In order to clarify the distinction

In order to clarify the distinction between symmetric generalized eigenvalue problems and
quadratic forms we present two different applications of matrix pencils in the next section. After
that, we discuss equivalence, congruence, definite pencils and diagonalization. Householder
conventions will be followed closely: capital letters for matrices, lower case for column vectors,
Greek for scalars.
2. Contrasting applications
2.1. Viscous damping
The equations of motion governing small displacements q( t ) of a system, from an equilibrium
position may be written in the form
M&) + Q(t) + &!(t) =.M, (3)
where M, C and K are the n X n mass, damping and stiffness matrices and 4 is the acceleration
vector. For solid structures attached to the Earth M will be symmetric positive definite. There
are many possible forms for C but the only one of interest here is positive semi-definite C, often
called viscous damping. In most coordinate representations the stiffness matrix K will be
positive definite.
To understand the response q to a variety of external forces f it is useful to know the
dominant modes under free vibration. These mode shapes w, are solutions to the quadratic
eigenvalue problem
(XtM+hC+K)w,=O, i= l,..., 2n. (4)
In general X, will be complex but under certain conditions (completely overdamped systems) all
A, may be real.
An attractive way to rewrite (4) as a linear eigenproblem is
(5)
This equation is of the form (hA - H)z = 0 where A and H are symmetric but indefinite. A
single symmetric matrix A is indefinite if its quadratic form X’AX is not of one sign. Symmetry
has practical advantages.
The important point about (5) is that it is not the only legitimate linearized version of (4).
Another version is
(6)
Equation (6) makes one matrix positive definite but at the expense of symmetry in the other.
2.2. Conservative systems
In classical mechanics the representations of potential energy (Vq, q) = qfVq and kinetic
energy (TQ, 4) = 4’Tg are of fundamental importance. In particular the ratio (Vx, x)/( TX, x)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เพื่อชี้แจงความแตกต่างระหว่างปัญหา eigenvalue ทั่วไปแบบสมมาตร และรูปแบบกำลังสองเรานำเสนอโปรแกรมประยุกต์อื่นสองเมทริกซ์ดินสอในส่วนถัดไป หลังจากว่า เราหารือเทียบเท่า ลงตัว ดินสอชัดเจน และ diagonalization คฤหัสถ์จะตามแบบแผนอย่างใกล้ชิด: อักษรสำหรับเมทริกซ์ เล็กสำหรับเวกเตอร์คอลัมน์กรีกสำหรับ scalars2. ตัดการใช้งาน2.1. ความหนืดหน่วงสมการของการเคลื่อนไหวที่ควบคุมขนาดเล็กระวาง q (t) ของระบบ ความสมดุลตำแหน่งอาจจะเขียนในแบบฟอร์มM &) + Q(t) + & (t) =. M, (3)M, C และ K n X n มวล เมทริกซ์หน่วงและตึง และ 4 คือ ความเร่งเวกเตอร์ สำหรับโครงสร้างไม้กับ M โลกจะสมมาตรบวกแน่นอน มีมีหลายรูปแบบที่เป็นไปได้สำหรับ C แต่เพียงหนึ่งนี่ บวกแน่นอนกึ่ง C มักจะเรียกว่าความหนืดหน่วง ในพิกัดสุดแทน เมทริกซ์ความแข็ง K จะเป็นบวกแน่นอนQ การตอบสนองของแรงภายนอก f มีประโยชน์รู้เข้าใจการโหมดหลักภายใต้การสั่นสะเทือนฟรี รูปร่างโหมด w เหล่านี้เป็นวิธีแก้ไขปัญหากำลังสองปัญหา eigenvalue(XtM hC + K) w, = O ฉัน = l,..., 2n (4)X ทั่วไป จะซับซ้อน แต่ในบางสภาวะ (overdamped สมบูรณ์ระบบ) ทั้งหมดA อาจจะเป็นจริงได้วิธีน่าสนใจในการเขียนเป็น eigenproblem แบบเชิงเส้น (4)(5)สมการนี้เป็นแบบฟอร์ม (ฮา - H) z = 0 A และ H สมมาตร แต่ไม่จำกัด Aเมทริกซ์สมมาตรเดียว A ไม่จำกัดถ้ารูปแบบกำลังสอง X'AX เป็นหนึ่งเข้าสู่ระบบไม่ได้ สมมาตรมีประโยชน์จริงเกี่ยวกับ (5) จุดสำคัญคือ ว่า มันไม่ได้ (4) เส้นตรงแล้วรุ่นถูกกฎหมายเท่านั้นเป็นรุ่นอื่น(6)สมการ (6) ทำให้หนึ่งเมทริกซ์บวกแน่นอนแต่ค่าใช้จ่ายของความสมมาตรในอื่น ๆ2.2 การอนุรักษ์ระบบในกลศาสตร์คลาสสิกเป็นตัวแทนของพลังงานศักย์ (แรมโลว์ q) = qfVq และเคลื่อนไหวพลังงานแต่งตั้ง 4) = 4' Tg เป็นพื้นฐานที่สำคัญมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัตราส่วน (Vx, x) / (TX, x)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพื่อชี้แจงความแตกต่างระหว่างสมมาตรปัญหา eigenvalue ทั่วไปและ
รูปแบบสมการกำลังสองเรานำเสนอการใช้งานที่แตกต่างกันสองของดินสอเมทริกซ์ในหัวข้อถัดไป หลังจาก
นั้นเราจะหารือสมดุลสอดคล้องกันดินสอที่ชัดเจนและ diagonalization คฤหัสถ์
ประชุมจะตามมาอย่างใกล้ชิดตัวอักษรทุนสำหรับการฝึกอบรมกรณีที่ต่ำกว่าสำหรับเวกเตอร์คอลัมน์
กรีกสเกลาร.
2 การใช้งานที่ตัดกัน
2.1 หนืดหมาด ๆ
สมการการเคลื่อนที่ปกครองกระจัดขนาดเล็ก Q (t) ของระบบจากสมดุล
ตำแหน่งอาจจะเขียนในรูปแบบ
M &) + Q (t) + &! (t) = .M (3)
ที่เอ็ม C และ K เป็น n X n มวลหมาด ๆ และตึงเมทริกซ์และ 4 คือการเร่ง
เวกเตอร์ สำหรับโครงสร้างที่เป็นของแข็งที่แนบมากับโลก M จะสมมาตรบวกแน่นอน มี
รูปแบบที่เป็นไปได้มากสำหรับ C แต่เพียงคนเดียวที่สนใจที่นี่เป็นบวก C กึ่งแน่นอนมักจะ
เรียกว่าการทำให้หมาด ๆ หนืด ในการประสานงานมากที่สุดในการแสดงความมั่นคงเมทริกซ์ K จะเป็น
บวกแน่นอน.
เพื่อให้เข้าใจถึง Q เพื่อตอบสนองต่อความหลากหลายของกองกำลังภายนอก F จะเป็นประโยชน์ที่จะรู้ว่า
รูปแบบที่โดดเด่นภายใต้การสั่นสะเทือนฟรี โหมดเหล่านี้รูปร่าง W มีการแก้สมการกำลังสอง
eigenvalue ปัญหา
(XTM + HC + K) W = O, i = L, ... , 2n (4)
ใน X โดยทั่วไปจะมีความซับซ้อน แต่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ (สมบูรณ์ระบบ overdamped) ทั้งหมด
อาจจะจริง.
ทางที่น่าสนใจที่จะเขียน (4) เป็น eigenproblem เชิงเส้น
(5)
สมการนี้จะอยู่ในรูป (ha - H) Z = 0 ที่ A และ H สมมาตร แต่ไม่แน่นอน
เดียวสมมาตรเมทริกซ์ A คือไม่แน่นอนหากรูปแบบ X'AX กำลังสองของมันไม่ได้หนึ่งเข้าสู่ระบบ สมมาตร
มีข้อได้เปรียบในทางปฏิบัติ.
จุดที่สำคัญเกี่ยวกับ (5) คือว่ามันไม่ได้เป็นเพียงรุ่น linearized ถูกต้องตามกฎหมาย (4).
รุ่นก็คือ
(6)
สมการ (6) ทำให้หนึ่งเมทริกซ์บวกแน่นอน แต่ค่าใช้จ่ายของสมมาตรในที่ อื่น ๆ .
2.2 ระบบอนุรักษ์นิยม
ในกลศาสตร์คลาสสิกเป็นตัวแทนของพลังงานที่มีศักยภาพ (Vq, Q) = qfVq และพลังงานจลน์
พลังงาน (TQ 4) = 4'Tg เป็นพื้นฐานสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัตราส่วน (Vx, x) / (TX, x)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพื่อชี้แจงปัญหาและค่าความแตกต่างระหว่างแบบสมมาตรรูปแบบกำลังสอง เรานำเสนอสองการใช้งานที่แตกต่างกันของดินสอเมทริกซ์ในส่วนถัดไป หลังจากที่เรากล่าวถึงการเปรียบเทียบ ดินสอ และแน่นอน diagonalization . คฤหัสถ์การประชุมจะเป็นไปอย่างใกล้ชิด : ตัวอักษรกรณีที่ต่ำกว่าทุนสำหรับเมทริกซ์สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์กรีกสำหรับ scalars .2 . การตัดกัน2.1 . หน่วงหนืดสมการของการเคลื่อนไหวในขนาดเล็กกระจัด Q ( T ) ของระบบ จาก สมดุลตำแหน่งอาจจะเขียนในรูปแบบM & ) + Q ( t ) + & ! ( t ) = m ( 3 )ที่ M C และ K เป็น N x N มวลหน่วงและเมทริกซ์ stiffness และ 4 คือ ความเร่งเวกเตอร์ สำหรับโครงสร้างแข็งที่แนบมากับโลก M จะสมมาตรบวกแน่นอน มีมากที่สุดรูปแบบ C แต่เพียงหนึ่งที่น่าสนใจคือ บวกกึ่งแน่นอน C บ่อยๆเรียกว่าหนืด หมาดๆ ในส่วนประสานงานตัวแทนค่า K จะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเพื่อให้เข้าใจการตอบสนอง Q เพื่อความหลากหลายของแรงภายนอก F จะเป็นประโยชน์ที่จะรู้ว่าเด่นโหมดภายใต้การสั่นสะเทือนฟรี เหล่านี้รูปร่างโหมด W เป็นโซลูชั่นการกำลังสองปัญหาค่า( xtm + HC + k ) W = O = L , . . . , 2 . ( 1 )โดยทั่วไป X จะซับซ้อน แต่ภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง ( สมบูรณ์สำหรับระบบ ) ทั้งหมดมี อาจจะจริงเป็นวิธีที่น่าสนใจที่จะเขียน ( 4 ) เป็น eigenproblem เชิงเส้นคือ( 5 )สมการนี้อยู่ในรูป ( ฮา - H ) Z = 0 ซึ่งและ H เป็นสมมาตร แต่ไม่แน่นอน เป็นเมตริกซ์สมมาตรเดียวจะไม่แน่นอน ถ้า x"ax รูปแบบ Quadratic ไม่ใช่หนึ่งเครื่องหมาย สมมาตรมีข้อดีที่เป็นประโยชน์มากประเด็นสำคัญเกี่ยวกับ ( 5 ) คือว่ามันไม่ได้เป็นเพียงช่วงที่ถูกต้องตามกฎหมายของรุ่น ( 4 )รุ่นอื่นคือ( 6 )สมการที่ ( 6 ) ทำให้เมทริกซ์บวกแน่นอน แต่ที่ค่าใช้จ่ายของสมมาตรในอื่น ๆ2.2 . ระบบอนุรักษ์ในกลศาสตร์คลาสสิกแทนพลังงานศักย์ ( vq , q ) = qfvq และการเคลื่อนไหวพลังงาน ( พิมพ์ดีด , 4 ) = 4"tg มีความสำคัญพื้นฐาน โดยเฉพาะอัตราส่วน ( VX , x ) / ( TX , x )