21. The “Vertical Line Test” from c

21. The “Vertical Line Test” from calculus says that a curve in the xy-plane is the graph
of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once.
Explain why this agrees with Definition 2.1.1.
Solution: We assume that the x-axis is the domain and the y-axis is the codomain of
the function that is to be defined by the given curve. According to Definition 2.1.1,
a subset of the plane defines a function if for each element x in the domain there
is a unique element y in the codomain such that (x, y) belongs to the subset of the
plane. If a vertical line intersects the curve in two distinct points, then there will be
points (x1, y1) and (x2, y2) on the curve with x1 = x2 and y1 6= y2. Thus if we apply
Definition 2.1.1 to the given curve, the uniqueness part of the definition translates
directly into the “vertical line test”.
22. The “Horizontal Line Test” from calculus says that a function is one-to-one if and
only if no horizontal line intersects its graph more than once. Explain why this agrees
with Definition 2.1.4.
Solution: If a horizontal line intersects the graph of the function more than once,
then the points of intersection represent points (x1, y1) and (x2, y2) for which x1 6= x2
but y1 = y2. According to Definition 2.1.4, a function is one-to-one if f(x1) = f(x2)
implies x1 = x2. Equivalently, if (x1, y1) and (x2, y2) lie on its graph, then we cannot
have y1 = y2 while x1 6= x2. In this context, the “horizontal line test” is exactly the
same as the condition given in Definition 2.1.4.
23. In calculus the graph of an inverse function f−1 is obtained by reflecting the graph of
f about the line y = x. Explain why this agrees with Definition 2.1.6.
Solution: We first note that the reflection of a point (a, b) in the line y = x is the
point (b, a). This can be seen by observing that the line segment joining (a, b) and
(b, a) has slope −1, which makes it perpendicular to the line y = x, and that this line
segment intersects the line y = x at the midpoint ((a+b)/2, (a+b)/2) of the segment.
If f : R → R has an inverse, and the point (x, y) lies on the graph of f, then y = f(x),
and so f−1(y) = f−1(f(x)) = x. This shows that the point (y, x) lies on the graph
of f−1. Conversely, if (x, y) lies on the graph of f−1, then x = f−1(y), and therefore
y = f(f−1(y)) = f(x), which shows that (y, x) lies on the graph of f.
On the other hand, suppose that the graph of the function g is defined by reflecting
the graph of f in the line y = x. For any real number x, if y = f(x) then we have
g(f(x)) = g(y) = x and for any real number y we have f(g(y)) = f(x) = y, where
x = g(y). This shows that g = f−1, and so f has an inverse.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

21 "การทดสอบเส้นแนวตั้ง" จากแคลคูลัสกล่าวว่าเส้นโค้งในระนาบ xy-
คือกราฟของการทำงานของ x และถ้าหากไม่มีเส้นแนวตั้งปริภูมิโค้งมากกว่าหนึ่งครั้ง.
อธิบายว่าทำไมนี้เห็นด้วยกับคำนิยาม 2.1.1 . โซลูชั่น
: เราคิดว่าแกน x เป็นโดเมนและแกน y คือโคโดเมนของฟังก์ชั่น
ที่จะถูกกำหนดโดยเส้นโค้งที่กำหนด ตามคำนิยาม 2.1.1,
ส่วนย่อยของเครื่องบินกำหนดฟังก์ชั่นถ้า x แต่ละองค์ประกอบในโดเมนมี
y เป็นองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันในโคโดเมนดังกล่าวนั้น (x, y) เป็นส่วนย่อยของเครื่องบิน
ถ้าเส้นแนวตั้งเส้นโค้งในปริภูมิสองจุดที่แตกต่างกันแล้วจะมีจุด
(x1, y1) และ (x2, y2) บนเส้นโค้งที่มี x1 = x2 และ y1 6 = y2 ดังนั้นหากเราใช้
นิยาม 2.1.1 จะโค้งให้ส่วนหนึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการแปลความหมาย
โดยตรงใน "การทดสอบเส้นแนวตั้ง".
22 "การทดสอบเส้นแนวนอน" จากแคลคูลัสกล่าวว่าฟังก์ชั่นเป็นหนึ่งต่อหนึ่งถ้า
เฉพาะในกรณีที่ไม่มีเส้นแนวนอนปริภูมิกราฟมากกว่าหนึ่งครั้ง อธิบายว่าทำไมนี้เห็นด้วยกับคำนิยาม
2.1.4 โซลูชั่น
:. ถ้าเส้นแนวนอนตัดกราฟของฟังก์ชั่นมากกว่าหนึ่งครั้ง
จุดนั้นของสี่แยกเป็นตัวแทนของจุด (x1, y1) และ (x2, y2) ที่ 6 = x1 x2
แต่ y1 = y2 ตามคำนิยาม 2.1.4 ฟังก์ชั่นเป็นหนึ่งต่อหนึ่งถ้า f (x1) = f (x2)
หมายถึง x1 = x2 ค่าเท่ากันถ้าโกหก (x1, y1) และ (x2, y2) บนกราฟของมันแล้วเราไม่สามารถมี
y1 = y2 ขณะ x1 6 = x2 ในบริบทนี้ "การทดสอบเส้นแนวนอน" คือว่า
เดียวกันตามเงื่อนไขที่ให้ไว้ในคำนิยาม 21.4.
23 ในแคลคูลัสกราฟของฟังก์ชันผกผัน F-1 ได้โดยการสะท้อนให้เห็นถึงรูปแบบของกราฟของ F
เกี่ยวกับเส้น y = x อธิบายว่าทำไมนี้เห็นด้วยกับคำนิยาม 2.1.6 โซลูชั่น
:. ครั้งแรกที่เราทราบว่าการสะท้อนของจุด (b) ในเส้น y = x เป็นจุด
(ข) นี้สามารถมองเห็นได้โดยการสังเกตว่าส่วนของเส้นที่เข้าร่วม (ข) และ
(ข,) -1 มีความลาดชัน,ซึ่งจะทำให้มันตั้งฉากกับเส้น y = x และที่บรรทัดนี้
ส่วนตัดกับ y = x ที่จุดกึ่งกลาง ((AB) / 2, (AB) / 2) ของส่วน
ถ้า f:. r → r มีสิ่งที่ตรงกันข้ามและจุด (x, y) อยู่บนกราฟของ f แล้ว y = f (x) และ
ดังนั้น F-1 (y) = F-1 (f (x)) = x แสดงให้เห็นว่าจุด (y, x) อยู่บน
กราฟของ F-1 ตรงกันข้ามถ้า (x, y) อยู่บนกราฟของ F-1,แล้ว x = F-1 (y) และดังนั้นจึง
y = f (F-1 (y)) = f (x) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า (y, x) อยู่บนกราฟของ f.
บนมืออื่น ๆ สมมติว่ากราฟของฟังก์ชัน g ถูกกำหนดโดยสะท้อนให้เห็นถึง
กราฟของ F ในแนว y = x สำหรับทุกจำนวนจริง x, y ถ้า = f (x) แล้วเรามี
g (f (x)) = g (y) = x และ y สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ที่เราได้ f (g (y)) = f (x ) = y ที่
กรัม x = (y) นี้แสดงให้เห็นว่ากรัม = F-1,และเพื่อให้มีฉผกผัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

21. "แนวตั้งรายการทดสอบ" จากแคลคูลัสกล่าวว่า เส้นโค้งในระนาบ xy มีกราฟ
ของฟังก์ชันของ x ถ้า และ ถ้าไม่แนวเส้นตัดโค้งมากกว่าหนึ่งครั้ง
Explain เหตุนี้ตกลงกับนิยาม 2.1.1.
Solution: เราสมมติว่า แกน x เป็นโดเมน และแกน y เป็น codomain ของ
ฟังก์ชันที่กำหนด โดยเส้นโค้งที่กำหนด ตามข้อกำหนด 2.1.1,
ชุดย่อยของเครื่องบินกำหนดฟังก์ชันถ้าสำหรับแต่ละองค์ประกอบ x ในโดเมนมี
คือ y เป็นองค์ประกอบเฉพาะใน codomain การดังกล่าวที่ (x, y) เป็นชุดย่อยของการ
เครื่องบิน ถ้าเส้นแนวตั้งตัดเส้นโค้งในสองจุดที่แตกต่างกัน แล้วจะมี
จุด (x 1, y1) และ (x2, y2) บนเส้น 1 x = y1 และ x 2 6 = y2 ดังนั้นถ้าเราใช้
นิยาม 2.1.1 การกำหนดเส้นโค้ง ส่วนเอกลักษณ์ของคำนิยามแปล
ลง "ทดสอบแนว"
22 "แนวเส้นทดสอบ" จากแคลคูลัสกล่าวว่า ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งถ้า และ
ถ้าไม่มีเส้นตัดกราฟของมากกว่าหนึ่งครั้ง อธิบายเหตุผลนี้ตกลง
กับนิยาม 2.1.4.
Solution: ถ้าเส้นแนวนอนตัดกราฟฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งครั้ง,
แล้วจุดสี่แยกแสดงจุด (x1, y1) และ (x 2, y2) ที่ x 1 6 = x 2
แต่ y1 = y2 ตามคำนิยามที่ 2.1.4 ฟังก์ชันเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งถ้า f(x1) = f (x2)
หมายถึง x 1 = x 2 Equivalently ถ้า (x 1, y1) และ (x2, y2) อยู่บนกราฟของ แล้วเราไม่
ได้ y1 = y2 x 1 6 x 2 = ในบริบทนี้ "ทดสอบเส้นแนวนอน" คือการ
เหมือนกับเงื่อนไขที่กำหนดในข้อกำหนด 21.4.
23 ในแคลคูลัส กราฟของ f−1 เป็นฟังก์ชันผกผันได้รับมา โดยสะท้อนกราฟของ
f เกี่ยวกับ y บรรทัด =ไฟร์ Explain เหตุนี้ตกลงกับนิยาม 2.1.6.
Solution: เราทราบก่อนที่สะท้อนจุด (a, b) ในเส้น y = x เป็น
จุด (b เป็น) นี้สามารถดูได้ โดยการสังเกตที่บรรทัดเซ็กเมนต์รวม (a, b) และ
(b, a) มีลาด −1 ซึ่งทำให้ตั้งฉากกับเส้น y = x และที่บรรทัดนี้
ส่วนตัดบรรทัด y = x ที่จุดกึ่งกลาง ((a b)/2, (แบบ b) / 2) ของเซ็กเมนต์
ถ้า f: R → R มีการผกผัน และจุด (x, y) อยู่บนกราฟของ f แล้ว y = f (x),
และ f−1(y) เพื่อ = f−1(f(x)) = x ฟิลด์นี้แสดงว่า จุด (y, x) อยู่บนกราฟ
ของ f−1 ในทางกลับกัน ถ้า (x, y) อยู่บนกราฟของ f−1 แล้ว x = f−1(y) และ
y = f(f−1(y)) = f(x) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า (y, x) อยู่บนกราฟของเอฟ
บนมืออื่น ๆ สมมติว่า กราฟของฟังก์ชันที่กำหนด โดยสะท้อน
กราฟของ f ในเส้น y = x สำหรับทุกจำนวนจริง x ถ้า y = f(x) แล้วเรา have
g(f(x)) = g(y) = x สำหรับจำนวนจริง y ใดๆ เรามี f(g(y)) = f(x) = y ที่
x = g(y) ฟิลด์นี้แสดงว่า g = f−1 และดังนั้น f มีการผกผัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

21 . ที่"ในแนวตั้งสายการทดสอบ"จากคำนวณกล่าวว่าที่ที่ความโค้งมนใน XY - เครื่องบินเป็นกราฟ
ซึ่งจะช่วยให้การทำงานของ X หากและเท่านั้นหากไม่มีสายตัดกับเส้นทางในแนวตั้งที่โค้งมากกว่าหนึ่งครั้ง.
อธิบายว่าทำไมนี้เห็นด้วยกับความละเอียด 2.1.1 .
โซลูชัน:เราจะต้องเป็นผู้รับผิดชอบว่า X - แกนเป็นโดเมนและ Y - แกนเป็นที่ codomain ของ
ซึ่งจะช่วยให้สามารถทำงานที่เป็นการได้รับการให้ความโค้งมน. จากคำนิยาม 2.1.1
ย่อยของเครื่องบินที่จะแสดงฟังก์ชันที่หากสำหรับแต่ละองค์ประกอบ x ในโดเมนที่มี
ซึ่งจะช่วยเป็นองค์ประกอบที่โดดเด่น Y ใน codomain เช่น( X , Y )เป็นส่วนย่อยของ
เครื่องบิน หากเส้นแนวตั้งที่ตัดกับเส้นทางโค้งในสองจุดที่แตกต่างกันแล้วจะมี
จุด( x 1 Y 1 )และ( X 2 Y 2 )บนเส้นโค้งที่มีเครื่องหมาย X 1 = x 2 และ Y 16 = Y 2 ดังนั้นหากเราใช้
High Definition 2.1.1 เพื่อปรับตามความโค้งมนให้ส่วนความเป็นเอกลักษณ์ของความละเอียดที่จะแปลง
โดยตรงเข้าไปอยู่ใน"การทดสอบในแนวตั้งที่"..
22 "การทดสอบในแนวนอนได้"จากคำนวณกล่าวว่าทำงานเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งถ้าหากและ
เท่านั้นหากไม่มีเส้นแนวนอนตัดกับเส้นทางของกราฟที่มากกว่าหนึ่งครั้ง อธิบายว่าทำไมรายการนี้ตกลง
พร้อมด้วยโซลูชัน 2.1.4 ..
High Definition หากเส้นแนวนอนที่ตัดกับเส้นทางกราฟของฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งครั้ง
จากนั้นจุดทางแยกเป็นจุด( x 1 Y 1 )และ( X 2 Y 2 )สำหรับที่ x 16 = 2
แต่ Y 1 = Y 2 จากคำนิยาม 2.1.4 ฟังก์ชันที่มีแบบหนึ่งต่อหนึ่งหาก F ( x 1 )= F ( 2 )
หมายถึง x 1 = x 2 อย่าเท่าเทียมกันหาก( x 1 Y 1 )และ( X 2 Y 2 )อยู่บนกราฟแล้วเราไม่สามารถ
มี Y 1 = Y 2 ในขณะที่ x 16 = x 2 ในบริบทนี้“การทดสอบเส้นแนวนอนที่"แท้จริงแล้วคือที่
เหมือนกับ สภาพ ที่ได้รับในความละเอียด 21.4 ..
23 . ในการคำนวณเส้นกราฟกลับกันฟังก์ชั่น F - 1 จะได้รับที่ได้สะท้อนถึงกราฟของ
F เกี่ยวกับสาย y = x อธิบายว่าทำไมรายการนี้ตกลงกับโซลูชัน 2.1.6 ..
High Definition เราเป็นครั้งแรกโปรดบันทึกไว้ด้วยว่าสะท้อนของจุด( b )ในสาย y = X เป็น
จุด( B ) โรงแรมแห่งนี้สามารถมองเห็นได้จากการสังเกตว่าส่วนสายที่เข้าร่วม( B )และ
( B )มีความลาดชัน 1ซึ่งทำให้ตั้งฉากกับแนวสาย y = X ,และที่แห่งนี้สาย
ส่วนตัดกับเส้นทางสาย y = X ที่ณตรงจุดกึ่งกลาง(( B )/ 2 ,( B )/ 2 )ของตลาด.
หาก F : R “→” R มีที่กลับกันและที่จุดเชื่อมต่อ( X , Y )ทอดตัวอยู่บนที่กราฟของ f , Y = F ( X ),
และ F - 1 ( y )= F - 1 ( F ( X ))= x . โรงแรมแห่งนี้แสดงให้เห็นว่าจุดที่( Y X )ทอดตัวอยู่บนกราฟ
ของ F - 1 ที่ ในทางกลับกันหาก( X , Y )ทอดตัวอยู่บนเส้นกราฟของ F 1จากนั้น X = F - 1 ( y )และดังนั้นจึง
y = F ( F - 1 ( y )= F ( X )ซึ่งจะแสดงให้เห็นว่า( Y x )ทอดตัวอยู่บนเส้นกราฟของ F .
บนมือถืออื่นๆที่คิดว่ากราฟของ G ฟังก์ชันที่ถูกกำหนดขึ้นโดยสะท้อนถึงกราฟ
ของ F ในสาย Y = x สำหรับที่แท้จริงจำนวน X ,หาก y = F ( X )แล้วเรามี
G ( F ( X ))= G ( Y )= x และ Y จริงหมายเลขเรามี F ( G ( Y ))= F ( X )= Y ,สถานที่ซึ่ง
x = G ( Y ) โรงแรมแห่งนี้แสดง G = F - 1 ที่และ F มีสีตัดกันได้