A vector space (also called a linea

A vector space (also called a linear space) is a collection of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars in this context. Scalars are often taken to be real numbers, but there are also vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or generally any field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called axioms, listed below.

Euclidean vectors are an example of a vector space. They represent physical quantities such as forces: any two forces (of the same type) can be added to yield a third, and the multiplication of a force vector by a real multiplier is another force vector. In the same vein, but in a more geometric sense, vectors representing displacements in the plane or in three-dimensional space also form vector spaces. Vectors in vector spaces do not necessarily have to be arrow-like objects as they appear in the mentioned examples: vectors are regarded as abstract mathematical objects with particular properties, which in some cases can be visualized as arrows.

Vector spaces are the subject of linear algebra and are well understood from this point of view since vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. A vector space may be endowed with additional structure, such as a norm or inner product. Such spaces arise naturally in mathematical analysis, mainly in the guise of infinite-dimensional function spaces whose vectors are functions. Analytical problems call for the ability to decide whether a sequence of vectors converges to a given vector. This is accomplished by considering vector spaces with additional structure, mostly spaces endowed with a suitable topology, thus allowing the consideration of proximity and continuity issues. These topological vector spaces, in particular Banach spaces and Hilbert spaces, have a richer theory.

Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as the 17th century's analytic geometry, matrices, systems of linear equations, and Euclidean vectors. The modern, more abstract treatment, first formulated by Giuseppe Peano in 1888, encompasses more general objects than Euclidean space, but much of the theory can be seen as an extension of classical geometric ideas like lines, planes and their higher-dimensional analogs.

Today, vector spaces are applied throughout mathematics, science and engineering. They are the appropriate linear-algebraic notion to deal with systems of linear equations; offer a framework for Fourier expansion, which is employed in image compression routines; or provide an environment that can be used for solution techniques for partial differential equations. Furthermore, vector spaces furnish an abstract, coordinate-free way of dealing with geometrical and physical objects such as tensors. This in turn allows the examination of local properties of manifolds by linearization techniques. Vector spaces may be generalized in several ways, leading to more advanced notions in geometry and abstract algebra.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พื้นที่เวกเตอร์ (หรือที่เรียกว่าพื้นที่เชิงเส้น) เป็นคอลเลกชันของวัตถุที่เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งอาจจะรวมเข้าด้วยกันและคูณ ("ปรับ") โดยตัวเลขที่เรียกว่าสเกลาในบริบทนี้ สเกลาเป็นที่มักจะเป็นตัวเลขจริง แต่ยังมีช่องว่างเวกเตอร์คูณด้วยสเกลาโดยตัวเลขที่ซับซ้อนสรุปตัวเลขหรือโดยทั่วไปทุกสาขา นอกจากนี้การดำเนินงานของเวกเตอร์และสเกลาคูณจะต้องตอบสนองความต้องการบางอย่างที่เรียกว่าหลักการที่ระบุไว้ด้านล่าง. เวกเตอร์แบบยุคลิดเป็นตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์หนึ่ง พวกเขาเป็นตัวแทนปริมาณทางกายภาพเช่นกองกำลัง: สองกองกำลัง (ชนิดเดียวกัน) สามารถเพิ่มผลผลิตที่สามและการคูณเวกเตอร์ของแรงโดยคูณจริงเป็นเวกเตอร์แรงอีก ในหลอดเลือดดำเหมือนกัน แต่ในความหมายทางเรขาคณิตมากขึ้นเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของการเคลื่อนที่ในระนาบหรือในพื้นที่สามมิติยังเป็นช่องว่างเวกเตอร์ เวกเตอร์ในพื้นที่เวกเตอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นวัตถุที่ลูกศรเหมือนตามที่ปรากฏในตัวอย่างที่กล่าวถึง: เวกเตอร์ได้รับการยกย่องเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมที่มีคุณสมบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งในบางกรณีสามารถมองเห็นเป็นลูกศร. พื้นที่เวกเตอร์เป็นเรื่องของการเชิงเส้น พีชคณิตและมีความเข้าใจเป็นอย่างดีจากมุมมองนี้ตั้งแต่พื้นที่เวกเตอร์ที่โดดเด่นด้วยมิติของพวกเขาซึ่งประมาณพูดระบุจำนวนของทิศทางที่เป็นอิสระในพื้นที่ ปริภูมิเวกเตอร์อาจจะกอปรด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมเช่นบรรทัดฐานหรือผลิตภัณฑ์ภายใน พื้นที่ดังกล่าวเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในพื้นที่หน้ากากของฟังก์ชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีมิติเวกเตอร์ที่มีฟังก์ชั่น วิเคราะห์ปัญหาที่เรียกร้องให้มีความสามารถในการตัดสินใจว่าลำดับของเวกเตอร์ลู่เวกเตอร์ที่กำหนด นี้สามารถทำได้โดยพิจารณาพื้นที่เวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมพื้นที่ส่วนใหญ่เป็น endowed กับโครงสร้างที่เหมาะสมจึงช่วยให้การพิจารณาประเด็นความใกล้ชิดและต่อเนื่อง เหล่านี้ช่องว่างเวกเตอร์ทอพอโลยีในนาคพื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งและพื้นที่ Hilbert มีทฤษฎีที่ดียิ่งขึ้น. ประวัติศาสตร์ความคิดแรกที่นำไปสู่ช่องว่างเวกเตอร์สามารถตรวจสอบกลับเท่าที่เรขาคณิตวิเคราะห์ศตวรรษที่ 17 ของการฝึกอบรมระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์แบบยุคลิด . ในปัจจุบันการรักษานามธรรมมากขึ้นสูตรเป็นครั้งแรกโดยจูเซปเป Peano ในปี 1888, ครอบคลุมวัตถุทั่วไปมากกว่าพื้นที่แบบยุคลิด แต่มากของทฤษฎีที่สามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิกเช่นเส้นเครื่องบินและ analogs สูงมิติของพวกเขา. วันนี้ พื้นที่เวกเตอร์ที่ถูกนำมาใช้ตลอดทั้งคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และวิศวกรรม พวกเขามีความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นที่เหมาะสมในการจัดการกับระบบสมการเชิงเส้น; นำเสนอกรอบการทำงานสำหรับการขยายตัวของฟูริเยร์ซึ่งเป็นลูกจ้างในการปฏิบัติการบีบอัดภาพ; หรือให้สภาพแวดล้อมที่สามารถใช้สำหรับเทคนิควิธีการแก้ปัญหาสำหรับสมการอนุพันธ์ย่อย นอกจากนี้ช่องว่างให้เวกเตอร์นามธรรมวิธีการประสานงานฟรีของการจัดการกับวัตถุทางเรขาคณิตและทางกายภาพเช่นเทนเซอร์ นี้จะช่วยให้การตรวจสอบคุณสมบัติของท้องถิ่น manifolds โดยใช้เทคนิคเชิงเส้น ช่องว่างที่อาจจะเวกเตอร์ทั่วไปในหลายวิธีที่นำไปสู่ความคิดที่สูงขึ้นในรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตนามธรรม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปริภูมิเวกเตอร์ ( เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น ) เป็นคอลเลกชันของวัตถุเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งอาจจะเพิ่มเข้าด้วยกันและคูณ ( " ปรับขนาด " ) โดยตัวเลขที่เรียกว่า scalars ในบริบทนี้ scalars มักจะใช้เป็น ตัวเลขจริง แต่ยังมีช่องว่างด้วยสเกลาร์การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขเชิงซ้อน จำนวนตรรกยะ หรือโดยทั่วไปของเขตข้อมูลใด ๆการดำเนินงานของการบวกเวกเตอร์และสเกลาร์การคูณต้องตอบสนองความต้องการบางอย่าง เรียกว่าสัจพจน์ ด้านล่าง .

ใช้เป็นตัวอย่างของเวกเตอร์เวกเตอร์พื้นที่ พวกเขาแสดงปริมาณทางกายภาพเช่นกองกำลังใด ๆสองพลัง ( ชนิดเดียวกัน ) สามารถเพิ่มผลผลิต ที่สาม และผลคูณของแรงเวกเตอร์โดยคูณจริงเป็นอีกแรงเวกเตอร์ ในหลอดเลือดดำเดียวกันแต่ในความรู้สึกทางเรขาคณิตมากขึ้น หรือในเครื่องบินหรือ displacements เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ยังฟอร์มเป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์ในพื้นที่เวกเตอร์ไม่จําเป็นต้องเป็นลูกศรเหมือนวัตถุตามที่ปรากฏในกล่าวถึงตัวอย่าง : เวกเตอร์นามธรรมทางคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นวัตถุที่มีคุณสมบัติเฉพาะ ซึ่งในบางกรณีสามารถมองเห็น

เป็นลูกศรเป็นเวกเตอร์เป็นวิชาพีชคณิตเชิงเส้นและดีเข้าใจจากมุมมองนี้ตั้งแต่เป็นแบบมีมิติ ซึ่งประมาณพูด ระบุจำนวนของเส้นทางที่เป็นอิสระในพื้นที่ เวกเตอร์พื้นที่ว่างอาจจะ endowed กับโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น บรรทัดฐานหรือภายในผลิตภัณฑ์ เช่นเป็นเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หลักในการเป็นฟังก์ชันที่เป็นอนันต์มิติเวกเตอร์ฟังก์ชัน ปัญหาการเรียกสำหรับความสามารถในการตัดสินใจว่า เป็นลำดับๆไปให้เวกเตอร์ เวกเตอร์ นี้ได้ โดยการพิจารณาเวกเตอร์ช่องว่างด้วยโครงสร้างที่เพิ่มขึ้น ส่วนใหญ่เป็น endowed กับโครงสร้างที่เหมาะสม จึงให้พิจารณาจากความใกล้ชิด และปัญหาอื่นๆเหล่านี้ทอพอโลยีปริภูมิเวกเตอร์ ในเป็นนาคที่เฉพาะเจาะจงและฮิลเบิร์ตเป็น มีทฤษฎียิ่งขึ้น

ประวัติศาสตร์ ก่อนความคิดที่นำไปสู่พื้นที่เวกเตอร์สามารถ traced กลับเท่าที่ศตวรรษที่ 17 ของเรขาคณิตวิเคราะห์ เมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์พลาด . การรักษาที่ทันสมัยนามธรรมมากขึ้น สูตรแรกโดยจูเซปเปเปอาโนในระดับนานาชาติครอบคลุมวัตถุทั่วไปมากกว่า ใช้พื้นที่ แต่มากของทฤษฎีสามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของแนวความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิก เช่น เส้น ระนาบ และของพวกเขาที่มีขนาดสูง

วันนี้เป็นเวกเตอร์จะใช้ตลอดทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ พวกเขาเหมาะสมเชิงเส้นพีชคณิตความคิดที่จะจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นเสนอกรอบแนวคิดสำหรับฟูเรียร์ขยายตัว ซึ่งใช้ในการปฏิบัติการบีบอัดภาพ หรือมีสภาพแวดล้อมที่สามารถใช้เทคนิคโซลูชั่นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน นอกจากนี้ เป็นเวกเตอร์ตกแต่งนามธรรมประสานงานฟรีวิธีจัดการกับวัตถุทางเรขาคณิตและทางกายภาพ เช่น สั่ง .นี้ในการเปิดจะช่วยให้การตรวจสอบท้องถิ่น คุณสมบัติของท่อโดยเทคนิคเชิงเส้น . เป็นเวกเตอร์อาจทั่วไปหลายประการ ที่นำไปสู่ความคิดขั้นสูงเพิ่มเติมในเรขาคณิตและพีชคณิตนามธรรม