าขนาดเล็กและรับดู MathML sourcelim|a|→1∥CφDn ∥B (a−z1−a¯z) = 0 แรงจูงใจจากนี้ ใน [39], เราพิจารณากรณีผู้ดำเนินการดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβ และได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้ ทฤษฎีบทเกิด ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก 0 < ด้วยกองทัพ β < ∞ u∈H u∈H (D) (D) และφ มีโกดังเองแผน DDsuch ดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβis ล้อมรอบ แล้ว ประโยคเทียบเท่า (a)ดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβis ขนาดกะทัดรัด(b)ดู sourcelim|a|→1∥Dφ MathML สหประชาชาติ (1−|a|2 (1−a¯z) ด้วยกองทัพ) ∥Bβ = 0andlim|a|→1∥Dφ สหประชาชาติ ((1−|a|2) ด้วยกองทัพ (1−a¯z) 2 + 1) ∥Bβ = 0เปิด MathJax(c)ดู |→1 sourcelim|φ (z) MathML ∥φ′ β|u (z) (1−|z|2) (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + ด้วยกองทัพ = 0andlim|φ (z) |→1 β|u′ (1−|z|2) (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + α−1 = 0เปิด MathJaxแรงจูงใจจาก [6], วัตถุประสงค์ของเอกสารนี้คือการ ให้บางประมาณปกติจำเป็นสำหรับผู้ปฏิบัติงานดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβ นอกจากนี้ เราให้จำแนกใหม่สำหรับ boundedness, compactness และบรรทัดฐานสำคัญของตัวดำเนินการดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβทั้งนี้กระดาษ เราบอกที่≲ P Q ถ้ามีการคง C ดังกล่าวที่ P ≤ซี ≈สัญลักษณ์ P Q หมายความ ว่า P ≲ Q ≲พี2. ปกติความสำคัญของมุมมอง MathML sourceDφ, un:Bα→Bβในส่วนนี้ เราให้ประเมินสองของบรรทัดฐานสำคัญสำหรับผู้ปฏิบัติงานดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβ ทฤษฎีบท 2.1 ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก 0 < ด้วยกองทัพ β < ∞ u∈H u∈H (D) (D) และφ มีโกดังเองแผน DDsuch ดู MathML sourceDφ, un:Bα→Bβis ล้อมรอบ แล้วดู MathML source∥Dφ, un∥e, ≈max Bα→Bβ≈max {A, B } {E, F },เปิด MathJaxซึ่งดู MathML sourceA: = lim sup|a|→1∥Dφ สหประชาชาติ (1−|a|2 (1−a¯z) ด้วยกองทัพ) ∥Bβ, B: = lim sup|a|→1∥Dφ สหประชาชาติ ((1−|a|2) ด้วยกองทัพ (1−a¯z) 2 + 1) ∥Bβเปิด MathJaxดู MathML sourceE: lim |→1 sup|φ (z) = (1−|z|2) ∥φ′ β|u (z) (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + ด้วยกองทัพ F: lim |→1 sup|φ (z) = (1−|z|2) β|u′ (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + α−1เปิด MathJaxหลักฐานการ ตอนแรกเราพิสูจน์ดู MathML {A, B } sourcemax ≤∥Dφ, un∥e, Bα→Bβให้ a∈Da∈D กำหนด ดู sourcefa MathML (z) = 1−|a|2 (1−a¯z) ด้วยกองทัพ ga (z) = (1−|a|2) ด้วยกองทัพ (1−a¯z) 2 + 1, z∈Dเปิด MathJaxซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบที่ดู MathML sourcefa, ga∈B0α และ ∥fa∥Bα≲1, ∥ga∥Bα≲1∥fa∥Bα≲1, ∥ga∥Bα≲1 สำหรับ a∈Da∈D และ fa, ga converges 0 สูญใน BαBα เป็น |a | → 1 ดังนี้นี้เนื่องจากลำดับกี่อยู่ในมุมมอง sourceB0α MathML ที่สม่ำเสมอเมื่อเทียบเคียง converges 0 บนชุดย่อยขนาดเล็กของ DD converges weakly 0 ใน BαBα (ดู [14]) ดังนั้น สำหรับการกระชับตัว K:Bα→Bβ, K:Bα→Bβ เรามี ดู MathML sourcelim|a|→1∥Kfa∥Bβ = 0, lim|a|→1∥Kga∥Bβ = 0เปิด MathJaxดังนั้น ดู MathML source∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim sup|a|→1∥ (Dφ, un−K) fa∥Bβ≥lim sup|a|→1∥Dφ, unfa∥Bβ−lim sup|a|→1∥Kfa∥Bβ = Aเปิด MathJaxและ ดู MathML source∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim sup|a|→1∥ (Dφ, un−K) ga∥Bβ≥lim sup|a|→1∥Dφ, unga∥Bβ−lim sup|a|→1∥Kga∥Bβ = Bเปิด MathJaxดังนั้น จากคำนิยามของบรรทัดฐานสำคัญ เราได้รับ ดู MathML source∥Dφ, un∥e, Bα→Bβ = infK∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳max {A, B }เปิด MathJaxถัดไป ปล่อยให้ j∈N j∈N {zj } {zj } เป็นลำดับใน DD เช่นที่|φ (zj) | → 1 เป็น∞→ j กำหนด ดู sourcehj MathML (z) = 1−|φ (zj) | 2 (1−φ ¯z (zj)) α−αα + n (1−|φ (zj) | 2) 2 (1−φ ¯z (zj)) ด้วยกองทัพ + 1เปิด MathJaxและ ดู sourcekj MathML (z) = 1−|φ (zj) | 2 (1−φ ¯z (zj)) α−αα + n + 1 (1−|φ (zj) | 2) 2 (1−φ ¯z (zj)) ด้วยกองทัพ + 1เปิด MathJaxในทำนองเดียวกัน ข้างบน เราเห็น hj และ kj อยู่ดู MathML sourceB0α และ converges 0 สูญใน BαBα นอกจากนี้ ดู MathML sourcehj(n)(φ(zj))=0,|hj(n+1)(φ(zj)) | = α(α+1) ⋯ |n |φ (zj) (n + α−1) + 1 (1−|φ | 2 (zj)) n + ด้วยกองทัพเปิด MathJaxและ ดู MathML source|kj(n)(φ(zj))|=α(α+1)⋯(n+α−1)n+α+1|φ(zj)|n(1−|φ(zj)|2)n+α−1,kj(n+1)(φ(zj)) = 0เปิด MathJaxแล้ว สำหรับการกระชับตัว K:Bα→Bβ, K:Bα→Bβ เราได้รับ ดู MathML source∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞∥Dφ สหประชาชาติ (hj) ∥Bβ−lim supj→∞∥K (hj) ∥Bβ≳lim supj→∞ (1−|zj|2) β|u (zj) ∥φ′ (zj) ∥φ (zj) |n + 1 (1−|φ | 2 (zj)) n + ด้วยกองทัพเปิด MathJaxและ ดู MathML source∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞∥Dφ สหประชาชาติ (kj) ∥Bβ−lim supj→∞∥K (kj) ∥Bβ≳lim supj→∞ (1−|zj|2) β|u′ (zj) |φ (zj) |n (1−|φ | 2 (zj)) n + α−1เปิด MathJaxจากคำนิยามของบรรทัดฐานสำคัญ เราได้รับ ดู source∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ = infK∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞ (1−|zj|2) β|u (zj) ∥φ′ (zj) | (1−|φ | 2 (zj)) n + ด้วยกองทัพ |→1 lim sup|φ (z) = (1−|z|2) ∥φ′ β|u (z) (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + ด้วยกองทัพ = Eเปิด MathJaxดู source∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ = infK∥Dφ, un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞ (1−|zj|2) β|u′ (zj) |φ (zj) |n (1−|φ | 2 (zj)) n + α−1 = |→1 sup|φ (z) ริม (1−|z|2) β|u′ (z) | (1−|φ | 2 (z)) n + α−1 = Fเปิด MathJaxดังนั้น ดู source∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ≳max {E, F }เปิด MathJaxตอนนี้ เราพิสูจน์ที่ ดู MathML source∥Dφ, un∥e, and∥Dφ Bα→Bβ≲max {A, B } un∥e, Bα→Bβ≲max {E, F }เปิด MathJaxสำหรับ r ∈ [0, 1), ตั้ง →H Kr:H (D)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บรรทัดฐานที่สำคัญของผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบทั่วไปในช่องว่าง Bloch ชนิด
Xiangling จู้ b, แสดงเพิ่มเติมดอย: 10.1016 / j.amc.2015.10.061 รับสิทธิและเนื้อหาบทคัดย่อในบทความนี้เราจะประมาณการบางส่วนของบรรทัดฐานที่จำเป็นสำหรับผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบทั่วไปในช่องว่าง Bloch ชนิด นอกจากนี้เรายังให้ตัวละครใหม่สำหรับ boundedness และความเป็นปึกแผ่นของผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบทั่วไปในช่องว่าง Bloch ชนิด. คำพื้นที่ Bloch ชนิด; บรรทัดฐานที่สำคัญ; องค์ประกอบทั่วไปผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักMSC 30H30; 47B38 1 การแนะนำให้ DD เป็นดิสก์หน่วยที่เปิดอยู่ในระนาบที่ซับซ้อนซีซีเอช (D) H (D) จะเป็นพื้นที่ของฟังก์ชั่นการวิเคราะห์บน DD ให้α∈ (0, ∞) f∈H (D) f∈H (D) มีการกล่าวถึงอยู่ในพื้นที่ Bloch ชนิด (หรือพื้นที่α -Bloch), การแสดงโดยBα, Bαถ้าดูMathML source∥f∥α = supz∈ D (1- | ซี | 2) α | ฉ (ซี) | <∞. เปิด MathJax ในBαBαเป็นพื้นที่Banach ภายใต้บรรทัดฐาน∥f∥Bα = | f (0) | + ∥f∥α∥f∥ Bα = | f (0) | + ∥f∥α เมื่อα = 1 α = 1 B1 = BB1 = B เป็นพื้นที่โบลชคลาสสิก f∈Bαf∈Bαมีการกล่าวถึงอยู่ในประเภท Bloch พื้นที่เล็ก ๆ น้อย ๆ ดู MathML sourceB0α (หรือน้อยαพื้นที่ -Bloch) ถ้าลิ้ม | ซี | → 1 | ฉ (ซี) | α (1- | Z | 2) = 0.lim | ซี | → 1 | ฉ (ซี) | (1- | ซี | 2) α = 0 ดู [35] สำหรับทฤษฎีของช่องว่าง Bloch ประเภท. ให้φเป็นวิเคราะห์ nonconstant ตนเองแผนที่ DD และu∈H (D) u∈H (D) ผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบ, แสดงโดยuCφถูกกำหนดให้เป็นดังนี้. ดู MathML sourceuCφf = ท่าน (ซี) · f (φ (ซี)) f∈H (D) เปิด MathJax ในเมื่อยู= 1 ยู = 1 เราได้รับการดำเนินการองค์ประกอบแสดงโดยCφ เมื่อφ (ซี) = ซีφ (ซี) = z ที่เราได้รับการคูณที่แสดงโดยหมู่. ให้ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ผู้ประกอบการเชิงเส้นแสดงโดยมุมมอง MathML sourceDφยกเลิกถูกกำหนดให้ดังต่อไปนี้ (ดูเช่น [36]): ดูแหล่งที่มา MathML (Dφ, UNF) (ซี) = ท่าน (ซี) · f (n) ( φ (ซี)) f∈H (D), z∈D. เปิด MathJax ในการดำเนินการนี้จะเรียกผู้ประกอบการถ่วงน้ำหนักองค์ประกอบทั่วไปและได้รับการแนะนำให้รู้จักกับผู้เขียนบทความนี้, แรงบันดาลใจจากการศึกษาก่อนหน้านี้ของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบและความแตกต่าง ผู้ประกอบการ (ดูเช่น [2] และ [7]) เมื่อ n = 0, n = 0 ดู MathML sourceDφยกเลิก = uCφ เมื่อ n = 1N = 1 และ u (ซี) = φ '(ซี), ยู (ซี) = φ' (ซี) แล้วดู MathML sourceDφยกเลิก = DCφซึ่งได้รับการศึกษาใน [2], [7] [9] [11] [13] [19] [21] และ [32] เมื่อ u (ซี) = 1 ท่าน (ซี) = 1 แล้วดู MathML sourceDφยกเลิก = CφDnซึ่งได้รับการศึกษาตัวอย่างเช่นใน [2], [19] และ [30] ดูตัวอย่างเช่น [5], [23] [24], [25], [33], [36] [37] [38] และ [39] การศึกษาของผู้ประกอบการองค์ประกอบถ่วงน้ำหนักทั่วไปใน ฟังก์ชั่นพื้นที่ต่างๆ เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้มีการให้ความสนใจอย่างมากในการศึกษาของผู้ประกอบการผลิตภัณฑ์ประเภทคอนกรีตในโดเมนต่างๆในระนาบซับซ้อน CC หรือพื้นที่ที่ซับซ้อน n มิติ NCCN สำหรับบางคนผู้ประกอบการสินค้าชนิดอื่น ๆ ที่มีผู้ประกอบการองค์ประกอบให้ดูเช่น [12] [20] [22] [26] [27] และ [28] และการอ้างอิงในนั้น. คุณสมบัติต่างๆของผู้ประกอบการองค์ประกอบเช่น รวมทั้งผู้ประกอบการองค์ประกอบถ่วงน้ำหนักในช่องว่าง Bloch ชนิดได้รับการศึกษาตัวอย่างเช่นใน [1], [2], [8] [10] [11] [14] [15] [16], [ 18] [21] [25] [29] [30] [31] [32] [34] และ [39] Tjani ใน [29] พิสูจน์ให้เห็นว่าCφ: B →BCφ: B → B มีขนาดกะทัดรัดและถ้าหากดูMathML sourcelim | A | →1∥Cφ (1- | A | 21 AZ) ∥B = ลิม | | →1∥Cφ (a-Z1-AZ) ∥B = 0. เปิด MathJax ในWulan เจิ้งเหอจู้และได้รับตัวละครใหม่สำหรับความเป็นปึกแผ่นของผู้ประกอบการองค์ประกอบCφ: B →BCφ: B →ข [ 31] คือพวกเขาพิสูจน์ให้เห็นว่าCφ: B →BCφ: B → B มีขนาดกะทัดรัดและถ้าหาก limj →∞∥φj∥B = 0.limj →∞∥φj∥B = 0 ใน [34], Zhao ขยายผล [31] ไปที่ช่องว่าง Bloch ประเภท โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาได้รับค่าที่แน่นอนสำหรับบรรทัดฐานสำคัญของCφ: Bα→BβCφ: Bα→Bβดังนี้ดูsource∥Cφ∥e MathML, Bα→Bβ = (e2α) αlim supn →∞nα-1∥φn . ∥βเปิดMathJax ในจำได้ว่าเป็นบรรทัดฐานที่สำคัญของผู้ประกอบการเชิงเส้นจำกัด T: X → Y คือระยะทางในการตั้งค่าของผู้ประกอบการที่มีขนาดกะทัดรัด K X ลงในการทำแผนที่ Y, ที่อยู่, ดูsource∥T∥e MathML, X → Y = INF {∥T-K∥X→ Y: Kiscompact} เปิด MathJax บน. ที่ X, Y ช่องว่าง Banach และ‖·‖X→ Y เป็นบรรทัดฐานผู้ประกอบการโอโนะ, Stroethoff และ Zhao boundedness ศึกษาและความเป็นปึกแผ่นของ ผู้ประกอบการuCφ: Bα→BβuCφ: Bα→Bβใน [18] เป็นบรรทัดฐานที่สำคัญของผู้ประกอบการuCφนี้: Bα→BβuCφ: Bα→Bβได้รับใน [14] Manhas Zhao และได้รับบางประมาณการใหม่สำหรับบรรทัดฐานสำคัญของuCφ: Bα→BβuCφ: Bα→Bβใน [16] โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อα> 1 พวกเขาได้รับผลดังต่อไปนี้. ทฤษฎีบทเอสมมติว่าα> 1 คนและ 0 <β <∞และคิดว่าuCφ: Bα→BβuCφ: Bα→Bβisล้อมรอบ จากนั้นดูsource∥uCφ∥e MathML, Bα→Bβ≈max (ลิ้ม supj →∞jα-1∥Iu (φj) ∥Bβลิม supj →∞jα-1∥Ju (φj) ∥Bβ) เปิด MathJax บนที่มุมมอง MathML sourceIuf (ซี) = ∫0zf (ζ) ท่าน (ζ) dζ, JUF (ซี) = ∫0zf (ζ) ยู (ζ) dζ. เปิด MathJax บนใน[30] วูและ Wulan ได้รับการพิสูจน์ ที่CφDn: B →BCφDn: B → B มีขนาดกะทัดรัดและถ้าหากดู MathML sourcelim | A | →1∥CφDn (a-Z1-AZ) ∥B = 0 แรงบันดาลใจจากนี้ใน [39] เราจะพิจารณากรณีของผู้ประกอบการดู MathML sourceDφยกเลิก: Bα→Bβและได้รับผลดังต่อไปนี้. ทฤษฎีบทบีให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก, 0 <α, β <∞, u∈H (D) u∈H (D) และอรเป็นแผนที่การวิเคราะห์ตนเองของ DDsuch ที่ดู MathML sourceDφยกเลิก: Bα→Bβisล้อมรอบ แล้วข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่า. (ก) ดู MathML sourceDφยกเลิก. Bα→Bβisขนาดกะทัดรัด(ข) ดู MathML MathJax ใน(ค) ดู MathML MathJax ในแรงบันดาลใจจาก[6] วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการให้ประมาณการบางส่วนของบรรทัดฐานที่จำเป็นสำหรับผู้ประกอบการดู MathML sourceDφยกเลิก: Bα→Bβ นอกจากนี้เรายังให้ตัวละครใหม่สำหรับ boundedness เป็นปึกแผ่นและเป็นบรรทัดฐานที่สำคัญของผู้ประกอบการดู MathML sourceDφยกเลิก. Bα→Bβตลอดบทความนี้เราพูดได้ว่าP ≲ Q ถ้ามีค่าคงที่ C เช่นที่ P ≤ CQ . สัญลักษณ์ P Q ≈หมายความว่า P Q ≲≲พี2 บรรทัดฐานสำคัญของมุมมอง MathML sourceDφยกเลิก: Bα→Bβในส่วนนี้เราจะให้สองประมาณการของบรรทัดฐานที่จำเป็นสำหรับผู้ประกอบการดูMathML sourceDφยกเลิก. Bα→Bβ. ทฤษฎีบท 2.1 ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก, 0 <α, β <∞, u∈H (D) u∈H (D) และอรเป็นแผนที่การวิเคราะห์ตนเองของ DDsuch ที่ดู MathML sourceDφยกเลิก: Bα→Bβisล้อมรอบ จากนั้นดูsource∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ≈max {A, B} ≈max {E, F} เปิด MathJax ในที่มุมมองMathML sourceA = ลิ้มจีบ | A | →1∥Dφ, ยกเลิก (1 | A | 2 (1 AZ) α) ∥Bβ, B = ลิ้มจีบ | A | →1∥Dφยกเลิก ((1- | A | 2) 2 (1 แอริโซนา ) α + 1) ∥Bβ, เปิด MathJax ในมุมมองMathML sourceE = ลิ้มจีบ | φ (ซี) | → 1 (1 | ซี | 2) β | ยู (ซี) ∥φ (ซี) | (1 - | φ (ซี) | 2) α + n, F = ลิ้มจีบ | φ (ซี) | → 1 (1 | ซี | 2) β | ยู '(ซี) | (1- | φ (ซี) | 2) α + n-1. เปิด MathJax ในหลักฐาน. ครั้งแรกที่เราพิสูจน์ให้เห็นว่ามุมมอง MathML sourcemax {A, B} ≤∥Dφ, un∥e, Bα→Bβ. ให้a∈Da∈D กำหนดมุมมอง MathML sourcefa (ซี) = 1 | A | 2 (1 AZ) α, จอร์เจีย (ซี) = (1 | A | 2) 2 (1 AZ) α + 1, ซี ∈D. เปิด MathJax บนมันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ามุมมองsourcefa MathML, ga∈B0αและ∥fa∥Bα≲1, ∥ga∥Bα≲1∥fa∥Bα≲1, ∥ga∥Bα≲1สำหรับทุกคน ∈Da∈Dและฟะ, จอร์เจียลู่ 0 อ่อนในBαBαเป็น | A | → 1. ตั้งแต่นี้ต่อไปนี้เป็นลำดับ จำกัด ที่มีอยู่ในมุมมอง MathML sourceB0αซึ่งลู่สม่ำเสมอให้เป็น 0 ในส่วนย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดของ DD ลู่ไม่ค่อยเป็น 0 ในBαBα (ดู [14]) ดังนั้นผู้ประกอบการที่มีขนาดกะทัดรัดสำหรับใด ๆ K: Bα→Bβ, K: Bα→Bβเรามี. ดู sourcelim MathML | A | →1∥Kfa∥Bβ = 0 ลิ้ม | A | →1∥Kga∥Bβ = 0 เปิด MathJax บนดังนั้นดูMathML source∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳limจีบ | A | →1∥ (Dφยกเลิก K) fa∥Bβ≥limจีบ | A | →1∥Dφ, unfa∥Bβ -lim จีบ | A | →1∥Kfa∥Bβ = A, เปิด MathJax บนและดูMathML source∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳limจีบ | A | →1∥ (Dφยกเลิก K) จอร์เจีย ∥Bβ≥limจีบ | A | →1∥Dφ, จีบunga∥Bβลิ้ม | A |. →1∥Kga∥Bβ = B เปิด MathJax บนดังนั้นจากความหมายของการเป็นบรรทัดฐานที่สำคัญเราได้ดูแหล่งที่มาMathML ∥Dφ, un∥e, Bα→Bβ = infK∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳max {A, B}. เปิด MathJax ในหน้าถัดไปให้{} ZJ j∈N {} ZJ j∈Nเป็น ลำดับ DD เช่นที่ | φ (ZJ) | → 1 เป็นเจ→∞ กำหนดมุมมอง MathML sourcehj (ซี) = 1 | φ (ZJ) | 2 (1 φ (ZJ) Z) α-αα + n (1- | φ (ZJ) | 2) 2 (1 φ ( ZJ) Z) α + 1, เปิด MathJax บนและดูMathML sourcekj (ซี) = 1 | φ (ZJ) | 2 (1 φ (ZJ) Z) α-αα + 1 + n (1- | φ (ZJ) |. 2) 2 (1 φ (ZJ) Z) α + 1 เปิด MathJax ในทำนองเดียวกันกับข้างต้นเราจะเห็นว่าทั้งสองhj และ KJ เป็นดู MathML sourceB0αและลู่ 0 อ่อนในBαBα . นอกจากนี้ดู MathML sourcehj (n) (φ (ZJ)) = 0, | hj (n + 1) (φ (ZJ)) | = α (α + 1) ⋯ (n + α-1) | φ ( ZJ) | 1 + n (1- | φ (ZJ) | 2) α + n, เปิด MathJax บนและดูMathML MathJax บนแล้วสำหรับผู้ประกอบการที่มีขนาดกะทัดรัดใดๆ K: Bα→Bβ, K: Bα→Bβเราได้รับมุมมองMathML source∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳lim supj →∞∥Dφยกเลิก (hj) ∥Bβ- ลิ้ม supj →∞∥K (hj) ∥Bβ≳lim supj →∞ (1- | ZJ | 2) β | ยู (ZJ) ∥φ (ZJ) ∥φ (ZJ) | 1 + n (1- | φ (ZJ) | 2) + n แอลฟาเปิด MathJax บนและดูMathML source∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳lim supj →∞∥Dφยกเลิก (kJ) ∥Bβลิ้ม supj →∞∥K (kJ ) ∥Bβ≳lim supj →∞ (1- | ZJ | 2) β | ยู (ZJ) | φ (ZJ) | n (1- | φ (ZJ) | 2) α + n-1. เปิด MathJax บนจากความหมายของการเป็นบรรทัดฐานที่สำคัญเราได้ดูsource∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ = infK∥DφยกเลิกK∥Bα→Bβ≳lim supj →∞ (1- | ZJ | 2) β | ยู (ZJ) ∥φ (ZJ) | (1- | φ (ZJ) | 2) α + n = ลิมจีบ | φ (ซี) | → 1 (1 | ซี | 2) β | ยู (ซี ) ∥φ (ซี) | (1- | φ (ซี) | 2) α + n = E, เปิด MathJax ในมุมมองsource∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ = infK∥Dφยกเลิก-K ∥Bα→Bβ≳lim supj →∞ (1- | ZJ | 2) β | ยู (ZJ) | φ (ZJ) | n (1- | φ (ZJ) | 2) α + n-1 = ลิมจีบ | φ (ซี) | → 1 (1 | ซี | 2) β | ยู '(ซี) |. (1 | φ (ซี) | 2) α + n-1 = F เปิด MathJax บนดังนั้นดูMathML source∥Dφ, un∥e, Bα→Bβ≳max {E, F}. เปิด MathJax ในตอนนี้เราพิสูจน์ให้เห็นว่ามุมมองsource∥Dφ MathML, un∥e, Bα→Bβ≲max {A, B} and∥ . Dφ, un∥e, Bα→Bβ≲max {E, F} เปิด MathJax บนสำหรับอา∈ [0, 1) ตั้ง Kr: H (D) → H

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สรุปกฎเกณฑ์ทั่วไปองค์ประกอบถ่วงน้ำหนัก ผู้ประกอบการใน บล๊อคพิมพ์เป็น
xiangling Zhu , A , B ,





แสดงขึ้นดอย : 10.1016 / j.amc . 2015.10.061

ได้รับสิทธิและเนื้อหา








นามธรรม

ในงานวิจัยนี้ เราได้ให้ประมาณการของบรรทัดฐานที่สำคัญบางอย่างสำหรับผู้ประกอบการทั่วไปในองค์ประกอบถ่วงน้ำหนัก ปีที่พิมพ์เป็น . นอกจากนี้เราให้คุณสมบัติใหม่ให้มีขอบเขตและความเป็นปึกแผ่นของน้ำหนักองค์ประกอบทั่วไปผู้ประกอบการใน บล๊อคพิมพ์เป็น


บล็อกคำหลักประเภทพื้นที่ ;

ปกติทั่วไปหรือผู้ประกอบการจำเป็น ; องค์ประกอบด้าน 30h30







; 47b38 1 บทนำ

ให้ DD เป็นหน่วยเปิด Disk ในซับซ้อนเครื่องบิน CC และ H ( D ) H ( D ) เป็นช่องว่างของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ DD ให้α∈ ( 0 , ∞ )F ∈ H ( D ) F ∈ H ( D ) คือว่า เป็นของชายประเภทพื้นที่ ( หรือแอลฟา บล๊อคพื้นที่ ) เขียนแทนด้วย B α B αหาก


ดู MathML แหล่ง∥ F ∥α = supz ∈ D ( Z | | 1 − 2 ) α | MBC f ( Z ) | < ∞


เปิด mathjax บนα B :
b αเป็นปริภูมิบานาคภายใต้บรรทัดฐาน∥ F ∥ B α = | f ( 0 ) | ∥ F ∥α∥ F ∥ B α = | f ( 0 ) | ∥ F ∥α . เมื่อα = 1 , α = 1 , B1 = bb1 = b เป็นคลาสสิกบล็อกพื้นที่F ∈ B α F ∈ B αคือว่า เป็นของน้อย บล๊อคพิมพ์พื้นที่ดู MathML sourceb0 α ( หรือน้อยแอลฟา บล๊อคพื้นที่ ) ถ้าลิม | Z | → keyboard - key - name 1 นั้น | F ( Z ) | α ( 1 − | Z | 2 ) = 0 . ลิม | Z | → keyboard - key - name 1 | School F ( Z ) | ( 1 − | Z | 2 ) α = 0 ดู [ 35 ] สำหรับทฤษฎีของ บล๊อคพิมพ์เป็น .



ให้φเป็น nonconstant วิเคราะห์ตนเองแผนที่ DD และ u ∈ H ( D ) u ∈ H ( D ) ผู้ประกอบการองค์ประกอบถ่วงน้ำหนักเขียนแทนด้วย UC φเป็นดังนี้ :


ดู sourceuc MathML φ F = u ( Z ) f ( φ Suite ( Z ) F ∈ H ( D )

เปิด mathjax บน
เมื่อ u = 1 , U = 1 เราเอาองค์ประกอบของผู้ประกอบการ กล่าวคือ โดย C φ . เมื่อφ ( z ) = Z , φ ( z ) = Z , เราได้รับการคูณ ) แทน โดยมู

ให้ n เป็นจำนวนเต็ม nonnegative . โอเปอเรเตอร์เชิงเส้น แทน โดยดูได้จากφ MathML , และ , เป็นดังนี้ ( ดูเช่น [ 36 ] ) :


ดู MathML แหล่ง ( D φ UNF , ) ( z ) = u ( Z ) ด้วย f ( n ) ( φ ( Z ) )F ∈ H ( D ) z ∈ D .

เปิด mathjax บน
ผู้ประกอบการนี้เรียกว่าโดยทั่วไปผู้ประกอบการองค์ประกอบถ่วงน้ำหนักและได้รับการแนะนำโดยผู้เขียนของบทความนี้ , แรงจูงใจจากการศึกษาก่อนหน้าของผลิตภัณฑ์ของผู้ประกอบการองค์ประกอบและการเปลี่ยนแปลง ( ดูเช่น [ 2 ] และ [ 7 ] ) เมื่อ n = 0 , n = 0 , ดู MathML ที่มาφ , a = UC φ . เมื่อ N = กับ = 1 และ U ( z ) = φ′ ( Z ) U ( z ) = φ′ ( Z ) แล้วดู MathML ที่มาφ , a = φ DC ,ซึ่งได้ศึกษา [ 2 ] , [ 7 ] , [ 9 ] , [ 11 ] , [ 13 ] , [ 19 ] , [ 21 ] และ [ 32 ] เมื่อ u ( z ) = 1 , U ( z ) = 1 แล้วดู MathML ที่มาφ , a = c φ DN ที่ศึกษา เช่น ใน [ 2 ] , [ 19 ] และ [ 30 ] เห็น ตัวอย่างเช่น [ 5 ] , [ 23 ] , [ 24 ] , [ 25 ] [ 33 ] [ 36 ] [ 37 ] , [ 38 ] และ [ 39 ] การศึกษาของผู้ประกอบการที่เป็นฟังก์ชันแบบถ่วงน้ำหนัก องค์ประกอบต่าง ๆเมื่อเร็วๆนี้ได้มีความสนใจมากในการศึกษาคอนกรีตประเภทสินค้าผู้ประกอบการในโดเมนต่างๆในซับซ้อนเครื่องบิน CC หรือ n - มิติซับซ้อนพื้นที่ nccn . สำหรับผู้ประกอบการที่มีผลิตภัณฑ์บางชนิดอื่น ๆผู้ประกอบการ องค์ประกอบดู เช่น [ 12 ] , [ 20 ] , [ 22 ] [ 26 ] [ 27 ] และ [ 28 ] และการอ้างอิงในนั้น



ต่าง ๆคุณสมบัติขององค์ประกอบของผู้ประกอบการเช่นเดียวกับผู้ประกอบการในประเภทเป็นองค์ประกอบถ่วงน้ำหนัก บล๊อคได้ ตัวอย่างเช่น ใน [ 1 ] , [ 2 ] , [ 8 ] , [ 10 ] [ 11 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] , [ 18 ] , [ 21 ] , [ 25 ] , [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 39 ] tjani ใน [ 29 ] พิสูจน์ว่าφ C : B → keyboard - key - name พ.ศ. φ : b → keyboard - key - name B มีขนาดกะทัดรัด ถ้าและเพียงถ้า


ดู MathML sourcelim | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ C φ ( 1 −− | เป็น | 21 เป็น¯ Z ) ∥ B = ลิม | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥φ ( ซี เป็น−−เป็น¯ Z1 Z ) ∥ B = 0 =


wulan เปิด mathjax บน ,เจิงจูได้รับคุณสมบัติใหม่เพื่อความเป็นปึกแผ่นขององค์ประกอบφผู้ประกอบการ C : B → keyboard - key - name พ.ศ. φ : b → keyboard - key - name B [ 31 ] คือพวกเขาได้พิสูจน์แล้วว่าφ C : B : B → keyboard - key - name พ.ศ. φ→ keyboard - key - name B มีขนาดกะทัดรัด ถ้าและเพียงถ้า limj →∞∥φ J ∥ B = 0 limj →∞∥φ J ∥ B = 0 ใน [ 34 ] , จ้าว ขยายผลใน [ 31 ] ปีที่พิมพ์เป็น . โดยเขาได้รับค่าแน่นอนบรรทัดฐานที่สำคัญของ C : B φα→บีบีตาซีφ : B α→บีตาดังนี้ :

Bดู MathML แหล่ง∥ C φ∥ E , B = B ( E2 α→บีตาα ) αลิม supn →∞ N α− 1 ∥φ N ∥β


จำได้ว่าเปิด mathjax บนบรรทัดฐานของผู้ประกอบการเชิงเส้นเป็นขอบเขต t : x → keyboard - key - name Y คือระยะห่างของการตั้งค่าขนาดเล็กผู้ประกอบการ K Y X ในแผนที่ ที่เป็นแหล่ง∥

ดู MathML ∥ T E X → keyboard - key - name Y = inf { ∥ T − K ∥ x → keyboard - key - name Y : kiscompact } ,

เปิด mathjax บน
ที่ x , y เป็นนาคเป็น‖ด้วย‖ X และ Y เป็นบรรทัดฐาน→ keyboard - key - name ) .



โอโนะ stroethoff Zhao , และการศึกษามีขอบเขตและความเป็นปึกแผ่นของผู้ประกอบการ UC φα→ B : B : B บีบีตา UC φα→บีตา [ 18 ] บรรทัดฐานที่จำเป็นของผู้ประกอบการ อาทิφα→ B : B : B บีบีตา UC φα→บีตาได้รับใน [ 14 ] manhas และเจ้าได้ประมาณการบางใหม่สำหรับบรรทัดฐานที่จำเป็นของ UC φα→ B : B : B α→บีตา UC φบีบีตา [ 16 ] โดยเฉพาะเมื่อα > 1 , พวกเขาได้รับผลดังนี้




ทฤษฎีบท .สมมติว่าα > 1 และ 0 < < ∞บีตา และสมมติว่า UC φα→ B : B : B α→บีตา UC φบีบีตาเป็นจำกัด แล้ว


ดู MathML แหล่ง∥ UC φ∥ E , B α→ B β≈แม็กซ์ ( ลิม supj →∞ J α− 1 ∥ IU ( φ J ) B ∥บีตา ลิม supj →∞ J α− 1 ∥จู ( φ J ) B ∥บีตา )




เปิด mathjax บนที่ดู Mathias-S sourceiuf ( z ) = ∫ 0zf ’ ( ζ ) U ( ζ ) D ζ juf ( , z ) = ∫ 0zf ( ζ ) U School ( ζ ) D ζ

เปิด mathjax บน




ใน [ 30 ] , วูและ wulan พิสูจน์ว่า C φ DN : b → keyboard - key - name พ.ศ. φ DN :B → keyboard - key - name B มีขนาดกะทัดรัด ถ้าและเพียงถ้าดู MathML sourcelim | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ C φ DN ( −−เป็น¯ Z1 Z ) ∥ B = 0 สาเหตุนี้ใน [ 39 ] เราพิจารณากรณีของมุมมองผู้ประกอบการ MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตาและได้ผลดังนี้




ให้ทฤษฎีบท B N เป็นจำนวนเต็มบวก , 0 < αบีตา , < ∞ u ∈ H ( D ) u ∈ H ( D ) และφเป็นการวิเคราะห์ตนเองแผนที่ ddsuch ที่ดู MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตาเป็นจำกัดแล้วงบดังต่อไปนี้จะเทียบเท่า

(a)


View the MathML sourceDφ,un:Bα→Bβis compact.

(b)




View the MathML sourcelim|a|→1∥Dφ,un(1−|a|2(1−a¯z)α)∥Bβ=0andlim|a|→1∥Dφ,un((1−|a|2)2(1−a¯z)α 1)∥Bβ=0.

Turn MathJax on


(c)




View the MathML sourcelim|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u(z)∥φ′(z)|(1−|φ(z)|2)n α=0andlim|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u′(z)|(1−|φ(z)|2)n α−1=0.

เปิด mathjax บน





motivated โดย [ 6 ] , วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อให้บางประมาณของบรรทัดฐานที่จำเป็นสำหรับมุมมองผู้ประกอบการ MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตา . นอกจากนี้เรายังให้คุณสมบัติใหม่ให้มีขอบเขต compactness และบรรทัดฐานที่จำเป็นในมุมมองของผู้ประกอบการ MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตา

ตลอดทั้งเอกสารนี้เราว่า P ≲ถ้ามีอยู่ค่าคงที่ C เช่น P ≤ CQ . สัญลักษณ์ P ≈ Q หมายความว่า P ≲ Q ≲ P .



2 บรรทัดฐานที่จำเป็นในมุมมองของ MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตา

ในส่วนนี้ เราให้สองประมาณการของบรรทัดฐานที่จำเป็นสำหรับมุมมองผู้ประกอบการ MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตา .


ทฤษฎีบท 2.1 .

ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก , 0 < αบีตา < ∞ , ,คุณ∈ H ( D ) u ∈ H ( D ) และφเป็นการวิเคราะห์ตนเองแผนที่ ddsuch ที่ดู MathML ที่มาφ , a : B α→บีบีตาเป็นจำกัด แล้ว


ดู MathML แหล่ง∥ D φ อุน∥ E , B α→ B β≈แมกซ์ { a , b } ≈แมกซ์ { E , F } ,

เปิด mathjax บน


ดูแล้ว sourcea MathML : = ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ D φ อุน ( − 1 | เป็น | 2 1 −เป็น¯ Z ) α ) ∥บีบีตา , B : = ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ D φ อุน ( | เป็น | 1 − 2 ) 2 1 −เป็น¯ Z ) α 1 ) บีตา∥ B , เปิด mathjax บน




ดู sourcee MathML := ลิม sup | φ ( Z ) | → keyboard - key - name 1 ( 1 − | Z | บีตา 2 ) | U ( Z ) ∥φ′ ( Z ) | ( 1 − | φ ( Z ) | 2 ) n α , F : = ลิม sup | φ ( Z ) | → keyboard - key - name 1 ( 1 − | Z | 2 | U School ) บีตา ( Z ) | ( 1 − | φ ( Z ) | 2 ) n α− 1

เปิด mathjax บน




พิสูจน์

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่าดู MathML sourcemax { a , b } ≤∥ D φ อุน∥ E , B α→บีบีตา

ให้∈ดา∈ D . กำหนด


ดู MathML sourcefa ( z ) = 1 − | เป็น | 2 1 −เป็น¯ Z ) α กา ( z ) = ( − 1 | เป็น | 2 ( 1 −เป็น¯ Z ) α 1 Z ∈ D


เปิด mathjax บนมันง่ายที่จะตรวจสอบ ดูว่า sourcefa MathML , และกา ∈ B0 α∥ฟ้า∥ B α≲ 1 , ∥กา∥ B α≲ 1 ∥ฟ้า∥ B α≲ 1 , ∥กา∥ B α≲ 1 สำหรับทุก∈ดา∈ D และ FA GA - 0 อย่างอ่อนใน B α B αเป็น | เป็น | → keyboard - key - name 1 ตามเนื่องจากจำกัดลำดับที่มีอยู่ในมุมมอง MathML sourceb0 αซึ่งหาจุด 0 ในขนาดกะทัดรัดจาก dd - กะปวกกะเปียก 0 ใน B α B α ( ดู [ 14 ] ) ดังนั้น สำหรับผู้ประกอบการใด ๆ : K ขนาดกะทัดรัดB α→บีบีตา , k : B α→บีบีตา เรามี

ดู MathML sourcelim | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ kfa ∥บีบีตา = 0 , ลิม | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ kga บีตา∥ B = 0 =


เพราะเปิด mathjax บน

ดู MathML แหล่งφ∥ D , และ K −∥ B α→ B β≳ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ ( D φ , และ− K ) ฟ้า∥ B β≥ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥φ D , B unfa ∥β−ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ kfa ∥บีบีตา = ,


เปิด mathjax บน

ดู MathML และแหล่ง∥ D φ , และ K −∥ B α→ B β≳ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ ( D φ , และ− K ) กา∥ B β≥ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥φ D ,ค∥ B β−ลิม sup | เป็น | → keyboard - key - name 1 ∥ kga บีตา∥ B = B

เปิด mathjax บน
ดังนั้นจากนิยามของบรรทัดฐานที่จำเป็น เราขอรับ

ดู MathML แหล่ง∥ D φ อุน∥ E , B = B α→บีตา infk ∥ D − K ∥φ , และ B α→ B β≳แมกซ์ { a , b } .

เปิด mathjax บน
ต่อไป ให้∈ N { } { ZJ ZJ } J J ∈ n เป็นลำดับใน DD เช่นที่ | φ ( ZJ ) | → keyboard - key - name 1 J → keyboard - key - name ∞ . กำหนด

ดู sourcehj MathML ( z ) = 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ( 1 −φ ( ZJ ) ¯ Z ) α−αα N ( 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ( 1 −φ ( ZJ ) ¯ Z ) α 1

เปิด mathjax บน


ดู MathML และ sourcekj ( z ) = 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ( 1 −φ ( ZJ ) ¯ Z ) α−αα N 1 ( 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ( 1 −φ ( ZJ ) ¯ Z ) α 1

เปิด mathjax บน
ในทํานองเดียวกันกับข้างต้นเราจะเห็นว่า ทั้ง Hj KJ เป็นของดู MathML และ sourceb0 และαเข้าสู่ 0 อย่างอ่อนใน B α B α . โดย

ดู sourcehj MathML ( N ) ( φ ( ZJ ) = 0 , | Hj ( 1 ) ( φ ( ZJ ) | = α ( α 1 ) ⋯ ( N α− 1 ) | φ ( ZJ ) | N 1 ( 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ) n α
,
เปิด mathjax บน


ดู MathML และแหล่ง | KJ ( N ) ( φ ( ZJ ) | = α ( α 1 ) ⋯ ( N α− 1 ) n α 1 | φ ( ZJ ) | N ( 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ) n α− KJ ( 1 1 ) ( φ ( ZJ ) = 0 =


แล้วเปิด mathjax บนใด ๆขนาดเล็กผู้ประกอบการ K : B α→บีบีตา , k : B α→บีบีตา เราขอรับ

ดู MathML แหล่ง∥ D φ , และ K −∥ B α→ B β≳ลิม supj φ→∞∥ D ,สหประชาชาติ ( โบ ) ∥ B β−ลิม supj →∞∥ K ( โบ ) ∥ B β≳ลิม supj →∞ ( 1 − | ZJ | บีตา 2 ) | U ( ZJ ) ∥φ′ ( ZJ ) ∥φ ( ZJ ) | N 1 ( 1 − | φ ( ZJ ) | 2 ) n α


เปิด mathjax บน

ดู MathML และแหล่ง∥ D φ , และ K −∥ B α→ B β≳ลิม supj →∞∥ D φ อุน ( kJ ) ∥ B β−ลิม supj →∞∥ K ( kJ ) ∥ B β≳ลิม supj →∞ ( 1 − | ZJ | บีตา 2 ) | U School ( | φ ( ZJ ZJ ) ( 1 ) | n − | φ ( ZJ ) | 2 ) n α− 1

เปิด mathjax บน
จากนิยามของความปกติ เราขอรับ

ดู MathML แหล่งφ∥ D ,un∥e,Bα→Bβ=infK∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u(zj)∥φ′(zj)|(1−|φ(zj)|2)n α=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u(z)∥φ′(z)|(1−|φ(z)|2)n α=E,

Turn MathJax on


View the MathML source∥Dφ,un∥e,Bα→Bβ=infK∥Dφ,un−K∥Bα→Bβ≳lim supj→∞(1−|zj|2)β|u′(zj)|φ(zj)|n(1−|φ(zj)|2)n α−1=lim sup|φ(z)|→1(1−|z|2)β|u′(z)|(1−|φ(z)|2)n α−1=F.

Turn MathJax on
ดังนั้น

ดู MathML แหล่ง∥ D φ อุน∥ E , B α→ B β≳แมกซ์ { E , F } .

เปิด mathjax บน


ตอนนี้เราพิสูจน์ว่า


ดู MathML แหล่ง∥ D φ อุน∥ E , B α→ B β≲แมกซ์ { a , b } ∥ D และφ อุน∥ E , B α→ B β≲แมกซ์ { E , F } .

เปิด mathjax บน
R ∈ [ 0 , 1 ) , ชุด KR : H ( D ) → keyboard - key - name H