Let f(x, y) be the loss associated

Let f(x, y) be the loss associated with the decision vector x, to be chosen from a certain
subset X of R
n
, and the random vector y in R
n
. For convenience, the underling probability
of y will be assumed to have a density function p(.).
The probability of f(x, y) not exceeding a threshold α is then given by
Ψ(x, α) = ∫
f(x,y)≤α
p(y)dy. (2.1)
As a function of α for fixed x, Ψ(x, α) is the cumulative distribution function for the loss
associated with x.
For a confidence level β and a fixed x ∈ X the value-at-risk, denoted by VaRβ(x) is
defined as
VaRβ(x) = min{α ∈ R : Ψ(x, α) ≥ β}. (2.2)
The conditional value-at-risk, denoted by CVaRβ(x), is defined as the expected value of the
loss that exceeds VaRβ(x), that is,
CVaRβ(x) = (1 − β)
−1
∫
f(x,y)≥VaRβ(x)
f(x, y)p(y)dy. (2.3)
The CVaR is a coherent risk measure [3]. We note that the problem involved CVaRβ(x)
is difficult to proceed due to its convoluted and implicit version. Rockafellar and Uryasev
432 Z. DAI, D. LI AND F. WEN
made a remarkable contribution in [25] by introducing a simpler auxiliary function Fβ on
X × R, defined by
Fβ(x, α) = α + (1 − β)
−1
∫
y∈Rm
[f(x, y) − α]
+p(y)dy, (2.4)
where [t]
+ = max {t, 0}, and proved the following three important properties:
• Property 1. Fβ(x, α) is a convex and continuously differentiable function in α;
• Property 2. VaRβ(x) is a minimizer of Fβ(x, α);
• Property 3. The minimum value of Fβ(x, α) is CVaRβ(x).
Property 3 implies the following elegant conclusion
ϕβ(x) ≡ CVaRβ(x) = min
α∈R
Fβ(x, α). (2.5)
In particular, we can obtain a shortcut to minimizing CVaRβ(x) as
min
x∈X
ϕβ(x) = min
(x,α)∈X×R
Fβ(x, α). (2.6)
Consequently, if we denote by (x
∗
, α∗
) the solution to this optimization problem, then
Fβ(x
∗
, α∗
) is the optimal CVaRβ(x).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ f (x, y) เป็นการสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ตัดสินใจ x ที่จะเลือกจากการชุดย่อย X Rnและ y เวกเตอร์สุ่มใน Rn. เพื่อความสะดวก ความน่าเป็นสมุนของ y จะถูกสมมติให้มีการ p(.) ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าเป็นของ f (x, y) ไม่เกินαเกณฑ์จะได้รับแล้วด้วยΨ (x α) =∫≤α f (x, y)dy. p (y) (2.1)เป็นฟังก์ชันของαสำหรับคง x Ψ (x α) เป็นการสูญเสียฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับ xสำหรับβระดับความเชื่อมั่นและ x ∈ ถาวร X ค่าที่เสี่ยง เขียนแทน ด้วย VaRβ(x) เป็นกำหนดเป็นVaRβ(x) =นาที {α∈ R: Ψ (x α) ≥β} (2.2)ระบุเงื่อนไขค่าที่ความเสี่ยง โดย CVaRβ(x) ถูกกำหนดเป็นค่าที่คาดไว้ของการขาดทุนที่เกิน VaRβ(x) คือCVaRβ(x) = (1 −β)− 1∫f(x,y)≥VaRβ(x)dy. p (y) f (x, y) (2.3)CVaR เป็นการวัดความเสี่ยงสอดคล้อง [3] เราทราบว่า ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ CVaRβ(x)จะดำเนินการเนื่องจากเป็นรุ่น convoluted และนัยได้ยาก Rockafellar และ Uryasevได Z. 432, D. LI และ F. WENทำผลงานโดดเด่นใน [25] โดยการแนะนำฟังก์ชันเสริมง่าย Fβ บนX × R กำหนดโดยFβ (x α) =α + (1 −β)− 1∫y∈Rm[α− f (x, y)]+ dy p (y), (2.4)ที่ [t]+ =สูงสุด {t, 0 }, และพิสูจน์คุณสมบัติสำคัญสามต่อไปนี้:•คุณสมบัติ 1 Fβ (x α) คือ ฟังก์ชัน differentiable อย่างต่อเนื่อง และนูนในα•พัก 2 VaRβ(x) เป็น minimizer ของ Fβ (x α);•พัก 3 ค่าต่ำสุดของ Fβ (x α) เป็น CVaRβ(x)คุณสมบัติ 3 หมายถึงข้อสรุปสง่างามต่อไปนี้Φβ(x) ≡ CVaRβ(x) =นาทีΑ∈RFβ (x α) (2.5)โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราได้รับทางลัดเพื่อลด CVaRβ(x) เป็นนาทีx∈XΦβ(x) =นาที(x α) ∈X × RFβ (x α) (2.6)ดังนั้น ถ้าเราแสดง โดย (x∗Α∗) การแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ แล้วFβ (x∗Α∗) เป็น CVaRβ(x) ที่ดีที่สุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ f (x, y) การสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจของเวกเตอร์ x จะได้รับการแต่งตั้งจากบาง
กลุ่มย่อยของ X R
n
และ Y เวกเตอร์สุ่มใน R n เพื่อความสะดวกสบายความน่าจะเป็นสมุนของ Y จะถือว่ามีฟังก์ชั่นความหนาแน่น P (.). น่าจะเป็นของ f (x, y) ไม่เกินαเกณฑ์จะได้รับแล้วโดยΨ (x, α) = ∫ f (x , y) ≤α P (Y) DY (2.1) เป็นหน้าที่ของαสำหรับ X ถาวร, Ψ (x, α) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับ x. สำหรับβระดับความเชื่อมั่นและคง x ∈ X ความเสี่ยง Value-at-A, แสดงโดย VaRβ (x) จะถูกกำหนดให้เป็นVaRβ (x) = นาที {α∈ R: Ψ (x, α) ≥β} (2.2) ค่าที่มีความเสี่ยงตามเงื่อนไขแสดงโดยCVaRβ (x) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่คาดหวังของการสูญเสียที่เกินVaRβ (x), ที่อยู่, CVaRβ (x) = (1 - β) -1 ∫ f (x, y) ≥VaRβ (x) f (x, y) P (Y) DY (2.3) CVaR เป็นตัวชี้วัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน [3] เราทราบว่าปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการCVaRβ (x) เป็นเรื่องยากที่จะดำเนินการต่อเนื่องจากรุ่นที่ซับซ้อนและโดยนัยของมัน Rockafellar และ Uryasev 432 ซี DAI, D. และหลี่เอฟ WEN ทำผลงานโดดเด่นใน [25] โดยการแนะนำฟังก์ชั่นเสริมง่ายFβในX × R, กำหนดโดยFβ (x, α) = α + (1 - β ) -1 ∫ y∈Rm [f (x, y) - α] + P (Y) DY (2.4) ที่ [t] = + Max {t, 0} และได้รับการพิสูจน์ต่อไปนี้สามคุณสมบัติที่สำคัญ: •ทรัพย์สิน 1. Fβ (x, α) เป็นนูนและฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องอนุพันธ์ในα; •ทรัพย์สิน 2. VaRβ (x) เป็น Minimizer ของFβ A (x, α); •ทรัพย์สิน 3. ค่าต่ำสุดของFβ (x, α ) เป็นCVaRβ (x). โรงแรม 3 หมายถึงต่อไปนี้ข้อสรุปที่สง่างามφβ (x) ≡CVaRβ (x) = นาทีα∈R Fβ (x, α) (2.5) โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เราจะได้รับทางลัดไปยังการลดCVaRβ (x) เป็นนาทีx∈X φβ (x) = นาที(x, α) ∈X× R Fβ (x, α) (2.6) ดังนั้นถ้าเราใช้แสดงโดย (x * , * α ) วิธีการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพนี้แล้วFβ (x * , * α ) เป็นCVaRβที่ดีที่สุด (x)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ f ( x , y ) จะสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจของเวกเตอร์ x ที่ถูกเลือกจากหนึ่งเซตย่อยของ R Xnและ Y R เวกเตอร์สุ่มn. เพื่อความสะดวก ลูกน้อง ความน่าจะเป็นY จะถูกสันนิษฐานว่ามีฟังก์ชันความหนาแน่นของ p ( . )ความน่าจะเป็นของ f ( x , y ) ไม่เกินเกณฑ์αจะได้รับแล้วโดยΨ ( x , α ) = ∫f ( x , y ) ≤αP ( Y ) Dy ( 2.1 )เป็นฟังก์ชันของαคงที่ x , Ψ ( x , α ) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับ Xสำหรับความเชื่อมั่นระดับบีตาและคงที่ x ∈ x ค่าความเสี่ยง แทน โดยมี บีตา ( x ) คือหมายถึงvar บีตา ( X ) = มิน { α∈ R : Ψ ( x , α ) ≥บีตา } ( 2.2 )ค่าเงื่อนไขความเสี่ยง แทน โดย cvar บีตา ( x ) หมายถึงค่าคาดหมายของขาดทุนเกิน var บีตา ( X ) นั่นคือcvar บีตา ( ( X ) = ( 1 −บีตา )− 1∫f ( x , y ) ≥ var บีตา ( X )f ( x , y ) P ( Y ) Dy ( 2.3 )การ cvar คือความเสี่ยงวัด [ 3 ] เราทราบว่าปัญหาที่เกี่ยวข้อง cvar บีตา ( X )เป็นเรื่องยากที่จะดำเนินการเนื่องจากเป็น convoluted และรุ่นนัย . uryasev rockafellar และคุณซี ได ดี และ เอฟ เหอๆทำผลงานโดดเด่นใน [ 25 ] โดยการแนะนำง่ายเสริมฟังก์ชัน f ในบีตาx × R , กําหนดโดยf ( x , αบีตาα + ( − 1 ) = บีตา )− 1∫∈ RM Y[ f ( x , y ) −α ]+ P ( Y ) ดี้ ( 2.4 )ที่ไหน [ T ]+ = { 0 } T Max , และ พิสูจน์ สามคุณสมบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้ :- คุณสมบัติ 1 . บีตา F ( x , α ) เป็นฟังก์ชัน Differentiable นูนและอย่างต่อเนื่องในα ;คุณสมบัติ - 2 var บีตา ( x ) เป็นผู้ทำให้มีค่าน้อยลงของ f ( x , αบีตา )คุณสมบัติ - 3 ค่าต่ำสุดของ f ( x , αบีตา ) cvar บีตา ( X )คุณสมบัติ 3 หมายถึงข้อสรุปที่สง่างามดังต่อไปนี้ϕβ ( X ) ≡ cvar บีตา ( X ) = มินα∈ Rบีตา f ( x , α ) ( 2.5 )โดยเฉพาะ เราสามารถได้รับเส้นทางลัดเพื่อลด cvar บีตา ( x ) เป็นมิน∈ X Xϕβ ( ( X ) = มิน( x , α ) ∈ x r ×บีตา f ( x , α ) ( 2.6 )ดังนั้น ถ้าเราแสดงโดย ( x∗α∗ ,) วิธีการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพนี้F ( x บีตา∗α∗ ,) เป็น cvar บีตาที่เหมาะสม ( X )