Table 4 Comparison of the computing

Table 4 Comparison of the computing times
φ M1 M2 M3 M4 M5 M6
1 1 5 1 10 1 15 1
3.30 3.34 3.29 3.35 3.30 2.40 3.30 2.74
7.41 10.4 99.1 7.62 11.7 95.9 3.41 8.60 84.9 3.81 7.13 97.1
As a drawback of our algorithm, the required amount of working space is significantly larger than that for gemmx. In addition, if φ is large, the proposed method could not improve the accuracy of the result efficiently, whereas XBLAS could output more accurate results than our algorithm.
Next, we generate matrices A and B by
A = gallery(′randsvd′, 1000, cnd, 3, 1000, 1000, 1), B = A randn(n),
and compare the maximum of relative errors by M1 to M6 (Table 5). For the detail of the function gallery, see [8]. Here, cnd is the matrix condition number. If the condition number is large, then heavy cancellation occurs in the product of AB. Therefore, the more the condition number increases, the more difficult it is to obtain an accurate result. From Table 5 M4 and M5 are comparable to M6 in terms of the accuracy for condition number 104. For condition number 1012, M5 is also comparable to M6. We stress that the computing times in this example are similar to those displayed in Table 4, so that M5 is much faster than M6.
4 The characteristic of the proposed method
In this section, we describe properties of our method. First, we will provide an a priori error estimate of Algorithm 5. Next, we will give the level 3 fraction of the algorithm.
4.1 A priori error estimate for the proposed method
We assume that each matrix product in (29) is stored into G(i) ∈ Fm×p. As
for details, each matrix product in the first term in (29) is stored from G(1)
to G(k(k−1)/2). Each matrix product in the second term in (29) is stored from G(k(k−1)/2+1) to G(k(k−1)/2+k). Namely, we have
G(1) = A(1)B(1), G(2) = A(1)B(2), G(3) = A(2)B(1),..., G(k(k−1)/2) = A(k−1)B, Table 5 Comparison of each RelErr( A B, C)
cond(A) M1
104 1.59e–007
108 1.74e–003 1012 1.42e+001
M2 6.15e–009
2.33e–006 1.25e–002
M3 1.21e–013
4.45e–010 5.32e–005
M4 2.21e–016
1.37e–015 8.95e–012
M5 3.26e–016
2.17e–016 2.13e–016
M6 1.11e–016
1.11e–016 1.48e–015

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตารางที่ 4 เปรียบเทียบเวลาของระบบคอมพิวเตอร์Φ M1 M2 M3 M4 M5 M6 1 1 5 1 10 1 15 13.30 3.34 3.29 3.35 3.30 2.40 3.30 2.747.41 10.4 99.1 7.62 11.7 95.9 3.41 8.60 84.9 3.81 7.13 97.1 เป็นข้อเสียเปรียบของอัลกอริทึมของเรา จำนวนพื้นที่ทำงานจำเป็นอย่างมีนัยสำคัญมากกว่าที่สำหรับ gemmx นอกจากนี้ ถ้าφ วิธีการนำเสนออาจมีการปรับปรุงความแม่นยำของผลได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในขณะที่ XBLAS สามารถออกผลลัพธ์ที่แม่นยำขึ้นกว่าอัลกอริทึมของเราถัดไป เราสร้างเมทริกซ์ A และ B โดยA =แกลเลอรี่ (′randsvd′, 1000, cnd, 3, 1000, 1000, 1), B = A randn(n)และสูงสุดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์โดย M1 กับ M6 เปรียบเทียบ (ตาราง 5) สำหรับรายละเอียดของเก็บฟังก์ชัน ดู [8] ที่นี่ cnd คือ จำนวนเงื่อนไขเมตริกซ์ ถ้าจำนวนเงื่อนไข แล้วเลิกหนักเกิดขึ้นในผลิตภัณฑ์ของ AB. ดังนั้น การเพิ่มเติมในเงื่อนไขเลขเพิ่ม ยากขึ้นจึงเป็นได้รับผลลัพธ์ถูกต้อง จากตาราง 5 M4 และ M5 ได้เทียบกับ M6 ในแง่ของความถูกต้องสำหรับเงื่อนไขเลข 104 สำหรับเงื่อนไขเลข 1012, M5 ก็ยังเปรียบได้กับ M6 เราเครียดว่า เวลาใช้งานในตัวอย่างนี้จะคล้ายกับที่แสดงในตารางที่ 4 เพื่อให้ M5 เร็วกว่า M64 ลักษณะของวิธีการนำเสนอในส่วนนี้ เราอธิบายคุณสมบัติของวิธีการของเรา ครั้งแรก เราจะให้การประเมินผิดพลาด priori มี 5 อัลกอริทึม ถัดไป เราจะให้ส่วนระดับที่ 3 ของอัลกอริทึม4.1 A priori error estimate for the proposed methodWe assume that each matrix product in (29) is stored into G(i) ∈ Fm×p. Asfor details, each matrix product in the first term in (29) is stored from G(1)to G(k(k−1)/2). Each matrix product in the second term in (29) is stored from G(k(k−1)/2+1) to G(k(k−1)/2+k). Namely, we haveG(1) = A(1)B(1), G(2) = A(1)B(2), G(3) = A(2)B(1),..., G(k(k−1)/2) = A(k−1)B, Table 5 Comparison of each RelErr( A B, C) cond(A) M1104 1.59e–007108 1.74e–003 1012 1.42e+001M2 6.15e–0092.33e–006 1.25e–002M3 1.21e–0134.45e–010 5.32e–005M4 2.21e–0161.37e–015 8.95e–012M5 3.26e–0162.17e–016 2.13e–016M6 1.11e–0161.11e–016 1.48e–015

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตารางที่ 4 การเปรียบเทียบครั้งคอมพิวเตอร์
ไว M1 M2 M3 M4 M5 M6
1 1 5 1 10 1 15 1
3.30 3.34 3.29 3.35 3.30 2.40 3.30 2.74
7.41 10.4 99.1 7.62 11.7 95.9 3.41 8.60 84.9 3.81 7.13 97.1
ในฐานะที่เป็นข้อเสียเปรียบของอัลกอริทึมของเราที่ จำนวนเงินที่จำเป็นของพื้นที่การทำงานอย่างมีนัยสำคัญมีขนาดใหญ่กว่าที่ gemmx นอกจากนี้หากφมีขนาดใหญ่วิธีที่นำเสนอไม่สามารถปรับปรุงความถูกต้องของผลได้อย่างมีประสิทธิภาพในขณะที่ XBLAS สามารถส่งออกผลลัพธ์ที่ถูกต้องมากขึ้นกว่าที่เราอัลกอริทึม.
ต่อไปเราจะสร้างเมทริกซ์ A และ B โดย
A = แกลเลอรี่ ( 'randsvd' 1000 , CND, 3, 1000 1000 1), B = A randn (n)
และเปรียบเทียบสูงสุดของความผิดพลาดโดย M1 เพื่อ M6 (ตารางที่ 5) สำหรับรายละเอียดของแกลเลอรี่ฟังก์ชั่นให้ดู [8] ที่นี่เป็นจำนวน CND สภาพเมทริกซ์ ถ้าจำนวนเงื่อนไขเป็นขนาดใหญ่แล้วการยกเลิกหนักเกิดขึ้นในผลิตภัณฑ์ของ AB ดังนั้นมากขึ้นจำนวนเงื่อนไขเพิ่มขึ้นยากขึ้นก็คือการได้รับผลที่ถูกต้อง จากตารางที่ 5 และ M4 M5 จะเปรียบกับ M6 ในแง่ของความถูกต้องสำหรับเงื่อนไขจำนวน 104 สภาพจำนวน 1012 M5 ยังเทียบได้กับ M6 เราเน้นว่าเวลาที่ใช้คอมพิวเตอร์ในตัวอย่างนี้จะคล้ายกับที่แสดงในตารางที่ 4 เพื่อให้ M5 เร็วกว่า M6.
4 ลักษณะของวิธีที่นำเสนอ
ในส่วนนี้เราจะอธิบายคุณสมบัติของวิธีการของเรา ครั้งแรกที่เราจะให้เบื้องต้นประมาณการข้อผิดพลาดของอัลกอริทึม 5. ต่อไปเราจะให้ระดับ 3 ส่วนของอัลกอริทึม.
4.1 ประมาณการเบื้องต้นข้อผิดพลาดสำหรับวิธีการที่นำเสนอ
เราคิดว่าแต่ละผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ใน (29) จะถูกเก็บไว้ใน G (i) ∈ Fm × P ในฐานะที่เป็น
รายละเอียดแต่ละผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ในระยะแรกใน (29) จะถูกเก็บไว้จาก G (1)
ถึง G (k (k-1) / 2) แต่ละผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ในระยะที่สองใน (29) จะถูกเก็บไว้จาก G (k (k-1) / 2 + 1) G (k (k-1) / 2 + K) คือเรามี
G (1) = a (1) B (1), G (2) = a (1) B (2), G (3) = a (2) B (1), ... , G (k (k-1) / 2) = a (K-1) B, ตารางที่ 5 เปรียบเทียบของแต่ละ RelErr (AB, C)
​​cond (A) M1
104 1.59e-007
108 1.74e-003 1012 1.42e + 001
M2 6.15e-009
2.33e-006 1.25e-002
M3 1.21e-013
4.45e-010 5.32e-005
M4 2.21e-016
1.37e-015 8.95e-012
M5 3.26e-016
2.17e-016 2.13 E-016
M6 1.11e-016
1.11e-016 1.48e-015