EXCEPTIONAL REAL LUCAS SEQUENCESL.

EXCEPTIONAL REAL LUCAS SEQUENCES
L. K. DURST
1. Introduction. If I and m are any pair of non-zero rational
integers, the sequence
(U): U0 = 0, 0i = l , Un^lU^-mU*-*, n^2 ,
is called the Lucas sequence generated by the polynomial z
2
— Iz + m.
If I2
=£ 4m and a, /3 are the roots of the generator of (U),
Un = (an
- /3n
)/(a - /3) , n ^ 0
(Lucas [6]). Each (U) is a divisibility sequence: nm implies Un Um.
An index n, greater than 2, is exceptional in (U) if every prime dividing
Un also divides UXU2U^ ••• CT^. In the study of exceptional indices
it suffices to take I > 0. For if (U) and (Uf
) are generated by
#
2
— Iz + m and z
2
+ Iz + m, respectively, then Z7W = (—ly^Ul. In all
that follows we therefore suppose I > 0. If i2
> 4m, (C7) will be called
real.
Birkhoff and Vandiver [1] have shown that when a and /3 are coprime
rational integers the only (U) with any exceptional indices is the
so-called [6] Fermat sequence generated by z
2
— Sz + 2, whose only
exceptional index is six. Carmichael [2, Theorem 23] has shown that
when I and m are co-prime integers, I2
> 4m, the only possible exceptional
indices are six and twelve and that twelve is exceptional only in
the Fibonacci sequence (I — 1, m = — 1). Lekkerkerker [5] has shown
that even if I and m are not co-prime, provided I2
> 4m, (U) has only
finitely many exceptional indices.
In this paper we show that for (Z, m) = 1 there are infinitely many
real Lucas sequences in which six is exceptional (Theorems 2, 3) and
that for (I, m) > 1 there exist infinitely many real Lucas sequences
with any prescribed finite set of exceptional indices (Theorem 5).
The problem is attacked by reducing it to a study of Lehmer's
divisibility sequences (Lehmer [4]), for which the corresponding problem
has been solved (Ward [8], Durst [3]). In the course of the discussion
we obtain a new proof of Lekkerkerker?
s theorem and an extension of
it to Lehmer's sequences (Theorem 4).
If I2
— Am, then m = a
2
and Un = net,""1
. Here n is exceptional
unless it is a prime not dividing a. For I2
< 4m very little is known.
In particular, it is not known whether any such sequences have infinitely
many exceptional indices.
Received May 31, 1960.
489
490 L. K. DURST
2, Lehmer sequences. If L and M are rational integers, L > 0,
the sequence
(P): Po = 0 , Px = 1 , P2W = P ^ - MP2W_2 , P2W+1 - LP2W - MP2n.x
is called the Lehmer sequence generated by the polynomial z
2
— Liz + M.
Let K — L — 4M. If if ^ 0 and a, /5 are the roots of the generator of
(P),
P2n = (a 2
- - /52w)/(a2
- /32
) ,
If the Lucas sequence (U) is generated by z
2
— Iz + m, then the Lehmer
sequence (P) generated by the same polynomial z
2
— L^z + M, L = l2
f
M = m, will be called the Lehmer sequence associated with (?7). Clearly
and
Thus we have the following theorem.
THEOREM 1. An index n is exceptional in (U) if and only if
( i) n is exceptional in (P), or
(ii) each prime dividing Pn but not Px • • • Pn_x divides I.
Cases (i) and (ii) are treated in § § 3 and 4, respectively.
3. Lucas sequences whose associated Lehmer sequences have excep*
tional indices* If L and M are co-prime and K > 0, the Lehmer sequence
(P) generated by z
2
— L^z + M has six as an exceptional index if and
only if
L = 2S+2
- 3K , M = 2* - If ,
where s ^ 1, 2S+2
> 3#, and if is odd (Durst [3]). Since 2S+2
- 3K =
(-l)s
(mod 3), L = l2
^ 2S+2
- 3if implies s = 2£ and Z = 2C+1
- i, where
3 is odd and 1 g i < 2t+1
. But, then 3if = 22C+2
- I* = i(2c+2
- i); and
either j = 3r or 2C+2
— j = 3r, where r is odd, positive, and less than
2*+1/3. Thus
if = r(2t +2
- 3r) , L = (2J+1
- 3r)2
, M = (2C
- r)(2< - 3r)
and we have the following theorem.
THEOREM 2. If (l,m) = 1 and I2
> 4m, tftew s^cc ^s an exceptional
index in both the Lucas sequence (U) and the Lehmer sequence (P)
generated by z
2
— Iz + m if and only if
EXCEPTIONAL REAL LUCAS SEQUENCES 491
I = 2t+1
- 3r , m = (2* - r)(2* - 3r) ,
where t ^ 1, 2t+1 > 3r, and r is odd and positive.
Note that for r = t =1 , (C7) is the Fibonacci sequence (Z = 1,
m = -1).
4* Lucas sequences whose associated Lehmer sequences have no
exceptional indices* Since Px = P2 = 1 and P6/P3 = L — 3ikf, every prime
dividing P6 but not P3 must divide Q6 = L - 3Af = if + M. But
(L, j|f) = 1 implies (P4P5, P6) = 1 by Theorem 2.1 of [3], and P6 is even
if and only if P3 is. Thus for p an odd prime, p | P6 but p P^JPJP^
if and only if p Q6. On the other hand, if p L, then p P2p by Theorem
2.0 of [3], so p I (Q6, L) if and only if L is odd and p = 3. Now Q6 = 2*3W,
I = 3SX, t ^ 0, ^ ^ 1, s ^ 1, and (X, 6) = 1 give 3I=; 2
- Q 6 = 32SV - 2f
3
w
or M = 32S
-
XX
2
- 2t
3
w
~
1
. But s ^ 1 and (L, M) = 1 imply % = 1. Finally
if = Q6 - M = 2f+2
- S2
*-1
^
2
> 0, and we have the following theorem.
THEOREM 3. If (I, m) = 1 cmd i2
> 4m, then six is an exceptional
index in (U) but not an exceptional index in its associated (P) if and
only if
I = 3SX, , m = 32S
-
XX
2
- 2C
wftere s^l , t^O , = ± 1 (mod 6) and S2S
~
L
X
2
< 2t+
Note tha t for s = X, = 1, ^ = 0, (£7) is the Fermat sequence (I = 3r
5. Sylvester^s sequences and Lekkerkerker^ theorem* In his study
of Lehmer's sequences, Ward [8] adapted a method originally introduced
by Sylvester [7] in connection with Lucas sequences. With each Lehmer
sequence (P) we associate the Sylvester sequence
(Q) : Q o = O , Q ! = l , Q , = l , Q n =/3+{n)Cn(all3) , n^3 ,
where Cw(cc) is the wth cyclotomic polynomial. Each Qn is a rational
integer and Pn — UQa, Qn = I7Pf8}
, where /^ is the Mobius function,
8 = w/d, and the products are taken over all divisors d of n. Evidently
an index is exceptional in (P) if and only if it is exceptional in (Q).
Suppose L = DL, M— DM and let (P) and (P) be the Lehmer
sequences generated by z
2
— Liz + M and z
2
— Liz + iff, respectively,
(Q) and (Q) being their associated Sylvester sequences. Lemma 1 below
is easily proved by induction using the recursion relations. Lemma 2
states that Qn is a homogeneous function of L, M.
LEMMA 1.
P> T)n~p p — H
2n — -U ±2n f
rm+ — U
492 L. K. DURST
LEMMA 2. Qn = Dh+{n)Qn if n>2 .
Proof. There are three cases: n — m, n — 2m, n = 2rm, where
m is odd and r > 1. In the first case,
Qn = Qm = nPth) (dS = m)
where e(n) = 1 if n = 1, s(w) = 0 if w > 1. In the second and third
cases (n = 2rm, r ^ 1),
Q. = n n JVJ-M = nn (
dS=m
since 8 is odd, ^(28) = — ft(8) and ft(2s
8) = 0 if s ^ 2. In the second case
(r = 1) ,
and
Qn = Q,m =
While in the third case (r > 1),
and
If p divides Qw but not QiQ2 • * • Q»-i> P is called1
a primitive factor
of Qw. Clearly different members of (Q) share no primitive factors.
Lemma 2 implies that an index n, greater than 3, is exceptional in (P)
if and only if
( i) n is exceptional in (P) or
(ii) every primitive prime factor of Qn is a factor of D. Now for
1
By Lehmer [4]. Lucas [6] calls it a diviseur propre, Carmichael [2] a characteristic
factor, and Ward [8] an intrinsic divisor.
EXCEPTIONAL REAL LUCAS SEQUENCES 493
(L, M) = 1 and L > AM, (P) has only finitely many exceptional indices.
(It has at most two of them [3].) Since D has a finite number of
distinct prime divisors, only finitely many indices fall into case (ii), and
we have the following theorem.
THEOREM 4. If L > 4M, the Lehmer sequence (P) generated by
z
2
— Liz + M has only finitely many exceptional indices.
As a corollary, we deduce Lekkerkerker's theorem. If (U) is the
Lucas sequence generated by z
2
— Iz + m, and (P) its associated Lehmer
sequence,
so that an index n is exceptional in (U) if and only if n is exceptional
in (P), or the primitive prime factors of Qn divide I, (Q) being the
Sylvester sequence associated with (P). In view of Theorem 4, the
number of such indices is finite if I2
> 4m.
6* Exceptional indices for real sequences with (L, M) greater than
one. In this section we show that Theorem 4 and Lekkerkerker's theorem
are the best such theorems possible, in the sense that generally no more
-specific statement can be made regarding the distribution of exceptional
indices of real Lehmer and Lucas sequences.
THEOREM 5. There are infinitely many real Lehmer sequences and
infinitely many real Lucas sequences with any prescribed finite set
{n19 •-•,nN} of exceptional indices.
Proof. Suppose (U) is the Lucas sequence generated by z
2
— Iz + in,
where 1= 1 and m = — 2. Then (U) and its associated Lehmer sequence
(P), which are identical, have no exceptional indices. Suppose (Q) is the
Sylvester sequence associated with (P) and let d = pi1
• • • p°^, where
•«!, •••,aJf
are any positive integers and p19 •••,#* are the primitive
prime factors of Qni, •••,Qn y . Since the maximal square-free divisors
of (I2
, m) and (I, m) are the same, the Lehmer sequence (P) and the
Lucas sequence (U) generated by z
2
— Iz + m, I = dl, m — dm, have
the required exceptional indices.
It is easy to construct real sequences with (I, m) > 1 which have no
exceptional indices. For example, if 1 = 1, m — — 2, then Un = 683,
U22 = 1,398,101, so 23 and 89 are primitive factors of U22. Thus the
sequences (U) and (P) generated by z
2
— 23z — 46 have no exceptional
indices since (U) has none.
Given a single example of a complex sequence (£2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ลูคัสจริงยอดเยี่ยมลำดับL. คุณดวร์สท1. บทนำ ถ้าฉันและ m ใด ๆ คู่หนึ่งเชือดจำนวนเต็ม ลำดับที่(U): U0 = 0, 0i = l, Un ^ ลู ^ -หมู่ * - *, n ^ 2เรียกว่าลำดับ Lucas ที่สร้างขึ้น โดย z พหุนาม2 — Iz + mถ้า I2 = £ 4m และ a, 3 ได้ ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ (U),สหประชาชาติ =( -/3n) / (- /3), n ^ 0(Lucas [6]) แต่ละ (U) เป็นลำดับ divisibility: nm หมายถึง Un อุ่มตัวดัชนี n มากกว่า 2 เป็นนายกพิเศษใน (U) ถ้าทุกที่แบ่งสหประชาชาติยังแบ่ง UXU2U ^ ••• CT ^ ในการศึกษาของดัชนีคุณภาพมัน suffices จะฉัน > 0 ถ้า (U) และ (Uf) จะถูกสร้างขึ้นโดย#2 — Iz + m และ z2 + Iz + m ตามลำดับ แล้ว Z7W = (— ลี ^ Ul ในทั้งหมดที่นี้เราจึงสมมติว่า ฉัน > 0 ถ้า i2 > 4 เมตร, (C7) จะถูกเรียกว่าแท้จริงBirkhoff และ Vandiver [1] ได้แสดงให้เห็นว่าเมื่อการและ /3 coprimeเชือดจำนวนเต็มเท่านั้น (U) กับดัชนีใด ๆ ยกเว้นเป็นการเรียกว่า [6] แฟร์มาลำดับสร้าง โดย z2 — Sz + 2 ที่เท่านั้นดัชนีนี้คือ 6 Carmichael [2 ทฤษฎีบท 23] ได้แสดงที่เมื่อผมและ m เป็นจำนวนเต็มนายกร่วม I2 > 4 เมตร สามารถทำได้ยอดเยี่ยมดัชนีคือ 6 และ 12 และที่ twelve เป็นพิเศษเฉพาะในลำดับ Fibonacci (ฉัน — 1, m = – 1) Lekkerkerker [5] ได้แสดงที่แม้ว่าฉันและ m ไม่เป็นนายกร่วม ให้ I2 > 4 เมตร, (U) ได้finitely มากมายยกเว้นดัชนีในเอกสารนี้ เราแสดงว่าสำหรับ (Z, m) = 1 มีเพียบหลายจริง Lucas ลำดับที่ 6 เป็นพิเศษ (ทฤษฎี 2, 3) และที่สำหรับ (, m) > 1 มีอยู่เพียบหลายจริง Lucas ลำดับกับกำหนดชุดดัชนีคุณภาพ (ทฤษฎีบท 5) จำกัดปัญหาการถูกโจมตี โดยการลดการการศึกษาของ Lehmerdivisibility ลำดับ (Lehmer [4]), ซึ่งปัญหาที่เกี่ยวข้องมีการแก้ไข (Ward [8] ดวร์สท [3]) ในหลักสูตรการสนทนาเราได้รับหลักฐานใหม่ของ Lekkerkerkerทฤษฎีบท s และขยายเรื่องการลำดับของ Lehmer (ทฤษฎีบท 4)ถ้า I2 — ฉัน แล้ว m =การ2 และสหประชาชาติ =สุทธิ, ""1. ที่นี่ n เป็นพิเศษเว้นแต่นายกที่ไม่มีการแบ่งตัว สำหรับ I2 < 4m น้อยมากเป็นที่รู้จักโดยเฉพาะ ไม่ทราบว่า ลำดับดังกล่าวมีเพียบดัชนียอดเยี่ยมมาก31 พฤษภาคม 1960 รับ489ดวร์สทคุณ L. 4902, Lehmer ลำดับ ถ้า L และ M เป็นจำนวนเต็มเชือด L > 0ลำดับที่(P): Po = 0, Px = 1, P2W = P ^ -P2W, MP2W_2 + MP2n.x - LP2W - 1เรียกว่าลำดับ Lehmer ที่สร้างขึ้น โดย z พหุนาม2 — ลิซ + Mให้ K – L – 4 เมตร ถ้าหาก ^ 0 และ /5 เป็นรากของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ(P)P2n = (2-/52w) / (a2 -/32) ,ถ้าลำดับ Lucas (U) ถูกสร้าง โดย z2 — Iz + m แล้ว Lehmerลำดับ (P) ที่สร้างขึ้น โดย z พหุนามเดียวกัน2 — L ^ z + M, L = l2fM = m จะเรียกลำดับ Lehmer ที่เกี่ยวข้องกับ (? 7) อย่างชัดเจนและดังนั้น เรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 1 ตัว n ดัชนีเป็นกรณียกเว้นใน (U) และรับ(i) n คือยอดเยี่ยมใน (P), หรือ(ii) แต่ละเฉพาะ Pn แบ่ง แต่ไม่ Px ••• Pn_x แบ่งผมกรณี (i) และ (ii) จะถือว่าในแท้แท้ 3 และ 4 ตามลำดับ3. Lucas ลำดับลำดับที่ Lehmer สัมพันธ์มี excep *tional ดัชนี * ถ้า L และ M เป็นนายกร่วมและ K > 0 ลำดับ Lehmer(P) ที่สร้างขึ้น โดย z2 — L ^ z + M มีหกเป็นดัชนียกเว้นถ้า และเฉพาะในกรณีL = 2S + 2 -3K, M = 2 *- - ถ้าที่ s ^ 1, 2S + 2 > 3# และถ้าเป็นคี่ (ดวร์สท [3]) ตั้งแต่ 2S + 2 -3K =(-l) s(mod 3), L = l2^ 2S + 2 -3if หมายถึง s =£ 2 และ Z = 2 C + 1 -ฉัน ที่3 เป็นคี่และ 1 g ฉัน < 2t + 1. แต่ แล้ว 3if = 22 C + 2 -* =ฉัน (2 c + 2 - i); และเจใด = 3r หรือ 2 C + 2 — j = 3r ที่เป็นคี่ บวก และน้อยกว่า+ 2 * 1/3 ดังนั้นถ้า = r(2t +2 -3r), L = (2J + 1 -3r) 2 , M = (2C -r) (2 <-3r)และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า (l, m) = 1 และ I2 > 4m, tftew s ^ cc ^ s เป็นพิเศษดัชนีในลำดับ Lucas (U) และลำดับ Lehmer (P)สร้างขึ้น โดย z2 — Iz + m ถ้าและเฉพาะถ้าลูคัสจริงยอดเยี่ยมลำดับ 491ฉัน = 2t + 1 -3r, m = (2 * -r) (2 * -3r),ที่ t ^ 1, 2t + 1 > 3r และ r เป็นคี่ และบวกหมายเหตุว่า สำหรับ r = t = 1, (C7) เป็นลำดับ Fibonacci (Z = 1m = -1)4 * ไม่มี Lehmer เกี่ยวข้องลำดับลำดับ Lucasยกเว้นดัชนี * เนื่องจาก Px = p 2 = 1 และ P6/P3 = L — 3ikf นายกทุกแบ่ง P6 แต่ P3 ไม่ต้องแบ่ง Q6 L - 3Af = =ถ้า + แต่ม.(L, j|f) = 1 หมายถึง (P4P5, P6) = 1 โดยทฤษฎีบท 2.1 [3], และ P6 เป็นแม้ถ้าและเฉพาะถ้า P3 ได้ ดังนั้นสำหรับ p เป็นนายกคี่ p | P6 แต่ p P ^ JPJP ^ถ้าและเฉพาะถ้า p Q6 ในทางกลับกัน ถ้า p L แล้ว p P2p โดยทฤษฎีบท2.0 [3], p เพื่อฉัน (Q6, L) ถ้าและเฉพาะถ้า L เป็นคี่และ p = 3 ตอนนี้ Q6 = 2 * 3Wฉัน = 3SX, t ^ 0, ^ ^ 1, s ^ 1 และ (X, 6) = 3I ให้ 1 =; 2-Q 6 = 32SV - 2f3wหรือ M = 32S-XX2 -2t3w~1. แต่ s ^ 1 และ (L, M) = 1 เป็นสิทธิ์แบบ% = 1 ในที่สุดถ้า = Q6 - M = 2f + 2 -S2* -1^2 > 0 และเราได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบท 3 ถ้า (, m) = i2 คำสั่ง 1 > 4 เมตร แล้วหกเป็นการพิเศษดัชนีใน (U) แต่ไม่ยกเว้นดัชนีในความสัมพันธ์ (P) ถ้า และเฉพาะในกรณีฉัน 3SX = m = 32S-XX2 -2Cwftere s ^ l, t ^ O, =± 1 (mod 6) และเอสทูเอส~LX2 < 2t + หมายเหตุท่า t สำหรับ s = X = 1, ^ = 0, (7 ปอนด์) เป็นลำดับที่แฟร์มา (ฉัน = 3r5. ซิลเวสเตอร์ ^ s ลำดับและ Lekkerkerker ^ ทฤษฎีบท * ในการศึกษาของเขาลำดับของ Lehmer, Ward [8] ดัดแปลงวิธีการเดิม แนะนำโดยซิลเวสเตอร์ [7] ในการเชื่อมต่อกับ Lucas ลำดับ มี Lehmer แต่ละลำดับ (P) เราเชื่อมโยงลำดับซิลเวสเตอร์(Q): Q o = O, Q = l, Q, = l, Q n =/3+{n)Cn(all3), n ^ 3โดยที่ Cw(cc) คือ cyclotomic อำนวยพหุนาม แต่ละห้องพักมีการเชือดจำนวนเต็มและ Pn — UQa ห้องพัก = I7Pf8 }ที่ / ^ ฟังก์ชัน Mobius8 = w/d และผลิตภัณฑ์จะถูกนำไปหารทั้งหมด d ของ n. อย่างเห็นได้ชัดดัชนีเป็นพิเศษใน (P) ถ้าและเฉพาะถ้าโดดเด่นใน (Q)สมมติว่า L = DL, M — DM และให้ (P) และ (P) ได้ Lehmerลำดับที่สร้างขึ้น โดย z2 — ลิซ + M และ z2 — ลิซ + iff ตามลำดับ(Q) และ (Q) เป็นลำดับของซิลเวสเตอร์เกี่ยวข้อง ด้านล่าง 1 การจับมือได้เป็นเครื่องพิสูจน์ โดยการเหนี่ยวนำโดยใช้ความสัมพันธ์ที่สอบ จับมือ 2ระบุว่า ห้องพักฟังก์ชันเหมือนของ M, Lจับมือ 1P > T) n ~ p p — H2n คือ f -U: ±2n rm + — Uดวร์สทคุณ L. 492จับมือ 2 ห้องพัก = Dh + {ห้องพัก n) ถ้า n > 2หลักฐานการ มีสามกรณี: n – m, n – 2m, n = 2rm ที่m คือ คี่และ r > 1 ในกรณีแรกห้องพัก = Qm = nPth) (dS = m)ที่ e(n) = 1 ถ้า n = 1, s(w) = 0 ถ้า w > 1 ในสองและสามกรณี (n = 2rm, r ^ 1),คำถาม = n n JVJ M = nn (dS = m8 เป็นคี่ ^(28) =-ft(8) และฟุต (2s8) = 0 ถ้า s ^ 2 ในกรณีที่สอง(r = 1),และห้องพัก = Q, m =ในขณะที่ในกรณีที่สาม (r > 1),และถ้า p หาร Qw แต่ไม่ QiQ2 • * • Q » -ฉัน > P คือ called1 ตัวดั้งเดิมกรรมการ (Q) ที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนร่วมกันปัจจัยไม่ดั้งเดิมของ Qwจับมือ 2 หมายถึงว่าตัวดัชนี n มากกว่า 3 ยกเว้นใน (P)ถ้าและเฉพาะถ้า(i) n คือยอดเยี่ยมใน (P) หรือ(ii) ทุกปัจจัยสำคัญดั้งเดิมของห้องพักเป็นปัจจัยของ D. ตอนนี้สำหรับ1 โดย Lehmer [4] Lucas [6] เรียกว่าเป็น diviseur propre, Carmichael [2] ลักษณะคูณ และ Ward [8] การหาร intrinsicลูคัสจริงยอดเยี่ยมลำดับ 493(L, M) = 1 และ L > AM, (P) มีเฉพาะ finitely มากยกเว้นดัชนี(มันมีมากที่สุดสองของพวกเขา [3]) เนื่องจาก D มีจำนวนจำกัดหารเฉพาะแตกต่างกัน เฉพาะ finitely หลายดัชนีตกกรณี (ii), และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 4 ถ้า L > 4M ลำดับ Lehmer (P) ที่สร้างขึ้นโดยz2 — ลิซ + M มีเพียง finitely มากยกเว้นดัชนีเป็นการ corollary เราเดาทฤษฎีบทของ Lekkerkerker ถ้า (U)ลำดับ Lucas ที่สร้างขึ้น โดย z2 — Iz + m และ (P) ของ Lehmer ที่เกี่ยวข้องลำดับเพื่อให้ตัว n ดัชนียกเว้นใน (U) ถ้าและเฉพาะถ้า n เป็นพิเศษใน (P), หรือปัจจัยสำคัญดั้งเดิมของห้องพักแบ่ง (Q) มีการลำดับซิลเวสเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับ (P) มุมมองทฤษฎีบท 4 การจำนวนดัชนีดังกล่าวถูกจำกัดถ้า I2 > 4 ม.6 * ดัชนียอดเยี่ยมจริงลำดับด้วย (L, M) มากกว่าหนึ่ง ในส่วนนี้ เราได้แสดงทฤษฎีบทที่ 4 ทฤษฎีบทและของ Lekkerkerkerสุดเช่นทฤษฎีเป็นไปได้ ในความรู้สึกโดยทั่วไปที่ไม่มี-สามารถทำงบเฉพาะเกี่ยวกับการกระจายของยอดเยี่ยมดัชนี Lehmer และ Lucas ลำดับจริงทฤษฎีบทที่ 5 เพียบมีหลายลำดับ Lehmer จริง และเพียบจริงหลาย Lucas ลำดับใด ๆ ชุดจำกัดกำหนด{n19 •-• nN } ของดัชนีคุณภาพการหลักฐานการ สมมติว่า (U) เป็นลำดับ Lucas ที่สร้างขึ้น โดย z2 — Iz + ใน1 = 1 และ m = – 2 แล้ว (U) และลำดับของ Lehmer เกี่ยวข้อง(P) ซึ่งมีเหมือน มีดัชนีไม่โดดเด่น สมมติว่าเป็น (Q)ซิลเวสเตอร์ลำดับที่เกี่ยวข้องกับ (P) และให้ d = pi1 ••• p ° ^, ที่• «!, •••, aJf เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ p19 ••• #* กับการขึ้นเป็นเฉพาะตัวห้องพัก y, Qni, ••• ตั้งแต่ฟรีสแควร์หารสูงสุดของ (I2, m) และ (, m) เหมือนกัน ลำดับ Lehmer (P) และลำดับ Lucas (U) สร้างขึ้น โดย z2 — Iz + m ฉัน = dl, m — dm มีดัชนีคุณภาพต้องง่ายต่อการสร้างลำดับจริงด้วย (, m) > 1 ซึ่งไม่มีดัชนีคุณภาพ ตัวอย่าง ถ้า 1 = 1, m — — 2 แล้วสหประชาชาติ = 683U22 = 1,398,101 ดังนั้น 23 และ 89 เป็นปัจจัยดั้งเดิมของ U22 ดังนั้นการลำดับ (U) และ (P) ที่สร้างขึ้น โดย z2 — 23z — 46 ได้ยอดเยี่ยมไม่ดัชนีเนื่องจาก (U) มีไม่มีกำหนดตัวอย่างเดียวของลำดับที่ซับซ้อน (£2< 4 เมตร) จะได้ดัชนีไม่ยอดเยี่ยม มันจะไปขยาย 5 ทฤษฎีบทรวมจำนวนเชิงซ้อนลำดับลำดับเช่นเป็นจริง เนื่องจากไม่มีตัวอย่างดังกล่าว.seem เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบัน (Carmichael [2] [8] Ward), ส่วนขยายนี้ดวร์สทคุณ L. 494ต้องรอ อย่างไรก็ตาม กำหนดลำดับใด จริง หรือ ซับซ้อน ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 5 แสดงวิธีการสร้างจำนวนอื่น ๆลำดับดัชนียกเว้นชุดประกอบด้วยบรรดาของได้รับลำดับชุดดัชนีเพิ่มเติมพิเศษเช่นเดียวกับจำกัด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

EXCEPTIONAL จริง LUCAS
ลำดับลิตร เค DURST
1 บทนำ. ถ้าฉันและ m เป็นคู่ใด ๆ
ที่ไม่ใช่ศูนย์เหตุผลจำนวนเต็มลำดับ
(U): U0 = 0 = 0i ลิตรอู ^ ^ Lu -mU * - *, n ^ 2
เรียกว่าลำดับลูคัสที่สร้างโดย พหุนามซี
2
-. สนิฟเฟอร์ + m
ถ้า I2
= £ 4m และ / 3 รากของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ (U),
อู = (เป็น
- /
3n) / (ก - / 3), n ^ 0
(ลูคัส [6]) แต่ละ (U) เป็นลำดับหาร A: n เมตรหมายถึง Un อืม.
ดัชนี n มากกว่า 2 เป็นพิเศษใน (U) ถ้านายกหารทุก
Un ยังแบ่ง UXU2U ^ ^ CT ••• ในการศึกษาของดัชนีพิเศษมันพอเพียงที่จะใช้ฉัน> 0 ถ้า (U) และ (Uf) จะถูกสร้างโดย# 2 - นิฟเฟอร์ + m z และ2 + สนิฟเฟอร์ + m ตามลำดับแล้ว Z7W = (-ly ^ Ul . ในทุกที่ตามมาดังนั้นเราจึงคิดว่าฉัน> 0 ถ้า i2> 4m (C7) จะถูกเรียกว่าจริง. Birkhoff และ Vandiver [1] ได้แสดงให้เห็นว่าเมื่อและ / 3 coprime จำนวนเต็มเหตุผลเท่านั้น (U) กับใด ๆ ดัชนีที่โดดเด่นเป็นที่เรียกว่า[6] แฟร์มาต์ลำดับที่สร้างขึ้นโดยซี2 - Sz + 2 ซึ่งมีเพียง. ดัชนีพิเศษหกคาร์ไมเคิ [2 ทฤษฎีบท 23] แสดงให้เห็นว่าเมื่อฉันและm เป็นจำนวนเต็มร่วมสำคัญ I2> 4m ที่ยอดเยี่ยมได้เฉพาะดัชนีหกสิบสองและสิบสองเป็นพิเศษเฉพาะในลำดับฟีโบนักชี(I - 1, M = - 1). Lekkerkerker [5] ได้แสดงให้เห็นว่าแม้ว่าผมและm ไม่ได้ร่วมที่สำคัญ ให้ I2> 4m (U) มีเพียงขีดดัชนีพิเศษอีกมากมาย. ในบทความนี้เราแสดงให้เห็นว่า (Z, ม.) = 1 มีหลายอย่างมากมายลำดับลูคัสที่แท้จริงในการที่หกเป็นพิเศษ(ทฤษฎีบท 2, 3) และว่าสำหรับ(ผมเมตร)> 1 มีอยู่หลายอย่างมากมายลำดับลูคัสที่แท้จริงที่มีขอบเขตที่กำหนดใดๆ ของดัชนีพิเศษ (ทฤษฎีบท 5). ปัญหาถูกโจมตีโดยลดการศึกษาของ Lehmer ของลำดับหาร(Lehmer [4]) ซึ่ง ปัญหาที่เกี่ยวข้องได้รับการแก้ไข(วอร์ด [8], กล้า [3]) ในหลักสูตรของการสนทนาที่เราได้รับหลักฐานใหม่ Lekkerkerker? s ทฤษฎีบทและเป็นส่วนหนึ่งของมันลำดับของLehmer (ทฤษฎีบท 4). ถ้า I2 - Am แล้วม. = a 2 และ Un สุทธิ = "," 1 n ที่นี่เป็นพิเศษยกเว้นว่าจะเป็นนายกรัฐมนตรีไม่ได้แบ่ง สำหรับ I2 <4m น้อยมากเป็นที่รู้จักกัน. โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่เป็นที่รู้จักไม่ว่าจะเป็นลำดับดังกล่าวมีอนันต์ดัชนีที่โดดเด่นจำนวนมาก. ได้รับวันที่ 31 พฤษภาคม 1960 489 490 แอลเค DURST 2 Lehmer ลำดับ ถ้า L และ M เป็นจำนวนเต็มเหตุผล L> 0 ลำดับ(P): Po = 0 Px = 1 P2W P = ^ - MP2W_2, P2W + 1 - LP2W - MP2n.x เรียกว่าลำดับ Lehmer สร้างโดย พหุนามซี2 - ลิซเอ็ม + ให้ K - L - 4M ถ้าหาก ^ 0 และ / 5 รากของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ(P), P2n = (2 - - / 52W) / (a2 - / 32) ถ้าลำดับที่ลูคัส (U) ถูกสร้างขึ้นโดยซี2 - สนิฟเฟอร์ + m แล้ว Lehmer ลำดับ (P) ที่สร้างโดยพหุนามเดียวกันซี2 - ^ L ซี + M, L = l2 ฉ(7) M = เมตรจะถูกเรียกว่าลำดับ Lehmer เกี่ยวข้องกับ เห็นได้ชัดและดังนั้นเราจึงมีทฤษฎีบทต่อไป. ทฤษฎีบท 1. n ดัชนีเป็นพิเศษใน (U) และถ้าหาก(i) n เป็นพิเศษใน (P) หรือ(ii) ที่สำคัญแต่ละหาร Pn แต่ไม่ PX ••• Pn_x แบ่ง I. กรณี (ก) และ (ii) ได้รับการปฏิบัติใน§§ 3 และ 4 ตามลำดับ. 3 ลำดับลูคัสที่มีลำดับ Lehmer ที่เกี่ยวข้องมี EXCEP * ดัชนี tional * ถ้า L และ M จะร่วมนายกรัฐมนตรีและ K> 0 ลำดับ Lehmer (P) ที่สร้างขึ้นโดยซี2 - L ^ Z + M มีหกเป็นดัชนีที่โดดเด่นและถ้าเพียงถ้าL = 2S + 2 - 3K, M = 2 * - ถ้าที่s ^ 1, 2S + 2> 3 # และถ้าเป็นเลขคี่ (กล้า [3]) ตั้งแต่ 2S + 2 - 3K = (-l) s (สมัยที่ 3) L = l2 ^ 2S + 2 - 3if หมายถึง s = 2 £และ Z = 2C + 1 - ฉันที่3 เป็นเลขคี่และกูเกิล 1 <2t + 1 แต่แล้ว 3if = 22C + 2 - ฉัน * = ฉัน (2c + 2 - ฉัน); และทั้งเจ = 3r หรือ 2C + 2 - เจ = 3r ที่ r คือแปลกบวกและน้อยกว่า2 * + 1/3 ดังนั้นถ้า r = (2t 2 - 3r), L = (1 + 2J - 3r) 2, M = (2C - R) (2 <- 3r). และเรามีดังต่อไปนี้ทฤษฎีบททฤษฎีบท 2 ถ้า (ลิตร เมตร) = 1 และ I2> 4m, tftew s ^ ซีซี ^ s พิเศษดัชนีทั้งในลำดับที่ลูคัส(U) และลำดับ Lehmer (P) ที่สร้างขึ้นโดยซี2 - นิฟเฟอร์ + m ถ้าหากEXCEPTIONAL จริง LUCAS ลำดับ 491 I = 2t + 1 - 3r, m = (2 * - R) (2 * - 3r) เมื่อ t ^ 1, 2t + 1> 3r และ r คือแปลกและบวก. โปรดทราบว่าสำหรับ r = t = 1, (C7) เป็นลำดับฟีโบนักชี (Z = 1 m = -1). 4 * ลำดับลูคัสที่มีลำดับ Lehmer ที่เกี่ยวข้องไม่มีดัชนีพิเศษ* ตั้งแต่ Px = P2 = 1 และ P6 / P3 = L - 3ikf ทุกนายกP6 แบ่ง แต่ไม่ต้องแบ่ง P3 Q6 = L - 3AF = ถ้า + แต่เอ็ม(L, เจ | ฉ) = 1 หมายถึง (P4P5, P6) = 1 โดยทฤษฎีบท 2.1 [3] และ P6 จะยิ่งถ้าหากP3 คือ. ดังนั้นสำหรับพีแปลกนายกพี | แต่พี P6 P ^ ^ JPJP ถ้าหากว่าพี Q6 ในทางตรงกันข้ามถ้าพี L แล้วพี P2P โดยทฤษฎีบท2.0 [3] ดังนั้นฉันพี (Q6, L) ถ้าหาก L เป็นเลขคี่และ p = 3 ตอนนี้ Q6 = 2 * 3W, ฉัน = 3SX, เสื้อ ^ 0 ^ ^ 1, s ^ 1 และ (x, 6) = 1 ให้ 3I =; 2 - 6 Q = 32SV - 2f 3 W หรือ M = 32S - XX 2 - 2t 3 ก~ 1 แต่ s ^ 1 และ (L, M) = 1% หมายความ = 1 ในที่สุดถ้า= Q6 - M = 2f + 2 - S2 * -1 ^ 2.> 0 และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบท3. หาก (ฉัน , ม.) = i2 cmd 1> 4m แล้วหกเป็นพิเศษดัชนี(U) แต่ไม่ได้เป็นดัชนีที่โดดเด่นในที่เกี่ยวข้อง (P) ถ้าและเฉพาะในกรณีที่I = 3SX, m = 32S - XX 2 - 2C wftere s ^ ลิตร, เสื้อ ^ O = ± 1 (สมัย 6) และ S2S ~ L X 2 <2t + หมายเหตุ tha เสื้อสำหรับ s = X = 1, ^ = 0 (£ 7) เป็นลำดับแฟร์มาต์ (I = 3r 5. ซิลเวส ^ s ลำดับและ Lekkerkerker ^ ทฤษฎีบท * ในการศึกษาของเขาวนเวียนLehmer ของวอร์ด [8] ดัดแปลงวิธีการแนะนำเดิมโดยซิลเวส[7] ในการเชื่อมต่อกับลำดับลูคัส. กับแต่ละ Lehmer ลำดับ (P) เราเชื่อมโยงซิลเวส ลำดับ(Q): o Q = O, Q = ลิตรคิว = ลิตร Q n = / 3 + ​​{n) Cn (all3) n ^ 3 ที่ Cw (ซีซี) เป็น wth cyclotomic พหุนาม Qn แต่ละเหตุผลจำนวนเต็มและPn - UQa, Qn = I7Pf8} ที่ / ^ เป็นฟังก์ชั่นระบำ8 = W / D และผลิตภัณฑ์ที่มีการดำเนินการทั้งหมดของตัวหาร d n เห็นได้ชัดว่าดัชนีเป็นพิเศษใน (P) และถ้าหากมันเป็นพิเศษใน (Q). สมมติว่า L = DL, M- DM และให้ (P) และ (P) เป็น Lehmer ลำดับที่สร้างขึ้นโดยซี2 - ลิซ + M z และ2 - ลิซ + สมมุติแค่สมมุติตามลำดับ(Q) และ (Q) เป็นลำดับซิลเวสที่เกี่ยวข้อง บทแทรกที่ 1 ด้านล่างจะพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเหนี่ยวนำความสัมพันธ์ที่เรียกซ้ำตัวเอง บทแทรก 2 ระบุว่า Qn เป็นฟังก์ชั่นเหมือนกัน L, M. บทแทรก 1. P> T) ~ n หน้า - H 2n - -U ± 2n ฉRM + - ยู492 แอลเค DURST บทแทรก 2. Qn = Dh + {n) QN ถ้า n> 2. หลักฐาน มีสามกรณี: n - m, n - 2 เมตร, n = 2rm ที่m คือแปลกและ R> 1. ในกรณีแรกQn = = Qm nPth) (dS = เมตร) ที่จ (n) = 1 ถ้า n = 1 s (w) = 0 ถ้าน้ำหนัก> 1. ในที่สองและสามกรณี(n = 2rm, อา ^ 1) Q. = NN JVJ-M = NN (dS = เมตรตั้งแต่8 เป็นเลขคี่, ^ (28) = - ฟุต (8) และฟุต (2s 8) = 0 ถ้า s ^ 2. ในกรณีที่สอง(r = 1) และQn = Q, M = ในขณะที่ในกรณีที่สาม (R> 1) และถ้าพีแบ่ง Qw แต่ไม่ QiQ2 • * •คำถาม» -i> P นั้น called1 ปัจจัยดั้งเดิมของ Qw. เห็นได้ชัดว่าแตกต่างกันของสมาชิก (Q) หุ้น ไม่มีปัจจัยดั้งเดิม. บทแทรก 2 แสดงให้เห็นว่าดัชนี n มากกว่า 3 เป็นพิเศษใน (P) และถ้าหาก(i) n เป็นพิเศษใน (P) หรือ(ii) ปัจจัยสำคัญทุกดั้งเดิมของ Qn เป็นปัจจัยของ ดีตอนนี้สำหรับ1 โดย Lehmer [4]. ลูคัส [6] เรียกมันว่า propre diviseur, คาร์ไมเคิ [2] ลักษณะปัจจัยและวอร์ด[8] หารที่แท้จริง. EXCEPTIONAL จริง LUCAS ลำดับ 493 (L, M) = 1 และ L> AM, (P) มีเพียงขีดดัชนีพิเศษอีกมากมาย. (มันได้มากที่สุดสองของพวกเขา [3].) ตั้งแต่ D มีจำนวน จำกัด ของdivisors สำคัญที่แตกต่างกันเพียงดัชนีหลายขีดตกอยู่ในกรณีที่ (ii) และเรามีทฤษฎีบทต่อไป. ทฤษฎีบท 4. ถ้า L> 4M ลำดับ Lehmer (P) ที่สร้างขึ้นโดยซี2 - ลิซ + M มีเพียงขีดดัชนีพิเศษอีกมากมาย. ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์เราสรุปทฤษฎีบท Lekkerkerker ของ ถ้า (U) เป็นลำดับที่ลูคัสที่สร้างขึ้นโดยซี2 - นิฟเฟอร์ + m และ (P) Lehmer ที่เกี่ยวข้องตามลำดับเพื่อให้n ดัชนีเป็นพิเศษใน (U) และถ้าหาก n เป็นพิเศษใน(P) หรือ ปัจจัยที่สำคัญดั้งเดิมของผมแบ่ง Qn, (Q) ที่ถูกลำดับที่เกี่ยวข้องกับซิลเวส(P) ในมุมมองของทฤษฎีบท 4 จำนวนของดัชนีดังกล่าวเป็นแน่นอนถ้า I2> 4m. 6 * ดัชนีพิเศษสำหรับลำดับจริงกับ (L, M) มากกว่าหนึ่ง ในส่วนนี้เราแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทที่ 4 และทฤษฎีบท Lekkerkerker ของเป็นที่ดีที่สุดเช่นทฤษฎีบทที่เป็นไปได้ในแง่ที่ว่าโดยทั่วไปไม่มากคำสั่ง-specific สามารถทำเกี่ยวกับการกระจายของพิเศษดัชนีLehmer จริงและลำดับลูคัส. ทฤษฎีบท 5. มีอยู่เพียบ หลายลำดับ Lehmer จริงและหลายลำดับอนันต์จริงลูคัสกับขอบเขตที่กำหนดใดๆ. {N19 • - •, nN} ของดัชนีพิเศษหลักฐาน สมมติว่า (U) เป็นลำดับที่สร้างโดยลูคัสซี2 - นิฟเฟอร์ + ในที่1 = 1 และ m = - 2 แล้ว (U) และลำดับ Lehmer ที่เกี่ยวข้อง(P) ซึ่งเป็นเหมือนกันไม่มีดัชนีที่โดดเด่น สมมติว่า (Q) เป็นลำดับที่เกี่ยวข้องกับซิลเวส(P) และให้ d = pi1 •••พี° ^ ที่•« !, •••, เอเจเอฟเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และ P19 ••• # * มีดั้งเดิมปัจจัยที่สำคัญของ Qni, •••, Qn Y ตั้งแต่หารสูงสุดตารางฟรีของ(I2, ม.) และ (ผมเมตร) เหมือนกันลำดับ Lehmer (P) และลำดับที่ลูคัส(U) ที่สร้างขึ้นโดยซี2 - นิฟเฟอร์ + m, I = ดลเมตร - DM มี. ดัชนีพิเศษที่จำเป็นต้องใช้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างลำดับจริงด้วย (ผมเมตร)> 1 ที่ไม่มีดัชนีที่โดดเด่น ตัวอย่างเช่นถ้า 1 = 1 เมตร - - 2 จากนั้นอู = 683, U22 = 1,398,101 ดังนั้น 23 และ 89 เป็นปัจจัยดั้งเดิมของ U22 ดังนั้นลำดับ (U) และ (P) ที่สร้างขึ้นโดยซี 2 - 23z - 46 ไม่มีพิเศษ. ดัชนีตั้งแต่ (U) ได้ไม่มีกำหนดเช่นเดียวลำดับที่ซับซ้อน(£ 2 <4 เมตร) ที่รู้จักกันมีไม่มีดัชนีพิเศษมันจะเป็นไปได้ที่จะขยายทฤษฎีบทที่ 5 รวมถึงลำดับที่ซับซ้อนเช่นเดียวกับลำดับที่แท้จริง เนื่องจากไม่มีตัวอย่างเช่น.seem เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบัน (คาร์ไมเคิ [2] วอร์ด [8]) ส่วนขยายนี้494 LK DURST ต้องรอ แต่ให้ลำดับใด ๆ จริงหรือซับซ้อนพิสูจน์ทฤษฎีบท5 มีวิธีในการสร้างจำนวนอื่น ๆลำดับที่มีชุดของดัชนีที่โดดเด่นมีทั้งหมดของผู้ที่ได้รับตามลำดับเช่นเดียวกับขอบเขตใด ๆ ของดัชนีพิเศษเพิ่มเติม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิเศษจริง ลูคัสลำดับ
L . K . เดอร์ส
1 แนะนำ ถ้าผมและ M เป็นคู่ไม่เป็นเหตุผล
จำนวนเต็มลำดับ
( u ) : U0 = 0 , 0i = L , a

- มู่ลู่ * - * n
2
เรียกว่า ลูคัส ที่สร้างขึ้นโดยลำดับพหุนาม z
2
-
ถ้า I2
= อิซม. ง 4 เมตรและ / 3 เป็นรากของเครื่องปั่นไฟ ( U )
a = (
-
/ 3N ) / ( - 3 ) , n
0
( ลูคัส [ 6 ] ) แต่ละ ( U ) เป็นการหารลงตัวลำดับ :n M หมายถึงเอ่อ N อึน
ดัชนี n มากกว่า 2 , พิเศษ ( u ) ถ้าทุกนายกหาร
อุนยังแบ่ง••• CT uxu2u

ในการศึกษาพิเศษดัชนี
มันพอเพียงเพื่อพาฉัน > 0 ถ้า ( คุณ ) และ ( UF
) จะถูกสร้างขึ้นด้วย
#
2
- อิซ M และ Z
2
อิซเมตร ตามลำดับ แล้ว z7w = ( - Ly
UL ในทั้งหมดที่ตามมา เราจึงคิดว่าฉัน
> 0 ถ้า I2
> 4M ( C7 ) จะถูกเรียกว่า

จริงเบิร์กฮอฟ และ vandiver [ 1 ] ได้แสดงให้เห็นว่าเมื่อและ / 3 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
จำนวนตรรกยะจำนวนเต็มเท่านั้น ( U ) กับดัชนีพิเศษที่เรียกว่าเป็น
[ 6 ] แฟร์มาต์ลำดับที่สร้างขึ้นโดย z
2
-
SZ 2 มีดัชนีพิเศษ 6 ไมเคิล [ 2 ] พบว่าทฤษฎีบท 23
เมื่อฉันและ M เป็น Co จำนวนเต็มนายกรัฐมนตรี , I2
> 4M ,
พิเศษเพียง แต่เป็นไปได้ดัชนีหกและสิบสองและ 12 เป็นพิเศษเฉพาะในลำดับเลขฟีโบนัชชี ( I -
1 m = - 1 ) lekkerkerker [ 5 ] ได้แสดง
แม้ว่าผมและ M ไม่ได้จำกัดเฉพาะให้ I2
> 4M ( U ) เท่านั้น

หลังดัชนีพิเศษมากมาย ในกระดาษนี้เราแสดงให้เห็นว่า ( Z , m ) = 1 มีจำนวน
จริง ลูคัสลำดับที่ 6 เป็นพิเศษ ( ทฤษฎีบทที่ 2 , 3 )
ให้ฉันM ) > 1 มีอยู่จำนวนที่แท้จริงของลูคัสลำดับ
กับกำหนดเซตจำกัดของดัชนีพิเศษ ( ทฤษฎีบท 5 ) .
ปัญหาคือโจมตีโดยการลดการการศึกษาของ lehmer
การหารลงตัวลำดับ ( lehmer [ 4 ] ) ซึ่งปัญหาที่ได้รับการแก้ไข (
) [ 8 ] เดิรส์ท [ 3 ] ) ในหลักสูตรของการสนทนา
เราได้รับหลักฐานใหม่ของ lekkerkerker ?

ของส่วนขยายของและมัน lehmer เป็นลำดับ ( ทฤษฎีบท 4 ) I2
-
ถ้าเป็นแล้ว M =

= 2 และยกเลิกเน็ต " , " 1

ที่นี่ N เป็นพิเศษ
เว้นแต่เป็นนายกรัฐมนตรีไม่แบ่ง A สำหรับ I2
< 4M น้อยมากเป็นที่รู้จักกัน .
โดยเฉพาะ มันไม่เป็นที่รู้จักว่าลำดับดังกล่าวใด ๆ มีเพียบ

ดัชนีพิเศษมากมาย ได้รับ 31 พฤษภาคม ค.ศ. 489 490 L . K .


lehmer เดอร์ส 2 ลำดับ ถ้า L และ M เป็นจำนวนเต็มเหตุผล ฉัน > 0

ลำดับ( P ) : PO = 0 % = 1 , p2w = P
- mp2w_2 p2w , 1 - lp2w - mp2n X
เรียกว่า lehmer ลำดับที่สร้างขึ้นโดยพหุนาม z
2
-
ให้ลิซเมตร K - L - 4 เมตร หากถ้า
0 A / 5 เป็นราก ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ

Agar ( P ) = ( 2
- / 52w ) / ( A2
- / 32

ถ้าลำดับ ) , ลูคัส ( U ) ถูกสร้างขึ้นโดย z
2
- อิซ M แล้ว lehmer
ลำดับ ( P ) ที่สร้างขึ้นโดยเดียวกันแบบซี
2
-
Z M , L = L2
f
M = M , จะถูกเรียกว่า lehmer ลำดับ ที่เกี่ยวข้องกับ ? 7 )

เราจึงชัดเจนและทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 1 ดัชนี n เป็นพิเศษ ( u ) ถ้าและเพียงถ้า
( i ) N เป็นพิเศษ ( P ) หรือ ( ii ) แต่ละท่านแบ่ง
PN แต่ไม่ใช่ PX - - - pn_x แบ่งผม
กรณี ( 1 ) และ ( 2 ) การเข้ารับการรักษาใน§§
3 และ 4 ตามลำดับ 3 . ลูคัสลำดับที่เกี่ยวข้อง lehmer อนุกรมมี excep
ระหว่างประเทศดัชนี * ถ้า L และ M มี CO นายกรัฐมนตรีและ k > 0 , lehmer ลำดับ
( P ) ที่สร้างขึ้นโดย z
2
-
Z M มีหกเป็นดัชนีพิเศษถ้าและ

แต่ถ้า L = 2s 2
- 3 k , M = 2 * - ถ้า s

ที่ 1 2 3 # 2s
> และถ้าเป็นเลขคี่ ( เดอร์ส [ 3 ] ) ตั้งแต่ 2s 2
- 3K =
( l ) S
( mod 4 ) , L = L2

2s 2
- ถ้าหมายถึง S = 2 แห่งและ Z = 2c 1
-
ผมที่ 3 เป็นเลขคี่และ 1 กรัม < 2t 1

แต่แล้วถ้า 22c = 2
- * ( 2
2 =- ผม ) ; และ
ให้ J = 3R หรือ 2C 2
- J = 3R ที่ R คี่ , บวก , และน้อยกว่า
2 * 1 / 3 ดังนั้นถ้า = r (
2t 2
- 3R ) , L = ( 2j 1
- 3R ) 2
, M = ( 2c
- R )
2 < - 3R ) และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 2 ถ้า ( M , L ) = 1 และ I2
> 4 tftew s

s CC , ดัชนีพิเศษ
ทั้งลำดับ ลูคัส ( U ) และ lehmer ลำดับ ( P ) z
2

สร้างโดยอิซ M ถ้าและเพียงถ้า
พิเศษจริง ลูคัสลำดับ 491
= 2t 1
- 3R , M = 2 * R ) ( 2 * - 3R ) ,
t
ที่ 1 , 2t 1 > 3R และ r เป็น คี่ และ บวก
ทราบว่า R = t = 1 , ( C7 ) เป็นลำดับฟีโบนักชี ( Z = 1
M = - 1 )
4 * ลูคัส ลำดับที่เกี่ยวข้อง lehmer ลำดับไม่มี
พิเศษดัชนี * เนื่องจาก PX = P2 และ P3 = = 1 / P6 L - 3ikf ทุกๆท่าน
หาร P6 แต่ไม่ต้องแบ่ง Q6 P3 L - 3af = =
แต่ถ้าม.( L , J | F ) = 1 หมายถึง ( p4p5 P6 , ) = 1 โดยทฤษฎีบท 2.1 [ 3 ] และมีแม้กระทั่ง P6
ถ้าและเพียงถ้า P3 คือ ดังนั้นสำหรับ P แปลกเฉพาะ | P6 P P P
N แต่ jpjp

ถ้าและเพียงถ้า P Q6 . บนมืออื่น ๆ ถ้า P / L แล้ว P P2P โดยทฤษฎีบท
2.0 [ 3 ] ดังนั้น P ( Q6 L ) ถ้าและเพียงถ้าฉันเป็นเลขคี่และ P = 3 ตอนนี้ Q6 = 2 * 3
, i = 3sx T
0
1
1 s , และ ( X ( , 6 ) = 1 ให้ 3 ลิตร = 2
- Q 6 = 32sv - ห้อง 2F
3
w
หรือ M = 32s
-
X
2
-
2t3
W
~
3
แต่ S
1 L , m ) = 1 หมายถึง % = 1 สุดท้ายถ้า = Q6
- M = ห้อง 2F 2
- S2
- 1


2
> 0 และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 3 . ถ้า ( , m ) = 1 CMD I2
> 4M แล้วหกเป็นดัชนีพิเศษ
( U ) แต่ไม่ได้เป็นดัชนีที่ยอดเยี่ยมในที่เกี่ยวข้อง ( P )

ถ้าถ้าผม = 3sx , , M = 32s
-
X
2
- 2c
wftere S
l , t
O , N = ± 1 ( mod 4 ) และ s2s
~
L
x
2
< 2t
หมายเหตุ ท่า T สำหรับ S = x = 1
= 0ได้รับ 7 ) เป็นลำดับของแฟร์มาต์ ( I = 3R
5 ซิลเวสเตอร์เป็นลำดับ lekkerkerker

และทฤษฎีบท * ในการศึกษา
ของ lehmer เป็นลำดับ วอร์ด [ 8 ] ดัดแปลงวิธีการเดิมแนะนำ
โดยซิลเวสเตอร์ [ 7 ] ในการเชื่อมต่อกับลูคัส ลำดับ กับแต่ละ lehmer
ลำดับ ( P ) เราเชื่อมโยงซิลเวสเตอร์ลำดับ
( Q ) Q O = O , Q ! = L = L , q , Q , n = / 3 { N ) CN ( all3 n
3
)ที่ CW ( CC ) คือแบบ . cyclotomic โพลิโนเมียล แต่ละที่เป็นจำนวนเต็มและมีเหตุผล
PN - uqa ? = , i7pf8 } /

ที่เป็นฟังก์ชัน Mobius
8 = W / D และผลิตภัณฑ์ควบคุมทุกตัวหาร d . เห็นได้ชัด
ดัชนีเป็นพิเศษ ( P ) ถ้าและเพียงถ้ามันเป็นพิเศษ ( คิว )
ว่า L = DL , M - DM ให้ ( P ) ( P ) เป็น lehmer
) ที่สร้างขึ้นโดย Z
2
- m z
2
ลิซ- ลิซ IFF )
( Q ) และ ( q ) ของพวกเขาที่เกี่ยวข้อง ซิลเวสเตอร์ ลำดับ บทแทรก 1 ด้านล่าง
สามารถพิสูจน์โดยอุปนัยโดยใช้การเรียกซ้ำความสัมพันธ์ บทแทรก 2
24 รัฐว่าเป็นฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกันของ L , M .
แทรก 1
+ t ) N ~ P P - H
- U ± 2n 2n f
U
3 L ) - K . เดอร์ส
พ 2 ซอฮยอน = DH { N ) ? ถ้า n > 2 .
พิสูจน์ มีอยู่สามกรณี : n - M , N - 2 m , n = 2rm ที่
M เป็นเลขคี่และ r > 1 .ในกรณีแรกที่ npth ) =
= QM ( DS = m )
ที่ E ( n ) = 1 ถ้า n = 1 , S ( W ) = 0 ถ้า W 1 ในช่วงที่สองและสาม
กรณี ( n = 2rm R
2 )
Q = n n jvj-m = nn (
m
ตั้งแต่ DS = 8 เป็นคี่ ,
( 28 ) = - ฟุต ( 8 ) และฟุต ( 2s
8 ) = 0 ถ้า s
2 ในคดีที่สอง
( r = 1 และ =

? ) Q , M =
ในขณะที่กรณีที่ 3 ( r > 1 )

ถ้า P และแบ่ง qw แต่ไม่ qiq2 - * - q - > p คือ» called1

เป็นปัจจัยดั้งเดิมของ qw .แตกต่างของสมาชิก ( Q ) ไม่มีปัจจัยดั้งเดิม .
แทรก 2 หมายความว่าดัชนี n มากกว่า 3 เป็นพิเศษ ( P )

ถ้าและเพียงถ้า ( ฉัน ) N เป็นพิเศษใน ( P ) หรือ
( 2 ) ทุกประเภทตัวประกอบเฉพาะของ 24 คือปัจจัยดีตอนนี้ สำหรับ
1
โดย lehmer [ 4 ] ลูคัส [ 6 ] เรียกมัน diviseur สะอาด , คาร์ไมเคิล [ 2 ] ปัจจัยลักษณะ
และวอร์ด [ 8 ]
เป็นตัวหารที่แท้จริงยอดเยี่ยมจริงๆ ลูคัส ลำดับต่อไป
( M , L ) = 1 และฉัน > กำลัง ( P ) มีเพียงการนำมากเป็นพิเศษดัชนี .
( มันมีเวลามากที่สุดสองของพวกเขา [ 3 ] ) เนื่องจาก D มีจํานวนจํากัด
แตกต่างกันเฉพาะตัวหารเพียงการนำดัชนีตกไปหลายกรณี ( 2 ) และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้
.
ทฤษฎีบท 4 ถ้าผม > 4 , lehmer ลำดับ ( P ) ที่สร้างขึ้นโดย
z
2
- ลิซ M มีจำกัดมากเป็นพิเศษในปัจจุบัน
เป็นข้อพิสูจน์ที่เราอนุมาน lekkerkerker ทฤษฎีบทของ ถ้า ( U )
ลูคัสลำดับที่สร้างขึ้นโดย z
2
- อิซ M ( P ) ที่เกี่ยวข้อง lehmer

ดังนั้นลำดับดัชนี n เป็นพิเศษ ( u ) ถ้าและเพียงถ้า N เป็นพิเศษ
( P ) หรือเฉพาะปัจจัยดั้งเดิมที่แบ่งผม ( Q )
ซิลเวสเตอร์ ลำดับที่เกี่ยวข้องกับ ( P ) ในมุมมองของทฤษฎีบท 4
จำนวนจำกัดถ้า I2
ดัชนีดังกล่าวคือ> 4 .
6 * พิเศษดัชนีลำดับจริง ( M , L ) มากกว่า
. ในส่วนนี้เราพบว่าทฤษฎีบทของทฤษฎีบทที่ 4 และ lekkerkerker
จะดีที่สุด เช่น ทฤษฎีบทที่สุดในความรู้สึกโดยทั่วไปไม่มี
- ข้อความที่เฉพาะเจาะจงสามารถทำเกี่ยวกับการพิเศษ
ดัชนี lehmer จริงและลูคัส ลำดับ
ทฤษฎีบท 5 . มีจำนวนและลำดับ lehmer
จริงจำนวนที่แท้จริงของลูคัสลำดับใด ๆ ที่กำหนด เซตจำกัด n19
{ - - } - nn , ดัชนีพิเศษ
พิสูจน์ สมมติ ( U ) คือ ลูคัส ลำดับที่สร้างขึ้นโดย z
2
- อิซ ,
ที่ 1 = 1 M = - 2 แล้ว ( U ) และบริษัทที่เกี่ยวข้อง lehmer ลำดับ
( P ) ซึ่งมีเหมือนกัน ไม่มีดัชนีพิเศษ สมมติ ( q )
( P ) ที่เกี่ยวข้องกับ ซิลเวสเตอร์ ลำดับให้ D = pi1
- -
- p /
, ที่•« ! ••• ajf
, , เป็นบวกจำนวนเต็มและ p19 •••# , * เป็นนายกปัจจัยดั้งเดิมของ qni •••
, ? , y ตั้งแต่สูงสุดตารางฟรีตัวหาร
( I2
, m ) ( , m ) จะเหมือนกัน lehmer ลำดับ ( P )
ลูคัสลำดับ ( U ) ที่สร้างขึ้นโดย z
2
- อิซ M = DL , M - DM ได้ยอดเยี่ยม

เป็นดัชนี มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างลำดับจริงด้วย ( ผม ) > 1 ซึ่งไม่มี
ดัชนีพิเศษ ตัวอย่างเช่น ถ้า 1 = 1 , M - 2 แล้ว =
= แต่สหประชาชาติ , u22 1398101 ดังนั้น 23 89 เป็นปัจจัยดั้งเดิมของ u22 . ดังนั้น ลำดับ ( u )
( P ) ที่สร้างขึ้นโดย z
2
- 23z - 46 ไม่มีดัชนีพิเศษ
( U ) เนื่องจากไม่มี .
ได้รับตัวอย่างเดียวของลําดับที่ซับซ้อนได้รับ 2
< 4M ) รู้จักกันมี
ไม่มีดัชนีพิเศษก็จะเป็นไปได้ที่จะขยายทฤษฎีบท 5 รวม
ลําดับที่ซับซ้อนเป็นลำดับจริง เนื่องจากไม่มีตัวอย่างค่ะ ดูเหมือนจะรู้จักกันในปัจจุบัน ( ไมเคิล [ 2 ] ตึก [ 8 ] ) นี่นามสกุล
494 L . K . เดอร์ส
ต้องรอ แต่ให้มีลำดับ จริง หรือซับซ้อน ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท
5 แสดงวิธีการสร้างหมายเลขใด ๆของลำดับอื่น ๆที่มีชุดของดัชนีพิเศษ
ประกอบด้วยทั้งหมดของ
ให้ลำดับ เช่นเดียวกับชุด จำกัด ของดัชนีพิเศษเพิ่มเติม