The square 169 can be written as a

The square 169 can be written as a sum of two squares 52 + 122, as a sum of three
squares 32 + 42 + 122, as a sum of four squares 12 + 22 + 82 + 102, as a sum of five
squares 12 + 22 + 22 + 42 + 122, and so on for quite a long while. In fact, Jackson,
et al. [5] note that 169 can be written as a sum of k positive squares for all k from 1
to 155 and first fails as a sum of length 156. The authors go on to ask whether there is
any limit to such a string of sums. Specifically, for every positive integer b is there an
integer n which can be written as a sum of k positive squares for all k from 1 to b? We
assemble a collection of results, most of which have been known for quite some time,
to answer this question and, in fact, to specify all possible lengths for sums of squares
equal to a given square.
This investigation began when I read a manuscript in which the author proved that a
certain combinatorially defined integer c(k) could be written as a sum of k positive integer
squares. Although the proof technique was interesting, I wondered if it wouldn’t
be more surprising to find that a sufficiently large integer couldn’t be written as a sum
of k squares. For that reason, in what follows we address the possible lengths for sums
of squares equal to a given integer which may or may not be a square.
Sums of 5 or more positive squares Dickson [1] credits Dubouis with publishing
the following theorem in 1911. An integer n ≥ 34 can be written as a sum of k positive
squares for all k satisfying 5 ≤ k ≤ n except for k = n − 13, n − 10, n − 7,
n − 5, n − 4, n − 2, n − 1. Writing 20 years later, Pall [7] laments over having duplicated
Dubouis’ work before noticing the report of it but resists presenting his own
proof. Writing over 75 years later still, I suspect that both Dubouis’ and Pall’s proofs
resembled the following.
First we show that no integer n can be written as a sum of k positive squares for
k ∈ {n − 13, n − 10, n − 7, n − 5, n − 4, n − 2, n − 1}. To see this note that the sum
of k positive squares n = s2
1
+ · · · + s2
k can be obtained from the sum of n ones by
repeatedly replacing s2
i of the ones with the single square s2
i . This replacement reduces
the number of summands by s2
i
− 1. For example, replacing four ones, 1 + 1 + 1 + 1,
with a single square 22 reduces the number of summands by 3. A replacement of 32
ones reduces the number of summands by 8 and larger squares reduce the number of
summands by at least 15. A quick check shows that the count of n summands in the
sum of all ones cannot be reduced by any of the amounts 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 using
reductions of 3 and 8.
We now use induction to show that n can be written as sums of the specified lengths,
securing the base case of n = 34 with a hand check. For n > 34 we add 12 to each of
the sums of squares equal to n − 1 given by the induction hypothesis. This gives all of
the required lengths of sums for n except for a length 5 sum.
The proof is completed by showing that all n > 34 can be written as a sum of 5
positive squares. A computer check (an additional hand check for Pall and Dubouis)
verifies this for 34 < n ≤ 169. For n > 169 we use Lagrange’s theorem, which states
that every positive integer can be written as a sum of four or fewer positive squares.
For n > 169, use Lagrange’s theorem to write n − 169 as a sum of 1, 2, 3 or 4 positive
squares. Then add the appropriate representation of 169 as the sum of 4, 3, 2, or 1
positive squares to obtain five positive squares summing to n.
So, except for lengths of 2, 3, and 4, this result specifies all possible lengths for sums
of squares equal to a given square. In addition the result greatly simplifies the question
in Jackson, et al., since if a square n can be written as a sum of 2, 3, and 4 positive
squares then n can be written as a sum of k positive squares for all 1 ≤ k ≤ n − 14.
Sums of two positive squares There seems to be some disagreement about when
an integer can be written as a sum of two positive squares. In the 1959 article [3] the
condition is stated that the integer must have the form 4an1n22
, with integral a ≥ 0,
n1 > 1, the prime factors of n1 congruent to 1 mod 4 and the prime factors of n2
congruent to 3 mod 4. In the 2006 book [6] the condition is the same except that 4a is
replaced with 2e, with e a nonnegative integer. In both sources the claims are said to
follow easily from previous results, but proofs are not given. However, neither of these
conditions include 18 = 2 × 32 = 32 + 32 since 18 has no 4k + 1 prime factor. More
generally the conditions exclude the numbers n = m2 + m2 where m has no 4k + 1
prime. Perhaps the authors meant to describe conditions in which n could be written
as a sum of two distinct positive squares.
In any case, the correct statement is that a positive integer n can be written as the
sum of two positive squares if and only if either n is twice a square or n has at least
one 4k + 1 prime factor and all of its 4k + 3 prime factors appear to even powers.
This fact follows easily from the much deeper theory for computing rk(n) which
is defined to be the number of ways of writing n as a sum of k integer squares. In
computing rk(n) the squares of both positive and negative integers as well as 02 are
allowed and permutations of addends are counted as distinct sums. So, for example
r2(9) = 4 since 9 = 02 + (±3)2 = (±3)2 + 02 are the four ways to express 9 as the
sum of two integer squares.
Let n = 2k  pai
i qb j
j be the prime factorization of n with the pi and qj being the
primes congruent to 1 and 3 mod 4, respectively. Gauss showed that if any of the bj are
odd then r2(n) = 0 and otherwise r2(n) = 4(1 + ai ). So for example, since n = 9
has no 4k + 3 primes to an odd power, and all 4k + 1 primes occur to the zero power,
r2(9) = 4(1 + 0) = 4 as counted above.
Now assume that n = a2 + b2 is the sum of two positive squares. Either n is twice
a square or a = b in which case n = (±a)2 + (±b)2 = (±b)2 + (±a)2 shows that
r2(n) ≥ 8. From this it follows that all 4k + 3 primes appear to even powers and there
is at least one 4k + 1 prime. Conversely, if n = 2k2, then clearly n is the sum of two
nonzero squares. If, on the other hand, all 4k + 3 primes appear to even power and
there is at least one 4k + 1 prime, then r2(n) ≥ 8. Since at most 4 of these sums can
use 02, there must be a sum with two positive squares.
Sums of three positive squares When an integer can be written as a sum of three
positive squares has not quite been pinned down. Legendre showed that numbers of
the form 4h(8k + 7) are those which cannot be written as the sum of three or fewer
positive squares. But this left open the set of numbers which cannot be written as a sum
of three positive squares but can be written as a sum of one or two. In 1959 Grosswald,
et al., [3] proved that there exists a finite set of integers S such that n is not the sum
of three positive squares if and only if n = 4hq where q = 7 mod 8 or q is an element
of the finite set S. They conjectured that S = {1, 2, 5, 10, 13, 25, 37, 58, 85, 130} but
their proof showed only that the set S is finite.
Despite this disappointment, it is known which squares are sums of three positive
squares. Hurwitz [4] proved that with the exception of (2k)2 and (5 × 2k)2, every positive
square can be written as a sum of three positive squares. Fraser and Gordon later
gave an elementary proof of this fact in [2].
As a digression, note that Hurwitz’s result shows that the set S contains no squares
other than 1 and 25. So, in considering whether there might be additional numbers in
S, we need only consider nonsquares. If n is not a square, then for n = a2 + b2 neither
a nor b are zero and so the orderings in the three sums 02 + a2 + b2, a2 + 02 + b2,
a2 + b2 + 02 are distinct. If n cannot be written as a sum of three positive squares,
then all sums of three squares equal to n must have one of these three forms. Thus if n
is not a square, then n cannot be written as a sum of three positive squares if and only if
r3(n) = 3r2(n). In three hours, a laptop search using Mathematica’s built-in SquaresR
function verified that the conjectured values for S are correct for n ≤ 5 × 106.
Sums of four positive squares In [6], Pall is credited with showing that n can be
written as a sum of four positive squares if and only if n is not one of {1, 3, 5, 9, 11,
17, 29, 41} or of the form 2 × 4k , 6 × 4k , 14 × 4k . In a footnote of the cited work [7],
Pall says that “the reader will have no difficulty in proving [this result] by using the
following classical result, which was first stated by Fermat, and was first proved by
Legendre in 1798. A positive integer is a sum of three [or fewer positive] squares if
and only if it is not of the form 4h(8k + 7)”. With such a challenge I picked up my
pen and searched for the proof. Minutes ticked away to hours with my ego sinking
all the while. I eventually did hit upon the following proof similar to the one I later
found in [8].
First note that 4h(8k + 7) = 0, 4, 7 mod 8. If n = 2, 3, 4, 6, 7 mod 8, then n − 132 =
1, 2, 3, 5, 6 mod 8 and so n − 132 is not of the form 4h(8k + 7). Thus for n > 132,
Legendre’s results shows that n − 132 can be written as a sum of three or fewer positive
squares. Augment this sum with the appropriate choice from among 132 = 52 + 122 =
32 + 42 + 122 to obtain four positive squares summing to n. For n ≤ 132, a computer
check finds that {2, 3, 6, 11, 14} are the only integers in these congruence classes
which cannot be written as a sum of four positive squares.
If n = 1, 5 mod 8, then n − 262 = 5, 1 mod 8. So for n > 262, n − 262 can be
written as a sum of three positive squares. Augment this sum with the appropriate
choice from among 262 = 102 + 242 = 62 + 82 + 242 to obtain four positive squares
summing to n. For n ≤ 262, a computer check finds that {1, 5, 9, 17, 29, 41} are the
only integers in these congruence classes which cannot be writ

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สแควร์ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองช่อง 52 + 122 เป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยม 32 + 42 + 122 เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม 12 + 22 + 82 + 102 เป็นผลรวมของ 5สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 22 + 42 + 122 และค่อนข้างยาวนานในขณะที่ ในความเป็นจริง Jacksonหมายเหตุ al. ร้อยเอ็ด [5] ที่ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมด 1155 และแรกเหลวเป็นผลรวมของความยาว 156 ผู้เขียนไปถามว่า มีมีจำกัดเช่นสายผล โดยเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก b มีการn จำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมดจาก 1 ลงใน b เรารวบรวมชุดของผลลัพธ์ มากที่สุดที่รู้จักค่อนข้างบางเวลาตอบคำถามนี้และ ในความเป็น จริง การระบุความยาวได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้นี้เริ่มเมื่อผมอ่านฉบับที่ผู้เขียนได้ที่การบาง c(k) combinatorially กำหนดจำนวนเต็มที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก kสี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์น่าสนใจ ฉันสงสัยว่า ถ้า มันจะไม่ได้เพิ่มเติมพบว่า ไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่เพียงพอเป็นผลของสี่เหลี่ยม k เหตุผล ในสิ่งต่อไปนี้เรายาวสุดในผลรวมยกกำลังสองเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจ หรืออาจไม่เหลี่ยมผลรวมของช่อง 5 หรือมากกว่าบวกดิกสัน [1] เครดิต Dubouis มีการเผยแพร่ทฤษฎีบทต่อไปนี้พ.ศ. 2454 มีจำนวนเต็ม n ≥ 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ k เป็นบวกสี่เหลี่ยมสำหรับความพึงพอใจ 5 n ≤ k ≤ยกเว้น k k ทั้งหมด = n − 13, n − 10, n − 7n − 5, n − 4, n − 2, n − 1 เขียนหลัง แถบวาย [7] laments 20 ปีผ่านมีซ้ำงานของ Dubouis ก่อนที่จะสังเกตเห็นรายงานได้แต่พยายามขัดขวางการนำเสนอของเขาเองหลักฐานการ ฉันเขียนยังกว่า 75 ปี สงสัยที่หลักฐานของ Dubouis และของแถบวายคล้ายกับต่อไปนี้ครั้งแรก เราแสดงว่า ไม่มีจำนวนเต็ม n สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับk ∈ {n − 13, n − 10, n − 7, n − 5, n − 4, n − 2, n − 1 } เมื่อต้องการดูนี้สังเกตว่า ผลรวมk เหลี่ยมบวก n = s21+ · · · + s2k ได้จากผลรวมของ n คนโดยซ้ำ ๆ แทน s2ฉันคนมี s2 ตารางเดียวฉัน ลดการเปลี่ยนนี้จำนวน summands โดย s2ฉัน− 1 ตัวอย่าง แทนสี่คน 1 + 1 + 1 + 1กับเดียว 22 ลดจำนวน summands 3 แทนที่ 32คนลดจำนวน summands 8 และสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่จำนวนsummands โดยน้อย 15 การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าจำนวน n summands ในการไม่สามารถลดจำนวนคนทั้งหมด โดยมีจำนวน 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 ใช้ลดของ 3 และ 8เราใช้การเหนี่ยวนำเพื่อแสดงว่า n สามารถเขียนเป็นผลรวมของความยาวระบุการรักษาความปลอดภัยกรณีพื้นฐานของ n = 34 ด้วยเครื่องมือ สำหรับ n > 34 เราเพิ่ม 12 แห่งผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับ n − 1 กำหนด โดยทฤษฏีแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งทำให้ทั้งหมดความยาวต้องการผลรวม n ยกเว้นผลยาว 5หลักฐานจะเสร็จสมบูรณ์ โดยแสดงว่า ทั้งหมด n > 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ 5ยกกำลังสองบวก เครื่องคอมพิวเตอร์ (เป็นมือเพิ่มเติมตรวจสอบแถบวายและ Dubouis)ตรวจสอบนี้สำหรับ 34 < n ≤ 169 สำหรับ n > 169 เราใช้ทฤษฎีบทของโรงแรมลากรองจ์ ระบุว่า ทุกจำนวนเต็มบวกสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวกสี่ หรือน้อยกว่าสำหรับ n > 169 ใช้ทฤษฎีบทของโรงแรมลากรองจ์เขียน n − 169 เป็นผลรวมของ 1, 2, 3 หรือ 4 บวกสี่เหลี่ยม เพิ่มการนำเสนอที่เหมาะสมของ 169 เป็นผลรวมของ 4, 3, 2 หรือ 1ยกกำลังสองบวกรับห้าเหลี่ยมบวกรวมกับ nดังนั้น ยกเว้นความยาว 2, 3 และ 4 ผลลัพธ์นี้ระบุความยาวได้ทั้งหมดสำหรับผลยกกำลังสองเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้ นอกจากนี้ ผลมากช่วยให้ง่ายคำถามใน Jackson, et al. ตั้งแต่ถ้า n ตารางสามารถเขียนเป็นผลรวมของ 2, 3 และ 4 บวกสี่เหลี่ยมแล้ว n สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับทุก 1 ≤ k ≤ n − 14ผลรวมของสองบวกสี่เหลี่ยมมีดูเหมือนจะ บางกันเกี่ยวกับเวลาสามารถเขียนจำนวนเต็มที่เป็นผลรวมของกำลังสองบวกสอง ในบทความ 1959 [3]ระบุเงื่อนไขว่า จำนวนเต็มต้องมี 4an1n22 แบบฟอร์มกับทฤษฎีบูรณาการ≥ 0n1 > 1 ของแผง 1 n1 mod 4 และตัวประกอบเฉพาะของ n2แผงไป 3 mod 4 ในหนังสือ 2006 [6] สภาพจะเหมือนกันยกเว้นว่าเป็น 4areplaced with 2e, with e a nonnegative integer. In both sources the claims are said tofollow easily from previous results, but proofs are not given. However, neither of theseconditions include 18 = 2 × 32 = 32 + 32 since 18 has no 4k + 1 prime factor. Moregenerally the conditions exclude the numbers n = m2 + m2 where m has no 4k + 1prime. Perhaps the authors meant to describe conditions in which n could be writtenas a sum of two distinct positive squares.In any case, the correct statement is that a positive integer n can be written as thesum of two positive squares if and only if either n is twice a square or n has at leastone 4k + 1 prime factor and all of its 4k + 3 prime factors appear to even powers.This fact follows easily from the much deeper theory for computing rk(n) whichis defined to be the number of ways of writing n as a sum of k integer squares. Incomputing rk(n) the squares of both positive and negative integers as well as 02 areallowed and permutations of addends are counted as distinct sums. So, for exampler2(9) = 4 since 9 = 02 + (±3)2 = (±3)2 + 02 are the four ways to express 9 as thesum of two integer squares.Let n = 2k  paii qb jj be the prime factorization of n with the pi and qj being theprimes congruent to 1 and 3 mod 4, respectively. Gauss showed that if any of the bj areodd then r2(n) = 0 and otherwise r2(n) = 4(1 + ai ). So for example, since n = 9has no 4k + 3 primes to an odd power, and all 4k + 1 primes occur to the zero power,r2(9) = 4(1 + 0) = 4 as counted above.Now assume that n = a2 + b2 is the sum of two positive squares. Either n is twicea square or a = b in which case n = (±a)2 + (±b)2 = (±b)2 + (±a)2 shows thatr2(n) ≥ 8. From this it follows that all 4k + 3 primes appear to even powers and thereis at least one 4k + 1 prime. Conversely, if n = 2k2, then clearly n is the sum of twononzero squares. If, on the other hand, all 4k + 3 primes appear to even power andthere is at least one 4k + 1 prime, then r2(n) ≥ 8. Since at most 4 of these sums canuse 02, there must be a sum with two positive squares.Sums of three positive squares When an integer can be written as a sum of threepositive squares has not quite been pinned down. Legendre showed that numbers ofthe form 4h(8k + 7) are those which cannot be written as the sum of three or fewerpositive squares. But this left open the set of numbers which cannot be written as a sumof three positive squares but can be written as a sum of one or two. In 1959 Grosswald,et al., [3] proved that there exists a finite set of integers S such that n is not the sumof three positive squares if and only if n = 4hq where q = 7 mod 8 or q is an elementof the finite set S. They conjectured that S = {1, 2, 5, 10, 13, 25, 37, 58, 85, 130} buttheir proof showed only that the set S is finite.Despite this disappointment, it is known which squares are sums of three positive
squares. Hurwitz [4] proved that with the exception of (2k)2 and (5 × 2k)2, every positive
square can be written as a sum of three positive squares. Fraser and Gordon later
gave an elementary proof of this fact in [2].
As a digression, note that Hurwitz’s result shows that the set S contains no squares
other than 1 and 25. So, in considering whether there might be additional numbers in
S, we need only consider nonsquares. If n is not a square, then for n = a2 + b2 neither
a nor b are zero and so the orderings in the three sums 02 + a2 + b2, a2 + 02 + b2,
a2 + b2 + 02 are distinct. If n cannot be written as a sum of three positive squares,
then all sums of three squares equal to n must have one of these three forms. Thus if n
is not a square, then n cannot be written as a sum of three positive squares if and only if
r3(n) = 3r2(n). In three hours, a laptop search using Mathematica’s built-in SquaresR
function verified that the conjectured values for S are correct for n ≤ 5 × 106.
Sums of four positive squares In [6], Pall is credited with showing that n can be
written as a sum of four positive squares if and only if n is not one of {1, 3, 5, 9, 11,
17, 29, 41} or of the form 2 × 4k , 6 × 4k , 14 × 4k . In a footnote of the cited work [7],
Pall says that “the reader will have no difficulty in proving [this result] by using the
following classical result, which was first stated by Fermat, and was first proved by
Legendre in 1798. A positive integer is a sum of three [or fewer positive] squares if
and only if it is not of the form 4h(8k + 7)”. With such a challenge I picked up my
pen and searched for the proof. Minutes ticked away to hours with my ego sinking
all the while. I eventually did hit upon the following proof similar to the one I later
found in [8].
First note that 4h(8k + 7) = 0, 4, 7 mod 8. If n = 2, 3, 4, 6, 7 mod 8, then n − 132 =
1, 2, 3, 5, 6 mod 8 and so n − 132 is not of the form 4h(8k + 7). Thus for n > 132,
Legendre’s results shows that n − 132 can be written as a sum of three or fewer positive
squares. Augment this sum with the appropriate choice from among 132 = 52 + 122 =
32 + 42 + 122 to obtain four positive squares summing to n. For n ≤ 132, a computer
check finds that {2, 3, 6, 11, 14} are the only integers in these congruence classes
which cannot be written as a sum of four positive squares.
If n = 1, 5 mod 8, then n − 262 = 5, 1 mod 8. So for n > 262, n − 262 can be
written as a sum of three positive squares. Augment this sum with the appropriate
choice from among 262 = 102 + 242 = 62 + 82 + 242 to obtain four positive squares
summing to n. For n ≤ 262, a computer check finds that {1, 5, 9, 17, 29, 41} are the
only integers in these congruence classes which cannot be writ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตารางคุณสามารถเขียนเป็นจำนวนสองสี่เหลี่ยม 52 122 , ผลรวมของ 3
สี่เหลี่ยม 32 42 122 เป็นจำนวนสี่สี่เหลี่ยม 12 22 82 102 เป็นจำนวนห้า
สี่เหลี่ยม 12 22 22 42 122 , และอื่น ๆสำหรับค่อนข้างยาว ในความเป็นจริง , แจ็คสัน ,
et al . [ 5 ] โปรดทราบว่าคุณสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด k 1
155 และล้มเหลวในฐานะผลรวมของความยาว 156ผู้เขียนไปถามว่ามี
จํากัดใด ๆเช่น สตริงของผลบวก โดยเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก B มี
เป็นจำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด K จาก 1 ไป 2 เรา
รวบรวมคอลเลกชันของผลลัพธ์ ซึ่งส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักสำหรับค่อนข้างบางเวลา
เพื่อตอบคำถามนี้ และ ในความเป็นจริง การกำหนดความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของสี่เหลี่ยม
เท่ากับเป็นสี่เหลี่ยมให้ .
การสืบสวนเริ่มขึ้นเมื่อฉันอ่านบทความที่ผู้เขียนได้พิสูจน์ว่า
combinatorially กำหนดจำนวนเต็มบาง C ( K ) อาจจะเขียนเป็น ผลรวมของจำนวนเต็มบวก k
สี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์ที่น่าสนใจ ผมสงสัยว่า ถ้ามันไม่น่าแปลกใจมากขึ้น
หาจำนวนเต็มขนาดใหญ่เพียงพอไม่สามารถเขียนเป็นสรุป
K เหลี่ยมสำหรับเหตุผลนั้น สิ่งที่ตามเราอยู่ยาวที่สุดสำหรับผลรวม
ของสี่เหลี่ยมเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจจะหรืออาจจะไม่ ตาราง
ผลบวกของ 5 หรือมากกว่าบวกสี่เหลี่ยมดิค [ 1 ] เครดิต dubouis ประกาศ
ดังต่อไปนี้ทฤษฎีบทใน 1911 จำนวนเต็ม n ≥ 34 สามารถเขียนเป็นจำนวน K บวก
สี่เหลี่ยมทั้งหมดเพียง 5 ≤ K K ≤ N ยกเว้น K = n − 13 N − 10 − 7
, n ,n − 2 , − 2 , − 2 , − 1 เขียนเมื่อ 20 ปีก่อน เพื่อน [ 7 ] คร่ำครวญเพราะมีซ้ำกัน
dubouis ' งานก่อนที่จะสังเกตเห็นรายงาน แต่ต่อต้านเสนอหลักฐานของเขาเอง

การเขียนมากกว่า 75 ปีต่อมายัง ฉันสงสัยว่า ทั้ง dubouis ’ และ พอล ก็ปรู๊ฟ

แรกคล้ายกับต่อไปนี้ เราบอกว่าไม่เป็นจำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมสำหรับ
K ∈ { n − 13 N − 10n − 7 n − 5 n − 2 , − 2 , − 1 } เห็นข้อความที่ผลรวม
K บวกสี่เหลี่ยม n = S2
1
· · · S2
K สามารถหาได้จากผลรวมของคนด้วย

ผมซ้ำๆ แทน S2 ของคนที่มีตารางเดียว S2
ฉัน . แทนซึ่งจะช่วยลดจำนวนของ summands

ผมโดย S2
− 1 ตัวอย่างเช่นแทน 4 คน 1 1 1 1 ,
กับตารางเดียว 22 ลดจำนวน summands โดย 3เปลี่ยน 32
ที่ลดจำนวน summands โดยและขนาดใหญ่สี่เหลี่ยมลดจํานวน
summands อย่างน้อย 15 ตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าจำนวนของ summands ใน
ผลรวมของทั้งหมดที่ไม่สามารถจะลดลง โดยมีปริมาณ 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 10 , 13 ใช้ร้อยละ 3 และ 8
.
ตอนนี้เราใช้การเหนี่ยวนำ เพื่อแสดงว่าสามารถเขียนเป็นผลรวมของความยาวที่ระบุ
,การรักษาความปลอดภัยฐานกรณี n = 34 ด้วยเช็คมือ สำหรับ n > เราเพิ่ม 12 แต่ละ
ผลรวมของสี่เหลี่ยมเท่ากับ n − 1 ได้รับจากการสมมุติฐาน นี้จะช่วยให้ทุกคนที่ต้องการความยาวของผลบวก
n ยกเว้นความยาว 5 ผลรวม .
หลักฐานเสร็จ โดยการแสดงทั้งหมด n > 34 สามารถเขียนเป็นจำนวน 5
สี่เหลี่ยมบวก ตรวจสอบคอมพิวเตอร์ ( การตรวจสอบเพิ่มเติมและมือพอล dubouis )