The considered problem is NP-comple

The considered problem is NP-complete only for d > 1. For d = 1 one
can actually compute an optimal solution in linear time with the following
algorithm: We always place the next interval (i.e., l-dimensional ball) with its left
end at the leftmost point that is not yet covered.
For d = 2 and fixed 1 L 1 we use two nested applications of the shifting strategy
from Section 2. We first cut the plane into vertical strips of width 1. D. Then, in
order to cover the points in such a strip, we apply the shifting strategy to the other
dimension. Thus, we cut the considered strip into squares of side length I.D. We
find optimal coverings of points in such a square by exhaustive search. With
(1. J2)2 = 212 disks of diameter D we can cover an 1. D x 1. D square compactly;
thus we never need to consider more disks for one square. Further, we can assume
that any disk that covers at least two of the given points has two of these points on
its border. (For disks that cover only one point the following estimate holds
trivially.) Since there are only two ways to draw-a circle of given diameter through
two given points, we only have to consider 2. (2”) possible disk positions, where fi
is the number of given points in the considered square. Thus we have to check at
most O(fi2”‘Ja2 ) arrangements of disks. We specify the position of each disk by its
center. In order to check whether an arrangement of disks is a feasible cover of the
vi points in the square, we need to determine for each point whether it is within
a distance of at most D/2 from one of the centers. Such a check will requireO(l* . fi) steps

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พิจารณาปัญหาได้สมบูรณ์ NP สำหรับ d > 1 สำหรับ d = 1 หนึ่งจริงสามารถคำนวณแก้ปัญหาเหมาะสมที่สุดในเวลาเชิงเส้นกับต่อไปนี้อัลกอริทึม: เราจะวางช่วงถัดไป (เช่น l มิติลูก) กับด้านซ้ายของสิ้นสุดที่จุดซ้ายสุดที่ยังไม่ครอบคลุมสำหรับ d = 2 และถาวร 1 L 1 ที่เราใช้งานซ้อนกันสองกลยุทธ์เลื่อนลอยจาก 2 ส่วน เราต้องตัดเครื่องบินเป็นแถบแนวตั้งความกว้าง 1 D. แล้ว ในเพื่อที่จะครอบคลุมประเด็นในแถบดังกล่าว เราใช้กลยุทธ์เลื่อนลอยอีกมิติ ดังนั้น เราตัดแถบพิจารณาเป็นกำลังสองของความยาวด้านประชาชนเราค้นหาปูเหมาะสมของสถานที่ในตารางดังกล่าว โดยการค้นหาที่ครบถ้วนสมบูรณ์ ด้วยดิสก์ (1. J2) 2 = 212 ของเส้นผ่าศูนย์กลาง D เราสามารถครอบคลุม 1 D x 1 D เหลี่ยม compactlyดังนั้น เราไม่จำเป็นต้องพิจารณาดิสก์สำหรับตารางหนึ่ง ต่อไป เราสามารถสมมติว่า ดิสก์ใดที่ครอบคลุมอย่างน้อยสองจุดที่กำหนดมีสองจุดเหล่านี้ขอบ (สำหรับดิสก์ที่ครอบคลุมเพียงจุดเดียว การประเมินต่อไปนี้มีtrivially) ตั้งแต่มี เพียงสองวิธีในการวาดเป็นวงได้เส้นผ่าศูนย์กลางผ่านสองจุดกำหนด เราจะต้องพิจารณา 2 (2") ดิสก์ได้ตำแหน่ง ที่ไร้สายจำนวนได้จุดในตารางเป็นการ ดังนั้น เราต้องตรวจสอบO ส่วนใหญ่ (fi2 "'Ja2) จัดเรียงดิสก์ เราระบุตำแหน่งของแต่ละดิสก์โดยการศูนย์ เพื่อตรวจสอบว่าการจัดเรียงดิสก์ครอบคลุมความเป็นไปได้ของการจุด vi ในสี่เหลี่ยม เราต้องพิจารณาแต่ละจุดไม่ว่าจะเป็นภายในระยะทางมากที่สุด D/2 จากศูนย์ การตรวจสอบจะ requireO (l * ไร้สาย) ตอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหาที่เกิดขึ้นถือว่าเป็นเอ็นพีบริบูรณ์เฉพาะสำหรับ d> 1. สำหรับ d = 1 หนึ่ง
จริงสามารถคำนวณทางออกที่ดีที่สุดในเวลาเชิงเส้นที่มีดังต่อไปนี้
ขั้นตอนวิธีการ: เรามักจะวางช่วงต่อไป (เช่นลูกลิตรมิติ) กับด้านซ้าย
ท้าย ที่จุดซ้ายสุดที่ยังไม่ครอบคลุม.
สำหรับ d = 2 และคง 1 ลิตร 1 เราจะใช้สองโปรแกรมที่ซ้อนกันของกลยุทธ์การขยับ
จากมาตรา 2 ก่อนอื่นเราตัดเครื่องบินเป็นเส้นแนวตั้งที่มีความกว้าง 1 D. จากนั้นใน
การสั่งซื้อ เพื่อให้ครอบคลุมจุดในแถบเราใช้กลยุทธ์การขยับไปยังอีก
มิติ ดังนั้นเราจึงตัดแถบถือว่าเป็นสี่เหลี่ยมของความยาวด้าน ID เรา
พบปูที่ดีที่สุดของคะแนนในตารางดังกล่าวโดยการค้นหาหมดจด ด้วย
(1 J2) 2 = 212 แผ่นขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง D เราสามารถครอบคลุม 1. ลึก x 1 ตารางดาน D;
ทำให้เราไม่จำเป็นที่จะต้องพิจารณามากขึ้นสำหรับดิสก์หนึ่งตาราง นอกจากนี้เราสามารถสรุปได้
ว่าดิสก์ใด ๆ ที่ครอบคลุมอย่างน้อยสองจุดที่กำหนดมีสองจุดเหล่านี้บน
ชายแดน (สำหรับดิสก์ที่ครอบคลุมเพียงจุดเดียวประมาณการต่อไปนี้ถือ
นิด.) เนื่องจากมีเพียงสองวิธีที่จะวาดวงกลมขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางที่กำหนดผ่าน
จุดสองจุดที่กำหนดเราจะต้องพิจารณา 2. (2 ") ตำแหน่งดิสก์ที่เป็นไปได้ที่ สาย
คือจำนวนของจุดที่กำหนดในการพิจารณาตาราง ดังนั้นเราจึงต้องตรวจสอบที่
มากที่สุด O (Fi2 "Ja2) การเตรียมการของดิสก์ เราระบุตำแหน่งของแต่ละดิสก์โดยที่
ศูนย์ เพื่อที่จะตรวจสอบว่าการจัดเรียงของดิสก์เป็นปกที่เป็นไปได้ของ
จุด vi ในตารางที่เราจำเป็นต้องตรวจสอบแต่ละจุดไม่ว่าจะเป็นภายใน
ระยะทางที่มากที่สุด D / 2 จากหนึ่งในศูนย์ การตรวจสอบดังกล่าวจะ requireO (L *. FI) ขั้นตอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ถือว่าเป็นปัญหาเอ็นพีสมบูรณ์เพียง D 1 สำหรับ D = 1
จริงสามารถนำเสนอโซลูชั่นที่เหมาะสมในเวลาเชิงเส้นด้วยวิธีต่อไปนี้ :
เสมอช่วงถัดไป ( เช่น l-dimensional บอล ) กับซ้ายสุด
ที่ต่างกัน จุดที่ยังไม่ครอบคลุม .
สำหรับ D = 2 และคงที่ 1 ชั้น 1 เราใช้ซ้อนกันสองงานการพลิกกลยุทธ์
จากส่วนที่ 2เราตัดเครื่องบินเป็นแถบแนวตั้งของความกว้าง 1 d . จากนั้นใน
เพื่อให้ครอบคลุมจุดเช่นในแถบที่เราใช้เปลี่ยนกลยุทธ์สู่มิติอื่น ๆ

ดังนั้นเราจึงตัดถือว่าแถบเป็นสี่เหลี่ยมด้านความยาว เราหาจุดเหมาะสมของปู
เช่นสี่เหลี่ยมโดยการค้นหาที่ละเอียดถี่ถ้วน . กับ
( 1 j2 ) 2 = 212 ดิสก์เส้นผ่านศูนย์กลาง D เราสามารถครอบคลุม 1 D x 1 ตารางแบบกะทัดรัด D ;
ดังนั้นเราจึงไม่ต้องพิจารณาดิสก์อีกหนึ่งตาราง เพิ่มเติมเราสามารถสมมติ
ที่ดิสก์ที่ครอบคลุมอย่างน้อยสองจุดให้มีสองจุดเหล่านี้บน
ชายแดนของ ( สำหรับดิสก์ที่ครอบคลุมเพียงหนึ่งจุดประมาณการตามเก็บ
0 ) เนื่องจากมีเพียงสองวิธีที่จะ draw-a ของเส้นผ่าศูนย์กลางวงกลมผ่าน
2 ได้รับคะแนน เราต้องพิจารณา 2( 2 ) ตําแหน่งดิสก์ที่เป็นไปได้ที่ Fi
เป็นจํานวนได้รับคะแนนในการพิจารณา สแควร์ ดังนั้นเราต้องตรวจสอบมากที่สุด (
o fi2 " 'ja2 ) การจัดการดิสก์ เราระบุตำแหน่งของแต่ละดิสก์โดยศูนย์

เพื่อตรวจสอบว่า การจัดเรียงของดิสก์เป็นปกที่เป็นไปได้ของ
6 จุด ใน ตาราง เราต้องตรวจสอบสำหรับแต่ละจุดไม่ว่าจะเป็นภายใน
ระยะทางมากที่สุด d / 2 จากหนึ่งในศูนย์ เช่นการตรวจสอบจะ requireo ( L * . FI ) ขั้นตอน