Distribution functionThe speed prob

Distribution function
The speed probability density functions of the speeds of a few noble gases at a temperature of 298.15 K (25 °C). The y-axis is in s/m so that the area under any section of the curve (which represents the probability of the speed being in that range) is dimensionless.

The Maxwell–Boltzmann distribution is the function

f(v) = sqrt{left(frac{m}{2 pi kT}
ight)^3}, 4pi v^2 e^{- frac{mv^2}{2kT}},

where m is the particle mass and kT is the product of Boltzmann's constant and thermodynamic temperature.

This probability density function gives the probability, per unit speed, of finding the particle with a speed near v. This equation is simply the Maxwell distribution (given in the infobox) with distribution parameter a=sqrt{kT/m}. In probability theory the Maxwell–Boltzmann distribution is a chi distribution with three degrees of freedom and scale parameter a=sqrt{kT/m}.

The simplest ordinary differential equation satisfied by the distribution is:

k T v f'(v)+f(v) left(m v^2-2 kT
ight)=0,
f(1)=sqrt{frac{2}{pi }} e^{-frac{m}{2 k T}} left(frac{m}{k T}
ight)^{3/2}

or in unitless presentation:

a^2 x f'(x)+left(x^2-2 a^2
ight) f(x)=0,
f(1)=frac{sqrt{frac{2}{pi }} e^{-frac{1}{2 a^2}}}{a^3}.

Typical speeds

The mean speed, most probable speed (mode), and root-mean-square can be obtained from properties of the Maxwell distribution.

The most probable speed, vp, is the speed most likely to be possessed by any molecule (of the same mass m) in the system and corresponds to the maximum value or mode of f(v). To find it, we calculate df/dv, set it to zero and solve for v:

frac{df(v)}{dv} = 0

which yields:

v_p = sqrt { frac{2kT}{m} } = sqrt { frac{2RT}{M} }

where R is the gas constant and M = NA m is the molar mass of the substance.
For diatomic nitrogen (N2, the primary component of air) at room temperature (300 K), this gives v_p = 422 m/s
The mean speed is the expected value of the speed distribution

langle v
angle = int_0^{infty} v , f(v) , dv= sqrt { frac{8kT}{pi m}}= sqrt { frac{8RT}{pi M}} = frac{2}{sqrt{pi}} v_p

The root mean square speed is the second-order moment of speed:

sqrt{langle v^2
angle} = left(int_0^{infty} v^2 , f(v) , dv
ight)^{1/2}= sqrt { frac{3kT}{m}}= sqrt { frac{3RT}{M} } = sqrt{ frac{3}{2} } v_p

The typical speeds are related as follows:

0.886 langle v
angle = v_p < langle v
angle < sqrt{langle v^2
angle} = 1.085 langle v
angle.

Derivation and related distributions

The original derivation in 1860 by James Clerk Maxwell was an argument based on demanding certain symmetries in the speed distribution function.[2] After Maxwell, Ludwig Boltzmann in 1872 derived the distribution on more mechanical grounds by using the assumptions of his kinetic theory, and showed that gases should over time tend toward this distribution, due to collisions (see H-theorem). He later (1877) derived the distribution again under the framework of statistical thermodynamics. The derivations in this section are along the lines of Boltzmann's 1877 derivation, starting with result known as Maxwell–Boltzmann statistics (from statistical thermodynamics). Maxwell–Boltzmann statistics gives the average number of particles found in a given single-particle microstate, under certain assumptions:[1][5]

frac{N_i}{N} = frac{expleft(-E_i/kT
ight) } { sum_{j}^{} {expleft(-E_j/kT
ight)} }













(1)

where:

i and j are indices (or labels) of the single-particle micro states,
Ni is the average number of particles in the single-particle microstate i,
N is the total number of particles in the system,
Ei is the energy of microstate i,
T is the equilibrium temperature of the system,
k is the Boltzmann constant.

The assumptions of this equation are that the particles do not interact, and that they are classical; this means that each particle's state can be considered independently from the other particles' states. Additionally, the particles are assumed to be in thermal equilibrium. The denominator in Equation (1) is simply a normalizing factor so that the Ni/N add up to 1 — in other words it is a kind of partition function (for the single-particle system, not the usual partition function of the entire system).

Because velocity and speed are related to energy, Equation (1) can be used to derive relationships between temperature and the speeds of gas particles. All that is needed is to discover the density of microstates in energy, which is determined by dividing up momentum space into equal sized regions.
Distribution for the momentum vector

The potential energy is taken to be zero, so that all energy is in the form of kinetic energy. The relationship between kinetic energy and momentum for massive non-relativistic particles is

E=frac{p^2}{2m}













(2)

where p2 is the square of the momentum vector p = [px, py, pz]. We may therefore rewrite Equation (1) as:

frac{N_i}{N} = frac{1}{Z} exp left[ -frac{p_{i, x}^2 + p_{i, y}^2 + p_{i, z}^2}{2mkT}
ight]













(3)

where Z is the partition function, corresponding to the denominator in Equation (1). Here m is the molecular mass of the gas, T is the thermodynamic temperature and k is the Boltzmann constant. This distribution of Ni/N is proportional to the probability density function fp for finding a molecule with these values of momentum components, so:

f_mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = frac{c}{Z} exp left[ -frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
ight]













(4)

The normalizing constant c, can be determined by recognizing that the probability of a molecule having some momentum must be 1. Therefore the integral of equation (4) over all px, py, and pz must be 1.

It can be shown that:

c = frac{Z}{(2 pi mkT)^{3/2}}













(5)

Substituting Equation (5) into Equation (4) gives:

f_mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = left( frac{1}{2 pi mkT}
ight)^{3/2} exp left[ -frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
ight] (6)

The distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables p_x, p_y, and p_z, with variance mkT. Additionally, it can be seen that the magnitude of momentum will be distributed as a Maxwell–Boltzmann distribution, with a=sqrt{mkT}. The Maxwell–Boltzmann distribution for the momentum (or equally for the velocities) can be obtained more fundamentally using the H-theorem at equilibrium within the kinetic theory framework.
Distribution for the energy

The energy distribution is found imposing

f_E(E) dE = f_p( extbf p) d^3 extbf p,













(7)

where d^3 extbf p is the infinitesimal phase-space volume of momenta corresponding to the energy interval dE. Making use of the spherical symmetry of the energy-momentum dispersion relation E=| extbf p|^2/2m, this can be expressed in terms of dE as

d^3 extbf p = 4 pi | extbf p |^2 d | extbf p| = 4 pi m sqrt{2mE} dE.













(8)

Using then (8) in (7), and expressing everything in terms of the energy E, we get

f_E(E) dE = frac{1}{(2pi m k T)^{3/2}} e^{-E/kT} 4 pi m sqrt{2mE} dE = 2 sqrt{frac{E}{pi}} left( frac{1}{kT}
ight)^{3/2} expleft(frac{-E}{kT}
ight) dE

and finally

f_E(E) = 2 sqrt{frac{E}{pi}} left( frac{1}{kT}
ight)^{3/2} expleft(frac{-E}{kT}
ight) (9)

Since the energy is proportional to the sum of the squares of the three normally distributed momentum components, this distribution is a gamma distribution; in particular, it is a chi-squared distribution with three degrees of freedom.

By the equipartition theorem, this energy is evenly distributed among all three degrees of freedom, so that the energy per degree of freedom is distributed as a chi-squared distribution with one degree of freedom:[6]

f_epsilon(epsilon),depsilon= sqrt{frac{epsilon }{pi kT}}~expleft[frac{-epsilon}{kT}
ight],depsilon

where epsilon is the energy per degree of freedom. At equilibrium, this distribution will hold true for any number of degrees of freedom. For example, if the particles are rigid mass dipoles of fixed dipole moment, they will have three translational degrees of freedom and two additional rotational degrees of freedom. The energy in each degree of freedom will be described according to the above chi-squared distribution with one degree of freedom, and the total energy will be distributed according to a chi-squared distribution with five degrees of freedom. This has implications in the theory of the specific heat of a gas.

The Maxwell–Boltzmann distribution can also be obtained by considering the gas to be a type of quantum gas.
Distribution for the velocity vector

Recognizing that the velocity probability density fv is proportional to the momentum probability density function by

f_mathbf{v} d^3v = f_mathbf{p} left(frac{dp}{dv}
ight)^3 d^3v

and using p = mv we get

f_mathbf{v} (v_x, v_y, v_z) = left(frac{m}{2 pi kT}
ight)^{3/2} exp left[- frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT}
ight]

which is the Maxwell–Boltzmann velocity distribution. The probability of finding a particle with velocity in the infinitesimal element [dvx, dvy, dvz] about velocity v = [vx, vy, vz] is

f_mathbf{v} left(v_x, v_y, v_z
ight), dv_x, dv_y, dv_z.

Like the momentum, this distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables v_x, v_y, and v_z, but with variance frac{kT}{m}. It can also be seen that the Maxwell–Boltzmann velocity distribution for the vector velocity [vx, vy, vz]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันการแจกฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นความเร็วของความเร็วในไม่กี่ตระกูลก๊าซอุณหภูมิ 298.15 K (25 ° C) แกน y คือ s/m เพื่อให้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง (ซึ่งแสดงถึงความน่าเป็นความเร็วในช่วงนั้น) ส่วนใด ๆ dimensionlessการกระจายของแมกซ์เวลล์ตัวโบลทซ์มานน์เป็นฟังก์ชัน f(v) = sqrt{left (frac {m } {2 pi kT }
ight) ^ 3 } , 4pi v ^ 2 e ^ {-frac{mv^2}{2kT } }, โดยที่ m คือ อนุภาคที่มวลและ kT เป็นผลิตภัณฑ์ที่อุณหภูมิคง และขอบของตัวโบลทซ์มานน์ฟังก์ชันความน่าเป็นความหนาแน่นนี้ทำให้ความน่าเป็น ต่อหน่วยความเร็ว การค้นหาอนุภาค มีความเร็วใกล้ v สมการนี้เป็นเพียงการกระจายของแมกซ์เวลล์ที่ (มีให้ในกล่องข้อมูล) กับพารามิเตอร์ของการแจกจ่ายการ = sqrt {kT/m } ในทฤษฎีความน่าเป็นแมกซ์เวลล์ – ตัวโบลทซ์มานน์ แจกจะแจกชีกับองศาสามพารามิเตอร์เสรีภาพและมาตราส่วนเป็น = sqrt {kT/m }เป็นง่ายที่สุดสามัญสมการเชิงอนุพันธ์ตามการกระจาย: เคทีวี f'(v)+f(v) left (m v ^ kT
ight 2-2) = 0 f (1) = sqrt { frac { 2 } {pi } } e ^ {-frac {m } {2 k T } } left (frac {m } {k T }
ight) ^ {3 2 }หรือ ในงานนำเสนอ unitless: การ ^ 2 x f'(x) + left (x ^ 2-2 การ ^ 2
ight) f (x) = 0 f (1) = frac { sqrt { frac { 2 } {pi } } e ^ {-frac { 1 } { 2 ตัว ^ 2 } } } {การ ^ 3 }ความเร็วทั่วไปความเร็วเฉลี่ย ความเร็วสูงสุดน่าเป็น (โหมด), และสี่ เหลี่ยมหมายถึงรากสามารถได้รับจากคุณสมบัติของการแจกแจงของแมกซ์เวลล์ The most probable speed, vp, is the speed most likely to be possessed by any molecule (of the same mass m) in the system and corresponds to the maximum value or mode of f(v). To find it, we calculate df/dv, set it to zero and solve for v: frac{df(v)}{dv} = 0 which yields: v_p = sqrt { frac{2kT}{m} } = sqrt { frac{2RT}{M} } where R is the gas constant and M = NA m is the molar mass of the substance. For diatomic nitrogen (N2, the primary component of air) at room temperature (300 K), this gives v_p = 422 m/s The mean speed is the expected value of the speed distribution langle v
angle = int_0^{infty} v , f(v) , dv= sqrt { frac{8kT}{pi m}}= sqrt { frac{8RT}{pi M}} = frac{2}{sqrt{pi}} v_p The root mean square speed is the second-order moment of speed: sqrt{langle v^2
angle} = left(int_0^{infty} v^2 , f(v) , dv
ight)^{1/2}= sqrt { frac{3kT}{m}}= sqrt { frac{3RT}{M} } = sqrt{ frac{3}{2} } v_p The typical speeds are related as follows: 0.886 langle v
angle = v_p < langle v
angle < sqrt{langle v^2
angle} = 1.085 langle v
angle. Derivation and related distributionsThe original derivation in 1860 by James Clerk Maxwell was an argument based on demanding certain symmetries in the speed distribution function.[2] After Maxwell, Ludwig Boltzmann in 1872 derived the distribution on more mechanical grounds by using the assumptions of his kinetic theory, and showed that gases should over time tend toward this distribution, due to collisions (see H-theorem). He later (1877) derived the distribution again under the framework of statistical thermodynamics. The derivations in this section are along the lines of Boltzmann's 1877 derivation, starting with result known as Maxwell–Boltzmann statistics (from statistical thermodynamics). Maxwell–Boltzmann statistics gives the average number of particles found in a given single-particle microstate, under certain assumptions:[1][5] frac{N_i}{N} = frac{expleft(-E_i/kT
ight) } { sum_{j}^{} {expleft(-E_j/kT
ight)} } (1)where: i and j are indices (or labels) of the single-particle micro states, Ni is the average number of particles in the single-particle microstate i, N is the total number of particles in the system, Ei is the energy of microstate i, T is the equilibrium temperature of the system, k is the Boltzmann constant.The assumptions of this equation are that the particles do not interact, and that they are classical; this means that each particle's state can be considered independently from the other particles' states. Additionally, the particles are assumed to be in thermal equilibrium. The denominator in Equation (1) is simply a normalizing factor so that the Ni/N add up to 1 — in other words it is a kind of partition function (for the single-particle system, not the usual partition function of the entire system).Because velocity and speed are related to energy, Equation (1) can be used to derive relationships between temperature and the speeds of gas particles. All that is needed is to discover the density of microstates in energy, which is determined by dividing up momentum space into equal sized regions.Distribution for the momentum vectorThe potential energy is taken to be zero, so that all energy is in the form of kinetic energy. The relationship between kinetic energy and momentum for massive non-relativistic particles is E=frac{p^2}{2m} (2)where p2 is the square of the momentum vector p = [px, py, pz]. We may therefore rewrite Equation (1) as: frac{N_i}{N} = frac{1}{Z} exp left[ -frac{p_{i, x}^2 + p_{i, y}^2 + p_{i, z}^2}{2mkT}
ight] (3)where Z is the partition function, corresponding to the denominator in Equation (1). Here m is the molecular mass of the gas, T is the thermodynamic temperature and k is the Boltzmann constant. This distribution of Ni/N is proportional to the probability density function fp for finding a molecule with these values of momentum components, so: f_mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = frac{c}{Z} exp left[ -frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
ight] (4)The normalizing constant c, can be determined by recognizing that the probability of a molecule having some momentum must be 1. Therefore the integral of equation (4) over all px, py, and pz must be 1.It can be shown that: c = frac{Z}{(2 pi mkT)^{3/2}} (5)Substituting Equation (5) into Equation (4) gives: f_mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = left( frac{1}{2 pi mkT}
ight)^{3/2} exp left[ -frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
ight] (6)The distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables p_x, p_y, and p_z, with variance mkT. Additionally, it can be seen that the magnitude of momentum will be distributed as a Maxwell–Boltzmann distribution, with a=sqrt{mkT}. The Maxwell–Boltzmann distribution for the momentum (or equally for the velocities) can be obtained more fundamentally using the H-theorem at equilibrium within the kinetic theory framework.Distribution for the energyThe energy distribution is found imposing f_E(E) dE = f_p( extbf p) d^3 extbf p, (7)where d^3 extbf p is the infinitesimal phase-space volume of momenta corresponding to the energy interval dE. Making use of the spherical symmetry of the energy-momentum dispersion relation E=| extbf p|^2/2m, this can be expressed in terms of dE as d^3 extbf p = 4 pi | extbf p |^2 d | extbf p| = 4 pi m sqrt{2mE} dE. (8)Using then (8) in (7), and expressing everything in terms of the energy E, we get f_E(E) dE = frac{1}{(2pi m k T)^{3/2}} e^{-E/kT} 4 pi m sqrt{2mE} dE = 2 sqrt{frac{E}{pi}} left( frac{1}{kT}
ight)^{3/2} expleft(frac{-E}{kT}
ight) dE and finally f_E(E) = 2 sqrt{frac{E}{pi}} left( frac{1}{kT}
ight)^{3/2} expleft(frac{-E}{kT}
ight) (9)Since the energy is proportional to the sum of the squares of the three normally distributed momentum components, this distribution is a gamma distribution; in particular, it is a chi-squared distribution with three degrees of freedom.By the equipartition theorem, this energy is evenly distributed among all three degrees of freedom, so that the energy per degree of freedom is distributed as a chi-squared distribution with one degree of freedom:[6] f_epsilon(epsilon),depsilon= sqrt{frac{epsilon }{pi kT}}~expleft[frac{-epsilon}{kT}
ight],depsilon where epsilon is the energy per degree of freedom. At equilibrium, this distribution will hold true for any number of degrees of freedom. For example, if the particles are rigid mass dipoles of fixed dipole moment, they will have three translational degrees of freedom and two additional rotational degrees of freedom. The energy in each degree of freedom will be described according to the above chi-squared distribution with one degree of freedom, and the total energy will be distributed according to a chi-squared distribution with five degrees of freedom. This has implications in the theory of the specific heat of a gas.The Maxwell–Boltzmann distribution can also be obtained by considering the gas to be a type of quantum gas.Distribution for the velocity vectorRecognizing that the velocity probability density fv is proportional to the momentum probability density function by f_mathbf{v} d^3v = f_mathbf{p} left(frac{dp}{dv}
ight)^3 d^3v and using p = mv we get f_mathbf{v} (v_x, v_y, v_z) = left(frac{m}{2 pi kT}
ight)^{3/2} exp left[- frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT}
ight]which is the Maxwell–Boltzmann velocity distribution. The probability of finding a particle with velocity in the infinitesimal element [dvx, dvy, dvz] about velocity v = [vx, vy, vz] is f_mathbf{v} left(v_x, v_y, v_z
ight), dv_x, dv_y, dv_z. Like the momentum, this distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables v_x, v_y, and v_z, but with variance frac{kT}{m}. It can also be seen that the Maxwell–Boltzmann velocity distribution for the vector velocity [vx, vy, vz]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่นการกระจายฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นความเร็วของความเร็วของก๊าซมีตระกูลไม่กี่ที่อุณหภูมิ 298.15 K (25 ° C)
แกน y อยู่ใน s / m เพื่อให้พื้นที่ตามมาตราใดของเส้นโค้ง (ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความน่าจะเป็นของความเร็วอยู่ในช่วงนั้น) เป็นขนาด. การกระจาย Maxwell-Boltzmann เป็นฟังก์ชันf (V) = sqrt { left ( frac {m} {2 ปี่โฮเท} ขวา) ^ 3} 4 ปี่วี ^ 2 ที่ e ^ {- frac {mv ^ 2} {2kT}}, m คืออนุภาค มวลและโฮเทลเป็นผลิตภัณฑ์ของอุณหภูมิคงที่และอุณหพลศาสตร์ Boltzmann ของ. หนาแน่นเป็นฟังก์ชันนี้จะช่วยให้ความน่าจะเป็นต่อความเร็วหน่วยในการหาอนุภาคที่มีความเร็วใกล้วี. สมการนี้เป็นเพียงการกระจายแมกซ์เวล (ในกล่อง) ที่มีการกระจาย พารามิเตอร์ = sqrt {โฮเทล / m} . ในทฤษฎีความน่าจะเป็นการกระจาย Maxwell-Boltzmann คือการกระจายไคสามองศาอิสระและขนาดพารามิเตอร์ = sqrt {โฮเทล / m} สมการอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุดในความพึงพอใจโดยการจัดจำหน่ายคือk T วีเอฟ (V) + f (V) left (mv ^ 2-2 โฮเท ขวา) = 0, f (1) = sqrt { frac {2} { ปี่}} ^ {อี - frac {m} {2 k T }} left ( frac {m} {k T} ขวา) ^ {3/2} หรือในงานนำเสนอ unitless: a ^ 2 x F '(x) + left (x ^ 2-2 ^ 2 ขวา) f (x) = 0, f (1) = frac { sqrt { frac {2} { ปี่}} อี ^ {- frac {1} {2 ^ 2}}} {a ^ 3}. ทั่วไปความเร็วความเร็วเฉลี่ยความเร็วน่าจะเป็นที่สุด (โหมด) และรากเฉลี่ยตารางสามารถหาได้จากคุณสมบัติของการกระจายแมกซ์เวล. ความเร็วน่าจะเป็นที่สุดรองประธานฝ่ายเป็นความเร็วส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะถูกครอบงำโดยโมเลกุลใด ๆ (จากมวลเดียวกันม.) ในระบบและสอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือโหมดของ f (V) จะพบว่าเราจะคำนวณ DF / DV ตั้งเป็นศูนย์และแก้ปัญหาสำหรับโวลต์: frac {DF (V)} {DV} = 0 ที่ทำให้: v_p = sqrt { frac {2kT} {m}} = sqrt { frac {2RT} {M}} ที่ R คือคงก๊าซและ M = NA เมตรเป็นมวลโมเลกุลของสาร. สำหรับไนโตรเจนอะตอมสองอะตอม (N2 ซึ่งเป็นองค์ประกอบหลักของอากาศ) ที่อุณหภูมิห้อง (300 K) นี้จะช่วยให้ v_p = 422 เมตร / วินาทีความเร็วเฉลี่ยเป็นค่าที่คาดหวังของการกระจายความเร็ว langle โว rangle = int_0 ^ { infty} โว , f (V) , DV = sqrt { frac { 8kT} { ปี่ m}} = sqrt { frac {8RT} { ปี่ M}} = frac {2} { sqrt { ปี่}} v_p รากหมายถึงตารางความเร็วเป็นช่วงเวลาที่สองคำสั่งของ ความเร็ว: sqrt { langle วี ^ 2 rangle} = left ( int_0 ^ { infty} โว ^ 2 , f (V) , DV ขวา) ^ {1/2} = sqrt { frac {3kT} {m}} = sqrt { frac {3RT} {M}} = sqrt { frac {3} {2}} v_p ความเร็วทั่วไปที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้: 0.886 langle โว rangle = v_p < langle โว rangle < sqrt { langle วี ^ 2 rangle} = 1.085 langle โว rangle. มาและการกระจายที่เกี่ยวข้องรากศัพท์เดิมในปี 1860 โดยเจมส์เคลิร์กแมกซ์เวลล์เป็นข้อโต้แย้งขึ้นอยู่กับความต้องการ symmetries บางอย่างในนั้น ฟังก์ชั่นการกระจายความเร็ว. [2] หลังจากที่แมกซ์เวลลุดวิก Boltzmann ใน 1872 ที่ได้รับการจัดจำหน่ายในบริเวณกลมากขึ้นโดยใช้สมมติฐานของทฤษฎีเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของเขาและแสดงให้เห็นว่าก๊าซควรในช่วงเวลาที่มีแนวโน้มไปกระจายนี้เนื่องจากการชนกัน (ดู H-ทฤษฎีบท ) หลังจากนั้นเขาก็ (1877) ที่ได้รับการจัดจำหน่ายอีกครั้งภายใต้กรอบของอุณหพลศาสตร์สถิติ derivations ในส่วนนี้เป็นไปตามเส้นของ Boltzmann ของ 1877 มาเริ่มต้นด้วยผลที่รู้จักกันเป็นสถิติ Maxwell-Boltzmann (จากอุณหพลศาสตร์สถิติ) สถิติ Maxwell-Boltzmann ให้ค่าเฉลี่ยของจำนวนอนุภาคที่พบในที่กำหนด microstate เดียวอนุภาคภายใต้สมมติฐานบางอย่าง: [1] [5] frac {N_i} {n} = frac { ประสบการณ์ left (-E_i / โฮเทล ขวา)} { sum_ {j-} ^ {} { ประสบการณ์ left (-E_j / โฮเท ขวา)}} (1) ที่อยู่: i และ j เป็นดัชนี (หรือฉลาก) ของอนุภาคเดี่ยวรัฐไมโครNi เป็นจำนวนเฉลี่ยของอนุภาคใน microstate เดียวอนุภาค i, N คือจำนวนของอนุภาคในระบบEi เป็นพลังงานของ microstate ฉันที่T คืออุณหภูมิสมดุลของระบบ, k เป็นค่าคงที่ Boltzmann. สมมติฐานของสมการนี้ว่าอนุภาคไม่โต้ตอบและที่พวกเขามีความคลาสสิก; นี้หมายความว่ารัฐของอนุภาคแต่ละคนสามารถได้รับการพิจารณาเป็นอิสระจากรัฐอนุภาคอื่น ๆ นอกจากนี้อนุภาคจะถือว่าเป็นความร้อนที่อยู่ในภาวะสมดุล ตัวหารในสมการ (1) เป็นเพียงปัจจัย normalizing เพื่อให้ Ni / N เพิ่มขึ้นถึง 1 - ในคำอื่น ๆ มันเป็นชนิดของฟังก์ชั่นพาร์ทิชัน (สำหรับระบบเดียวอนุภาคไม่ได้แบ่งหน้าที่ตามปกติของระบบทั้งหมด ). เพราะความเร็วและความเร็วในการที่เกี่ยวข้องกับพลังงานสมการ (1) สามารถนำมาใช้ให้ได้มาซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและความเร็วของอนุภาคก๊าซ ทั้งหมดที่จำเป็นคือการค้นพบความหนาแน่นของพันธนาการในการใช้พลังงานซึ่งจะถูกกำหนดโดยการหารพื้นที่โมเมนตัมลงในพื้นที่ที่มีขนาดเท่ากัน. จำหน่ายเวกเตอร์โมเมนตัมพลังงานที่อาจเกิดขึ้นจะนำไปเป็นศูนย์เพื่อให้การใช้พลังงานทั้งหมดในรูปแบบของพลังงานจลน์. ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์และโมเมนตัมสำหรับอนุภาคที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ขนาดใหญ่คือE = frac {p ^ 2} {} 2m (2) ที่ p2 เป็นตารางของโมเมนตัมเวกเตอร์พีที่ = [พิกเซล, PY, PZ] ดังนั้นเราจึงอาจเขียนสมการ (1) เมื่อ: frac {N_i} {n} = frac {1} {Z} ประสบการณ์ left [- frac {p_ {i, x} ^ 2 + p_ {i, y } ^ 2 + p_ {i, Z} ^ 2} {2mkT} สิทธิ] (3) ที่เป็นฟังก์ชั่น Z พาร์ทิชันที่สอดคล้องกับตัวหารในสมการ (1) ที่นี่ม. เป็นมวลโมเลกุลของก๊าซ T คืออุณหภูมิความร้อนและ k เป็นค่าคงที่ Boltzmann การกระจายของ Ni / N นี้เป็นสัดส่วนกับฟังก์ชั่นความหนาแน่น FP สำหรับการค้นหาโมเลกุลที่มีค่าเหล่านี้ขององค์ประกอบโมเมนตัมดังนั้น: f_ mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = frac {C} {Z} ประสบการณ์ left [- frac {p_x ^ 2 + p_y ^ 2 + p_z ^ 2} {2mkT} สิทธิ] (4) normalizing คคงที่จะถูกกำหนดโดยตระหนักว่าน่าจะเป็นของโมเลกุลที่มีแรงผลักดันบางอย่างที่จะต้อง 1. ดังนั้นหนึ่งของสมการที่ (4) มากกว่า px ทุก PY และ PZ จะต้อง 1. มันสามารถที่จะแสดงให้เห็นว่า: c = frac {Z} {(2 ปี่ MKT) ^ {3/2}} ( 5) แทนสมการ (5) ลงในสมการ (4) ให้: f_ mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = left ( frac {1} {2 ปี่ MKT} ขวา) ^ {3/2 } ประสบการณ์ left [- frac {p_x ^ 2 + p_y ^ 2 + p_z ^ 2} {2mkT} สิทธิ] (6) การกระจายก็เห็นจะเป็นผลิตภัณฑ์ในสามของตัวแปรอิสระกระจายปกติ p_x, p_y และ p_z มีความแปรปรวน MKT นอกจากนี้ก็จะเห็นได้ว่าขนาดของโมเมนตัมจะกระจายเป็นกระจาย Maxwell-Boltzmann ด้วย = sqrt {} MKT การกระจาย Maxwell-Boltzmann โมเมนตัม (หรือเท่าเทียมกันสำหรับความเร็ว) ที่สามารถรับได้มากขึ้นโดยพื้นฐานการใช้ H-ทฤษฎีบทที่สมดุลภายในกรอบทฤษฎีจลน์. การกระจายพลังงานการกระจายพลังงานจะพบการจัดเก็บภาษีf_E (E) dE = f_p ( textbf P) d ^ 3 textbf พี, (7) โดย d ^ 3 textbf พีเป็นปริมาณเฟสพื้นที่เล็กของสักครู่ที่สอดคล้องกับช่วงเวลาที่พลังงานเด การใช้สมมาตรทรงกลมของการกระจายพลังงานโมเมนตัมความสัมพันธ์ E = | textbf พี | ^ 2/2 เมตรนี้สามารถแสดงในแง่ของการเป็นd ^ 3 textbf p = 4 ปี่ | textbf พี | ^ 2 d | textbf พี. | = 4 ปี่ม sqrt {2me} dE (8) ใช้แล้ว (8) ใน (7), และการแสดงทุกอย่างในแง่ของ E พลังงานที่เราได้รับf_E (E) dE = frac {1} {(2 ปี่ mk T) ^ {3/2}} ^ {อี - E / โฮเทล 4} ปี่ม sqrt {} 2me dE = 2 sqrt { frac {E} { ปี่}} left ( frac {1} {โฮเท} ขวา) ^ {3/2} ประสบการณ์ left ( frac {} {-E โฮเท} ขวา) dE และในที่สุดก็f_E (E) = 2 sqrt { frac {E} { ปี่}} left ( frac {1} {โฮเท} ขวา) ^ {3/2} ประสบการณ์ left ( frac {} {-E โฮเท} ขวา) ( 9) เนื่องจากพลังงานเป็นสัดส่วนกับผลรวมของสี่เหลี่ยมของสามกระจายตามปกติส่วนประกอบโมเมนตัมการกระจายนี้คือการกระจายแกมมา; โดยเฉพาะอย่างยิ่งก็คือการกระจายไคกำลังสองกับสามองศาอิสระ. โดยทฤษฎีบท equipartition พลังงานนี้จะกระจายในทุกสามองศาอิสระเพื่อให้พลังงานต่อระดับของเสรีภาพมีการกระจายเป็นกระจายไคสแควร์ด้วย หนึ่งในระดับของเสรีภาพ: [6] f_ epsilon ( epsilon) , d epsilon = sqrt { frac { epsilon} { ปี่โฮเท}} ~ ประสบการณ์ left [ frac {- epsilon} { โฮเท} เหมาะสม] , d epsilon ที่ epsilon เป็นพลังงานที่มีต่อระดับของเสรีภาพ ที่สมดุลการกระจายนี้จะถือเป็นจริงสำหรับจำนวนขององศาอิสระใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้าอนุภาคที่มีมวลไดโพลแข็งของช่วงเวลาขั้วคงที่พวกเขาจะมีสามองศาแปลของเสรีภาพและสององศาการหมุนที่เพิ่มขึ้นของเสรีภาพ พลังงานในระดับของเสรีภาพแต่ละคนจะได้รับการอธิบายตามการกระจายไคกำลังสองข้างต้นด้วยหนึ่งระดับของเสรีภาพและพลังงานทั้งหมดจะถูกกระจายไปตามการกระจายไคสแควร์ที่มีห้าองศาอิสระ นี้มีผลกระทบในทางทฤษฎีของความร้อนที่เฉพาะเจาะจงของก๊าซ. การกระจาย Maxwell-Boltzmann ยังสามารถได้รับโดยพิจารณาก๊าซจะเป็นชนิดของก๊าซควอนตัม. จำหน่ายเวกเตอร์ความเร็วจำได้ว่าน่าจะเป็นความเร็ว FV หนาแน่นเป็นสัดส่วนกับ ความน่าจะเป็นแรงผลักดันที่ฟังก์ชั่นความหนาแน่นโดย f_ mathbf {โว} d ^ 3v = f_ mathbf {p} left ( frac {DP} {DV} ขวา) ^ 3 d ^ 3v และการใช้ p = mv ที่เราได้รับf_ mathbf {} โวลต์ (v_x, v_y, v_z) = left ( frac {m} {2 ปี่โฮเท} ขวา) ^ {3/2} ประสบการณ์ left [- frac {m (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2)} {2kT} เหมาะสม] ซึ่งเป็นการกระจายความเร็ว Maxwell-Boltzmann ความน่าจะเป็นในการหาอนุภาคที่มีความเร็วในองค์ประกอบเล็ก [การ DVX, DVY, DVZ] เกี่ยวกับความเร็ว v = [vx, Vy, VZ] เป็นf_ mathbf {โว} left (v_x, v_y, v_z ขวา) , dv_x , dv_y , dv_z. เช่นเดียวกับโมเมนตัมการกระจายนี้ก็เห็นจะเป็นผลิตภัณฑ์ในสามของตัวแปรอิสระกระจายตามปกติ v_x ที่ v_y และ v_z แต่ด้วยความแปรปรวน frac {โฮเท} {m} นอกจากนี้ยังสามารถจะเห็นได้ว่าการกระจาย Maxwell-Boltzmann ความเร็วสำหรับความเร็วเวกเตอร์ [vx, Vy, VZ]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นการแจกแจง
ความเร็วการทำงานของความเร็วของแก๊สมีสกุล ไม่กี่ที่อุณหภูมิ 298.15 K ( 25 องศา C ) ส่วนแกน Y เป็น S / M เพื่อให้พื้นที่ภายใต้ส่วนของเส้นโค้งที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของความเร็วอยู่ในช่วงนั้น ) คือไร้มิติ

แมกซ์เวล– Boltzmann กระจายฟังก์ชัน

F ( V ) = SQRT ( { ซ้าย frac { M } { 2 พีเคที } )
3 } ,4 pi V
2 e
{ frac
2 { MV } { 2kt } } ,

ซึ่งเป็นอนุภาคมวล m และ เคที เป็นผลิตภัณฑ์ของ Boltzmann คงที่และอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ของ

นี้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นให้ความน่าจะเป็นต่อความเร็วหน่วยหาอนุภาคที่มีความเร็ว ใกล้โวลต์ สมการนี้เป็นเพียงการกระจายแมกซ์เวลล์ ( ให้อยู่ในกล่องข้อมูล ) ด้วยการกระจายพารามิเตอร์ = SQRT { KT m / }ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและแมกซ์เวล Boltzmann กระจายการแจกแจงไคกับสามองศาของเสรีภาพและพารามิเตอร์ขนาด = SQRT { KT / m } .

ง่ายสมการเชิงอนุพันธ์พอใจโดยกระจาย :

K T V f ( V ) F ( V ) N ( M V
2-2 ซ้าย โอนสิทธิ ) = 0
f ( 1 ) = SQRT { frac { 2 } { pi } } e
{ frac { M } { 2 k t } } ( N แล้ว frac { M } { k t } )
{ }

3 / 2 หรือใน unitless นำเสนอ


:2 x f ' ( x ) N ( x
2-2 ซ้ายขวาเป็น
2 ) f ( x ) = 0 ,
f ( 1 ) = frac { SQRT { frac { 2 } { pi } } e
{ frac { 1 } { 2
2 } } } {
3 } .



ปกติความเร็วความเร็วหมายถึงความเร็วที่น่าจะเป็นมากที่สุด ( Mode ) และ Root Mean Square ได้จากคุณสมบัติของการแจกแจงแมกซ์เวลล์

น่าจะเป็นที่สุดของความเร็วคือ ความเร็วส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะถูกครอบครองโดยโมเลกุลของ M มวลเดียวกัน ) ในระบบและสอดคล้องกับมูลค่าสูงสุดหรือโหมด F ( V ) หา เราคำนวณ DF / DV , ตั้งศูนย์และแก้ v :

frac { DF ( V ) } { DV } = 0 =

ซึ่งผลผลิต :

v_p = SQRT { frac { 2kt } { M } } = SQRT { frac 2rt } { { M } }

ที่ r คือก๊าซคงที่ และ M = na m คือมวลกรามของ
สารอะตอมไนโตรเจน ( N2 , ส่วนประกอบหลักของอากาศ ที่อุณหภูมิห้อง ( 300 K ) นี้จะช่วยให้ v_p = 422 m / s
หมายถึงความเร็วค่าคาดหมายของความเร็วการกระจาย

int_0 langle วีเรนเกิล =
{ infty } v , F ( V ) , DV = SQRT { frac { 8kt } { pi } M } = SQRT { frac { 8rt } { pi } = frac M } { 2 } { { pi } } v_p SQRT

รากหมายความว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสความเร็วเป็นสอง - ช่วงความเร็ว :

SQRT { langle
V