Sieve of EratosthenesFrom Wikipedia

Sieve of Eratosthenes
From Wikipedia, the free encyclopedia

Sieve of Eratosthenes: algorithm steps for primes below 121 (including optimization of starting from prime's square).
In mathematics, the sieve of Eratosthenes (Ancient Greek: κόσκινον Ἐρατοσθένους, kóskinon Eratosthénous), one of a number of prime number sieves, is a simple, ancient algorithm for finding all prime numbers up to any given limit. It does so by iteratively marking as composite (i.e., not prime) the multiples of each prime, starting with the multiples of 2.[1]

The multiples of a given prime are generated as a sequence of numbers starting from that prime, with constant difference between them that is equal to that prime.[1] This is the sieve's key distinction from using trial division to sequentially test each candidate number for divisibility by each prime.[2]

The sieve of Eratosthenes is one of the most efficient ways to find all of the smaller primes. It is named after Eratosthenes of Cyrene, a Greek mathematician; although none of his works have survived, the sieve was described and attributed to Eratosthenes in the Introduction to Arithmetic by Nicomachus.[3]

The sieve may be used to find primes in arithmetic progressions.[4]

Contents [hide]
1 Overview
1.1 Example
2 Algorithm and variants
2.1 Pseudocode
2.2 Segmented sieve
2.3 Incremental sieve
3 Computational analysis
4 Algorithmic complexity
5 Euler's Sieve
6 Popular culture
7 See also
8 References
9 External links
Overview[edit]
Sift the Two's and Sift the Three's,
The Sieve of Eratosthenes.
When the multiples sublime,
The numbers that remain are Prime.
“”
Anonymous[5]
A prime number is a natural number that has exactly two distinct natural number divisors: 1 and itself.

To find all the prime numbers less than or equal to a given integer n by Eratosthenes' method:

Create a list of consecutive integers from 2 through n: (2, 3, 4, ..., n).
Initially, let p equal 2, the smallest prime number.
Enumerate the multiples of p by counting to n from 2p in increments of p, and mark them in the list (these will be 2p, 3p, 4p, ... ; the p itself should not be marked).
Find the first number greater than p in the list that is not marked. If there was no such number, stop. Otherwise, let p now equal this new number (which is the next prime), and repeat from step 3.
When the algorithm terminates, the numbers remaining not marked in the list are all the primes below n.

The main idea here is that every value given to p will be prime, because we have already marked all the multiples of the numbers less than p. Note that some of the numbers being marked may have already been marked earlier (e.g., 15 will be marked both for 3 and 5).

As a refinement, it is sufficient to mark the numbers in step 3 starting from p2, as all the smaller multiples of p will have already been marked at that point. This means that the algorithm is allowed to terminate in step 4 when p2 is greater than n.[1]

Another refinement is to initially list odd numbers only, (3, 5, ..., n), and count in increments of 2p from p2 in step 3, thus marking only odd multiples of p. This actually appears in the original algorithm.[1] This can be generalized with wheel factorization, forming the initial list only from numbers coprime with the first few primes and not just from odds (i.e., numbers coprime with 2), and counting in the correspondingly adjusted increments so that only such multiples of p are generated that are coprime with those small primes, in the first place.[6]

Example[edit]
To find all the prime numbers less than or equal to 30, proceed as follows.

First generate a list of integers from 2 to 30:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
First number in the list is 2; cross out every 2nd number in the list after it by counting up from 2 in increments of 2 (these will be all the multiples of 2 in the list):

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Next number in the list after 2 is 3; cross out every 3rd number in the list after it by counting up from 3 in increments of 3 (these will be all the multiples of 3 in the list):

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Next number not yet crossed out in the list after 3 is 5; cross out every 5th number in the list after it by counting up from 5 in increments of 5 (i.e. all the multiples of 5):

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Next number not yet crossed out in the list after 5 is 7; the next step would be to cross out every 7th number in the list after 7, but they are all already crossed out at this point, as these numbers (14, 21, 28) are also multiples of smaller primes because 7*7 is greater than 30. The numbers left not crossed out in the list at this point are all the prime numbers below 30:

2 3 5 7 11 13 17 19 23

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตะแกรงของ Eratosthenesจากวิกิพีเดีย วิกิพีเดียตะแกรงของ Eratosthenes: อัลกอริทึมขั้นตอนสำหรับไพรม์ด้านล่าง (รวมถึงการเพิ่มประสิทธิภาพของการเริ่มต้นของนายกสแควร์) 121ในคณิตศาสตร์ ตะแกรงของ Eratosthenes (กรีกโบราณ: κόσκινονἘρατοσθένους kóskinon Eratosthénous), หนึ่งในจำนวนของจำนวนเฉพาะ sieves เป็นอัลกอริทึมแบบง่าย โบราณหานายกหมายเลขทั้งหมดจนถึงขีดจำกัดที่กำหนดใด ๆ มันไม่ได้ โดยทำเครื่องหมายเป็นคอมโพสิตปรับปรุงต้น (เช่น ไม่เดี่ยว) ตัวคูณแต่ละนายก เริ่มต้น ด้วยตัวคูณของ 2 [1]ตัวคูณของนายกที่กำหนดจะมีสร้างเป็นลำดับของตัวเลขโดยเริ่มจากนายกรัฐมนตรี คงความแตกต่างระหว่างพวกเขาที่ว่าเท่ากับว่านายก [1] นี่คือความแตกต่างสำคัญของตะแกรงใช้หารเชิงทดลองในการทดสอบแต่ละหมายเลขผู้สมัครสำหรับ divisibility ตามลำดับ โดยแต่ละ [2]ตะแกรงของ Eratosthenes เป็นหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพสูงสุดกับไพรม์เล็ก มันเป็นชื่อหลังจาก Eratosthenes Cyrene นักคณิตศาสตร์กรีก แม้ว่าไม่มีผลงานของเขามีชีวิตรอด ตะแกรงถูกอธิบาย และประกอบกับยังในการแนะนำการเลขคณิต โดย Nicomachus [3]ตะแกรงอาจถูกใช้เพื่อค้นหาไพรม์ในการก้าวหน้าเลขคณิต [4]เนื้อหา [ซ่อน] ภาพรวม 11.1 ตัวอย่าง2 อัลกอริทึมและตัวแปร2.1 รหัสเทียม2.2 แบ่งตะแกรง2.3 เพิ่มตะแกรงวิเคราะห์คำนวณ 3ความซับซ้อนของอัลกอริทึม 4ตะแกรง 5 ออยเลอร์วัฒนธรรมสมัยนิยม 6ดูเพิ่มอ้างอิงที่ 8แหล่งข้อมูล[แก้]ร่อนสอง และสามของ ร่อนตะแกรงของ Eratosthenesเมื่อประเสริฐคูณหมายเลขที่ยังคงมีนายก“”ไม่ระบุชื่อ [5]จำนวนเฉพาะคือ จำนวนธรรมชาติที่มีหารจำนวนธรรมชาติแตกต่างกันตรงสอง: 1 และตัวเองการ นายกหมายเลขน้อยกว่า หรือเท่ากับ n เป็นจำนวนเต็มที่กำหนด โดยวิธีของ Eratosthenes:สร้างรายการของจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องจาก 2 ถึง n: (2, 3, 4,..., n)ให้เริ่มต้นด้วย p เท่ากับ 2 จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดระบุตัวคูณของ p โดยนับจำนวนจากจำนวนที่เพิ่มขึ้น p 2p n และทำเครื่องหมายในรายการ (เหล่านี้จะเป็น 2p, p 3, 4p,...; p เองไม่ควรทำเครื่องหมาย)ค้นหาหมายเลขแรกมากกว่า p ในรายการที่ทำเครื่องหมาย ถ้ามีไม่มีหมายเลข หยุด บอก ให้ p ตอนนี้เท่ากับหมายเลขใหม่ (ซึ่งเป็นนายกต่อไป), และทำซ้ำจากขั้นตอนที่ 3เมื่ออัลกอริทึมยุติ ตัวเลขที่เหลือไม่ทำเครื่องหมายในรายการมีไพรม์ทั้งหมดด้านล่าง nคิดว่าที่นี่คือ ว่า ทุกค่าให้ p จะเป็นนายก เนื่องจากเราได้แล้วทำเครื่องหมายตัวคูณของตัวเลขที่น้อย กว่า p. ทราบว่า บางส่วนของหมายเลขที่ถูกทำเครื่องหมายอาจมีอยู่แล้วทำเครื่องหมายก่อนหน้านี้ (เช่น 15 จะทำเครื่องหมายทั้ง 3 และ 5)เป็นปรับแต่ง มันเพียงพอที่จะทำเครื่องหมายตัวเลขในขั้นตอนที่ 3 เริ่มจาก p2 เป็นสินค้าหลายรายการขนาดเล็กของ p จะมีการทำเครื่องหมายแล้วที่ ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมได้รับอนุญาตให้หยุดงานในขั้นตอนที่ 4 เมื่อ p2 มากกว่า n. [1]ความประณีตอีกคือการเริ่มต้นรายการเลขคี่เท่านั้น, (3, 5,..., n), และนับจำนวนที่เพิ่มขึ้นจาก p2 ในขั้นตอนที่ 3 ดังนั้น เครื่องหมายคูณคี่เท่าของ p 2p จริงปรากฏในอัลกอริทึมเดิม [1]สามารถนาไปสรุปกับล้อแยกตัวประกอบ สร้างรายการเริ่มต้น จากหมายเลขสัมพัทธ์กับไพรม์ในชั่วโมงแรกเท่านั้น และไม่ใช่แค่ จากราคา (เช่น เลขสัมพัทธ์กับ 2), และการนับเพิ่มการปรับปรุงตามลำดับเพื่อให้สร้างเฉพาะดังกล่าวคูณของ p ที่สัมพัทธ์กับไพรม์เล็กเหล่านั้น ในสถานที่แรก [6]ตัวอย่าง [แก้]ค้นหาหมายเลขนายก น้อยกว่า หรือเท่ากับ 30 ดำเนินการดังนี้ก่อน สร้างรายการของจำนวนเต็มจาก 2 ถึง 30: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30หมายเลขแรกในรายการเป็น 2 ข้ามทุกเลข 2 ในรายการหลังจากนั้น โดยการนับค่าจาก 2 ที 2 (เหล่านี้จะเป็นตัวคูณของ 2 ในรายการ): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30หมายเลขถัดไปในรายการหลังจาก 2 เป็น 3 ฆ่าทุกหมายเลข 3 ในรายการหลังจากนั้น โดยการนับค่าจาก 3 ที่เพิ่มขึ้น 3 (เหล่านี้จะเป็นตัวคูณของ 3 ในรายการ): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30หมายเลขถัดไปที่ยังไม่ ข้ามออกในรายการหลังจาก 3 เป็น 5 ข้ามทุกเลข 5 ในรายการหลังจากนั้น โดยนับค่าจาก 5 เพิ่ม 5 (เช่นทั้งหมดตัวคูณ 5): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30หมายเลขถัดไปที่ยังไม่ ข้ามออกในรายการหลังจาก 5 เป็น 7 ขั้นตอนถัดไปจะฆ่าทุกเลข 7 ในรายการหลังจาก 7 แต่พวกเขาจะทั้งหมดแล้วข้ามออกที่จุดนี้ เป็นเหล่านี้หมายเลข (14, 21, 28) มีสินค้าหลายรายการของ primes เล็กเนื่องจาก 7 * 7 มากกว่า 30 ตัวซ้ายไม่ข้ามออกในรายการณจุดนี้คือ หมายเลข prime ทั้งหมด 30: 2 3 5 7 11 13 17 19 23

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตะแกรงของ Eratosthenes
จากวิกิพีเดียสารานุกรมเสรีตะแกรงของ Eratosthenes: ขั้นตอนขั้นตอนวิธีการสำหรับช่วงเวลาดังต่อ 121 (รวมถึงการเพิ่มประสิทธิภาพของการเริ่มต้นจากตารางนายกรัฐมนตรี). ในคณิตศาสตร์ตะแกรงของ Eratosthenes นี้ (กรีกโบราณ: κόσκινονἘρατοσθένους, kóskinonEratosthénous) ซึ่งเป็นหนึ่งใน จำนวน sieves จำนวนที่สำคัญคือการที่ง่ายและขั้นตอนวิธีการโบราณหาตัวเลขที่สำคัญทั้งหมดขึ้นอยู่กับขีด จำกัด ใดก็ตาม มันไม่ได้โดยการทำเครื่องหมายซ้ำเป็นคอมโพสิต (เช่นไม่ใช่นายก) หลายของแต่ละสำคัญที่เริ่มต้นด้วยหลายรายการ 2. [1] คูณของนายกรัฐมนตรีที่ได้รับจะถูกสร้างขึ้นเป็นลำดับของตัวเลขเริ่มต้นจากการที่สำคัญที่มีอย่างต่อเนื่อง ความแตกต่างระหว่างพวกเขาที่เท่ากับนายก. [1] นี่คือความแตกต่างที่สำคัญตะแกรงของใช้ส่วนการพิจารณาคดีไปตามลำดับการทดสอบจำนวนผู้สมัครแต่ละหารแต่ละนายก. [2] ตะแกรงของ Eratosthenes เป็นหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการ ค้นหาทั้งหมดของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดเล็ก มันเป็นชื่อ Eratosthenes ซิรีน, นักคณิตศาสตร์กรีก; แม้ว่าจะไม่มีผลงานของเขามีชีวิตรอดตะแกรงก็อธิบายและนำมาประกอบกับไอออนในเบื้องต้นในการคำนวณโดย Nicomachus. [3] ตะแกรงอาจจะใช้ในการหาช่วงเวลาในการก้าวหน้าเลขคณิต. [4] [ซ่อน] 1 ภาพรวม1.1 ตัวอย่าง2 ขั้นตอนวิธีการและตัวแปร2.1 pseudocode 2.2 คละคลุ้งตะแกรง2.3 ตะแกรงที่เพิ่มขึ้น3 การวิเคราะห์คำนวณ4 ขั้นตอนซับซ้อน5 ออยเลอร์ตะแกรง6 ที่เป็นที่นิยมวัฒนธรรม7 ดูเพิ่มเติม8 อ้างอิง9 ภายนอกเชื่อมโยงภาพรวม [แก้ไข] ร่อนสองและร่อนสาม, ตะแกรงของ Eratosthenes. เมื่อ หลายประเสริฐ, หมายเลขที่ยังคงเป็นนายกรัฐมนตรี. "" ไม่ประสงค์ออกนาม [5] จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตรงสองแตกต่างกันหารจำนวนธรรมชาติ:. ที่ 1 และตัวเองเพื่อหาทุกตัวเลขที่สำคัญน้อยกว่าหรือเท่ากับที่กำหนด จำนวนเต็ม n โดยวิธี Eratosthenes ': สร้างรายการของจำนวนเต็มติดต่อกันจาก 2 ถึง n: (2, 3, 4, ... , n). ในขั้นต้นให้ P เท่ากับ 2, จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุด. แจกแจงหลายของ p โดย นับถึง n จาก 2p ในการเพิ่มขึ้นของ P และทำเครื่องหมายไว้ในรายการ (เหล่านี้จะเป็น 2P, 3P, 4P, ... ; P ตัวเองไม่ควรจะทำเครื่องหมาย). ค้นหาหมายเลขแรกมากกว่า P ในรายการที่ไม่ได้ทำเครื่องหมาย หากไม่มีหมายเลขดังกล่าวหยุด มิฉะนั้นให้ P ตอนนี้เท่ากับหมายเลขใหม่นี้ (ซึ่งเป็นนายกต่อไป) และทำซ้ำจากขั้นตอนที่ 3 เมื่ออัลกอริทึมยุติตัวเลขที่เหลือไม่ได้ทำเครื่องหมายในรายการเป็นจำนวนเฉพาะด้านล่างทั้งหมด n. ความคิดหลักที่นี่คือว่าทุก ค่าที่กำหนดไปที่ P จะเป็นนายกเพราะเราได้ทำเครื่องหมายไว้หลายทั้งหมดของตัวเลขที่น้อยกว่า P ทราบว่าบางส่วนของตัวเลขที่ถูกทำเครื่องหมายอาจได้รับแล้วทำเครื่องหมายไว้ก่อนหน้านี้ (เช่น 15 จะถูกทำเครื่องหมายทั้ง 3 และ 5). ในฐานะที่เป็นการปรับแต่งก็จะเพียงพอที่จะทำเครื่องหมายตัวเลขในขั้นตอนที่ 3 เริ่มต้นจาก P2 เป็นทั้งหมดที่มีขนาดเล็ก ทวีคูณของ P จะได้รับแล้วทำเครื่องหมายที่จุดนั้น ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมที่ได้รับอนุญาตที่จะยุติการในขั้นตอนที่ 4 เมื่อ P2 มีค่ามากกว่า n. [1] การปรับแต่งก็คือการแสดงรายการแรกเป็นเลขคี่เท่านั้น (3, 5, ... , n), และนับในการเพิ่มขึ้นของ 2p จาก P2 ในขั้นตอนที่ 3 จึงทำเครื่องหมายหลายเพียงคี่ของ P นี้จริงจะปรากฏในขั้นตอนวิธีการเดิม. [1] นี้สามารถทั่วไปกับตีนเป็ดล้อ, รูปรายการเริ่มต้นเท่านั้นจากตัวเลข coprime มีไม่กี่ช่วงแรกและไม่เพียง แต่จากการต่อรอง (เช่นหมายเลข coprime 2) และนับใน ปรับตามลําดับการเพิ่มขึ้นเพื่อให้หลายเพียงดังกล่าวของ P จะมีการสร้างที่มี coprime กับช่วงเวลาเล็ก ๆ เหล่านั้นในสถานที่แรก. [6] ตัวอย่าง [แก้ไข] เพื่อหาทุกตัวเลขที่สำคัญน้อยกว่าหรือเท่ากับ 30 ให้ดำเนินการดังนี้. ครั้งแรก สร้างรายชื่อของจำนวนเต็ม 2-30 A: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 จำนวนครั้งแรกในรายการเป็น 2; ข้ามออกทุกหมายเลข 2 ในรายการหลังจากที่มันโดยการนับจำนวนเพิ่มขึ้นจาก 2 ในการเพิ่มขึ้นของ 2 (เหล่านี้จะเป็นทวีคูณทั้งหมดของ 2 ในรายการ): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 หมายเลขถัดไปในรายการหลังจากที่ 2 เป็น 3; ข้ามออกทุกหมายเลข 3 ในรายการหลังจากที่มันโดยการนับจำนวนเพิ่มขึ้นจาก 3 ในการเพิ่มขึ้นของ 3 (เหล่านี้จะเป็นทวีคูณทั้งหมดของ 3 ในรายการ): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 จำนวนถัดไปที่ยังไม่ได้ข้ามออกในรายการหลังจากที่ 3 เป็น 5; ข้ามออกทุกหมายเลข 5 ในรายการหลังจากที่มันโดยการนับจำนวนเพิ่มขึ้นจาก 5 ในการเพิ่มขึ้น 5 (คือหลายทั้งหมดของ 5): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ถัดไปจำนวนยังไม่ข้ามออกในรายการหลังจากที่ 5 เป็น 7; ขั้นตอนต่อไปจะข้ามออกทุกหมายเลข 7 ในรายการหลังจากที่ 7 แต่พวกเขาทั้งหมดแล้วเดินออกที่จุดนี้เป็นตัวเลขเหล่านี้ (14, 21, 28) นอกจากนี้ยังมีหลายรายการเฉพาะที่มีขนาดเล็กเพราะ 7 * 7 เป็นใหญ่ กว่า 30 หมายเลขซ้ายไม่ได้เดินออกในรายการที่จุดนี้มีทั้งหมดตัวเลขที่สำคัญดังต่อไปนี้ 30: 2 3 5 7 11 13 17 19 23