It is (c) that is puzzling. In our

It is (c) that is puzzling. In our context a real eigenvalue A is of negative type if its eigenvector
x satisfies x*Ax -c 0. Since A-’ exists, all eigenvalues are finite and so no eigenvector z has
zTAz = 0. When (a) and (b) hold but (c) fails, then we have a pencil that can be diagonalized but
is not definite. Yet Gantmacher [5] in his treatment of pencils never mentions grouping real
eigenvalues in this way.
In later sections we explain our view that for eigenvalue-eigenvector problems (and there are
other instances of pencils) the sign characteristic is superfluous. However in a context in which
congruence transformations are the only ones permitted, then the sign characteristic does have a
place.
Let us turn next to the beautiful minmax and maxmin characterization of the eigenvalues of a
symmetric matrix. This characterization can be adapted to definite pencils. This pleasing result
seems to be due to Stewart [ll], but the Crawford number utilized in his perturbation theory
does not seem to be the most natural measure of the stability of the spectrum of a definite pencil.
This is discussed in Section 5. Some work has been done on extending the characterization
beyond definite pencils. Suppose a symmetric pencil (H, A) with invertible A has a mixture of
real and complex eigenvalues. Might it be possible to describe the real eigenvalues, or some of
them, as minmax or maxmin values of the Rayleigh quotient? Some ingenious results of this type
are presented in [8]; the difficulty is that the domains over which the Rayleigh quotient varies
must be limited in some way, because, for an indefinite pencil, the Rayleigh quotient can take on
all possible values. Thus even if the eigenvalue with largest real part is actually real, it is not the
maximum of the Rayleigh quotient. Even with restrictions to vectors of one type (+ or -) the
actual index of an eigenvalue that can be characterized as a minmax is not easy to ascertain. We
conclude that the class of definite Hermitian pencils seems to be the broadest extension of the
class of Hermitian matrices that retains the classical properties. See [4,6,11] for good discussions
of pencils.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มันเป็น (c) ที่จะงง ในบริบทของเรา เป็นจริง eigenvalue A เป็นลบถ้า eigenvector ของตอบสนอง x x * Ax -c 0 ตั้งแต่ A-' อยู่ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีจำกัด และดังนั้น z eigenvector ไม่มีzTAz = 0 เมื่อ (ก) และ (b) ค้างไว้แต่ล้มเหลว (c) แล้วเรามีดินสอที่สามารถ diagonalized แต่ไม่แน่นอน ยังไม่ ได้ Gantmacher [5] ในการรักษาของเขาดินสอไม่เคยกล่าวถึงการจัดกลุ่มที่แท้จริงค่าลักษณะเฉพาะวิธีนี้ในภายหลังส่วน ที่เราอธิบายมุมมองของเราที่ปัญหา eigenvalue eigenvector (และมีอินสแตนซ์อื่นของดินสอ) ลักษณะเครื่องหมายเป็นไม่จำเป็น อย่างไรก็ตามในบริบทที่แปลงลงตัวเป็นคนเดียวที่ได้รับอนุญาต แล้วมีลักษณะลงตัวสถานที่ให้เราเปิดข้างสวย minmax และ maxmin สมบัติของค่าลักษณะเฉพาะของการเมทริกซ์สมมาตร จำแนกลักษณะนี้สามารถปรับให้ดินสอแน่นอน ผลเจริญดูเหมือนว่าจะครบกำหนดสจ๊วต [ll], แต่หมายเลขครอว์ฟอร์ดในทฤษฎีของเขา perturbationไม่ สามารถวัดเป็นธรรมชาติที่สุดของความมั่นคงของสเปกตรัมของดินสอแน่นอนกล่าวถึงในส่วนที่ 5 มีการดำเนินงานในการขยายการจำแนกลักษณะนอกเหนือจากดินสอแน่นอน สมมติแบบดินสอ (H, A) สามารถหาอินเวอร์สด้วยมีส่วนผสมของค่าลักษณะเฉพาะจริง และซับซ้อน อาจเป็นไปได้ในการอธิบายค่าลักษณะเฉพาะจริง หรือบางพวกเขา เป็นค่าหาร Rayleigh minmax หรือ maxmin ผลลัพธ์บางอย่างแยบยลชนิดนี้นำเสนอใน [8]; ความยากคือที่ โดเมนผ่านแต่ละหาร Rayleighต้องถูกจำกัดในบางวิธี เพราะ ดินสอไม่จำกัด หารราคาย่อมเยาสามารถใช้บนค่าเป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นแม้ eigenvalue ด้วยส่วนจริงที่ใหญ่ที่สุดถูกจริงจริง มันไม่ได้จำนวนหาร Rayleigh แม้จะ มีข้อจำกัดในเรื่องเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง (+ หรือ -)ดัชนีของ eigenvalue ที่สามารถจะมีลักษณะเป็น minmax จริงไม่ใช่เรื่องง่ายเพื่อให้แน่ใจ เราสรุปได้ว่า ระดับของดินสอเอร์มีเชียนแน่นอนน่าจะ เป็นส่วนขยายกว้างที่สุดของการระดับชั้นของเมทริกซ์เอร์มีเชียนที่ยังคงคุณสมบัติคลาสสิก ดู [4,6,11] สำหรับการสนทนาที่ดีดินสอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันคือ (c) ที่ทำให้งง ในบริบทของเรา eigenvalue จริงเป็นประเภทเชิงลบหากของวิคเตอร์
x น่าพอใจ X * Ax -c 0. ตั้งแต่ A- 'ที่มีอยู่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่มี จำกัด และเพื่อไม่ให้วิคเตอร์ Z มี
zTAz = 0 เมื่อ (ก) และ (ข ) ถือ แต่ (c) ล้มเหลวแล้วเรามีดินสอที่สามารถ diagonalized แต่
ไม่ได้เป็นที่แน่นอน แต่ Gantmacher [5] ในการรักษาของเขาดินสอไม่เคยกล่าวถึงการจัดกลุ่มจริง
ค่าลักษณะเฉพาะในลักษณะนี้.
ในส่วนต่อมาเราจะอธิบายมุมมองของเราว่าสำหรับปัญหา eigenvalue-วิคเตอร์ (และมี
กรณีอื่น ๆ ของดินสอ) ลักษณะการเข้าสู่ระบบเป็นฟุ่มเฟือย อย่างไรก็ตามในบริบทซึ่งใน
การแปลงความสอดคล้องกันเป็นคนเดียวที่ได้รับอนุญาตแล้วลักษณะการเข้าสู่ระบบจะมี
สถานที่.
ให้เราหันถัดสวยงาม MinMax และ maxmin ลักษณะของค่าลักษณะเฉพาะของการเป็น
เมทริกซ์สมมาตร ลักษณะนี้สามารถนำไปปรับใช้ดินสอแน่นอน นี้ผลที่ชื่นชอบ
ดูเหมือนว่าจะเป็นเพราะสจ๊วต [LL] แต่จำนวน Crawford ใช้ในทฤษฎีความยุ่งเหยิงของเขา
ดูเหมือนจะไม่ได้เป็นตัวชี้วัดที่เป็นธรรมชาติมากที่สุดของความมั่นคงของสเปกตรัมของดินสอที่ชัดเจนได้.
นี้จะกล่าวถึงในบางมาตรา 5 การทำงานได้รับการดำเนินการเกี่ยวกับการขยายตัวละคร
เกินดินสอแน่นอน สมมติว่าดินสอสมมาตร (H, A) กับ invertible A มีส่วนผสมของ
ค่าลักษณะเฉพาะที่แท้จริงและมีความซับซ้อน มันอาจจะเป็นไปได้ที่จะอธิบายลักษณะเฉพาะจริงหรือบางส่วนของ
พวกเขาเป็น MinMax หรือค่า maxmin ของความฉลาดทางเรย์ลี? ผลการค้นหาความคิดสร้างสรรค์ประเภทนี้
จะถูกนำเสนอใน [8]; ความยากลำบากก็คือว่าโดเมนซึ่งความฉลาดทาง Rayleigh แตกต่างกัน
จะต้อง จำกัด ในบางวิธีเพราะสำหรับดินสอแน่นอนเชาวน์ Rayleigh สามารถใช้ใน
ค่าเป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นแม้ว่าค่าเฉพาะที่มีส่วนจริงที่ใหญ่ที่สุดเป็นจริงจริงมันไม่ได้เป็น
สูงสุดของความฉลาดทางเรย์ลี ถึงแม้จะมีข้อ จำกัด ในการเป็นพาหะของประเภทหนึ่ง (+ หรือ -) เดอะ
ดัชนีที่แท้จริงของค่าเฉพาะที่สามารถจะมีลักษณะเป็น MinMax หนึ่งไม่ง่ายที่จะตรวจสอบให้แน่ใจ เรา
สรุปได้ว่าระดับของดินสอเทียนที่ชัดเจนน่าจะเป็นส่วนขยายกว้างของ
ชั้นเรียนของเมทริกซ์เทียนที่ยังคงคุณสมบัติที่คลาสสิก ดู [4,6,11] การอภิปรายที่ดี
ของดินสอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันคือ ( C ) ที่งง ในบริบทของเราเป็นค่าจริงเป็นประเภทลบ ถ้าไอเกนเวกเตอร์X ตรง X * ขวาน - C 0 ตั้งแต่ - มีอยู่ทั้งหมดค่ามีจำกัดและไม่มีไอเกนเวกเตอร์ Z มีztaz = 0 เมื่อ ( ก ) และ ( ข ) ถือแต่ ( C ) ล้มเหลว เราก็มีดินสอที่สามารถ diagonalized แต่ไม่ใช่แน่นอน แต่ gantmacher [ 5 ] ในการรักษาของดินสอไม่เคยกล่าวถึงกลุ่มจริงค่าในลักษณะนี้ในส่วนที่ต่อมาเราอธิบายมุมมองของเราว่า ปัญหาค่าไอเกนเวกเตอร์ ( และมีกรณีอื่น ๆของดินสอ ) ป้ายลักษณะที่ฟุ่มเฟือย อย่างไรก็ตามในบริบทที่ความสอดคล้องระหว่างการแปลงเป็นคนเดียวที่ได้รับอนุญาตแล้วป้ายลักษณะก็มีสถานที่ให้เราเปิดไปหลงผิดที่สวยงามและราชประยุกต์คุณสมบัติของค่าของเมทริกซ์สมมาตร . ลักษณะนี้ สามารถดัดแปลงให้ดินสอแน่นอน ผลที่ชื่นชอบนี้น่าจะเป็นเพราะสจ๊วต [ จะ ] ได้ แต่ตัวเลขที่ใช้ในทฤษฎีความยุ่งเหยิงของเขาครอว์ฟอร์ดดูเหมือนจะเป็น วัด ธรรมชาติมากที่สุดของความมั่นคงของสเปกตรัมของดินสอที่แน่นอนนี้จะกล่าวถึงในส่วนที่ 5 . บางงานที่ได้ทำในการขยายคุณลักษณะนอกจากดินสอแน่นอน สมมติว่าดินสอสมมาตร ( H ) กับ invertible มีส่วนผสมของจริง ซับซ้อน และค่า . อาจเป็นไปได้ที่จะอธิบายถึงค่าจริง หรือบางพวกที่หลงผิดหรือราชประยุกต์คุณค่าของ Rayleigh หาร ? บางผลลัพธ์ที่แยบยลของประเภทนี้นำเสนอ [ 8 ] ; ความยากอยู่ที่โดเมนซึ่ง Rayleigh แบบแตกต่างกันไปจะถูก จำกัด ในบางวิธี เพราะเป็นดินสอที่ไม่แน่นอน , Rayleigh ) สามารถใช้ในค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้น แม้ว่าค่าส่วนที่ใหญ่ที่สุดกับจริงจริง ไม่ใช่สูงสุดของ Rayleigh เชาวน์ . แม้จะมีข้อ จำกัด ที่จะเป็นพาหะของประเภทหนึ่ง ( + หรือ - )ดัชนีของค่าจริงที่สามารถมีลักษณะเป็นหลงผิดได้ง่ายจึงไม่ต้องวินิจฉัย . เราสรุปได้ว่า ระดับของดินสอ hermitian แน่นอนดูเหมือนว่าจะได้รับการขยายกว้างของรุ่น hermitian เมทริกซ์ที่ยังคงรักษาคุณสมบัติของคลาสสิก ดู [ 4,6,11 ] สำหรับการสนทนาที่ดีของดินสอ