1. IntroductionSeveral mathematicia

1. Introduction
Several mathematicians have tried to solve general polynomial equations of
degree higher than four with the techniques similar to that applied to solve
cubics and quartics. However they didn't succeed. In 1770 Lagrange showed
that these equations couldn't be solved with such methods. Later Paolo
Ruffini (1799), Abel (1826), and Galois (1832), proved more rigorously
that it is impossible to solve the general polynomial equations of degree ¯ve
and above in radicals. With certain conditions imposed on the coe±cients(or equivalently on the roots), these equations become solvable in radicals, and are
aptly named solvable equations ([1], [2]).
In this paper we present a method to solve a septic equation which has the
property that the sum of its four roots is equal to the sum of its remaining three
roots. In the method proposed here the septic equation is ¯rst converted to an
octic equation by adding a root; the octic is then decomposed into two quartic
polynomials in a novel fashion. The quartic polynomial factors are equated to
zero and solved to obtain the seven roots of the given septic along with the
added root. In the next section we describe the decomposition method, and
in the further sections we discuss the behavior of roots and the conditions for
the coe±cients. In the last section a numerical example is solved using the
proposed method.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำMathematicians ต่าง ๆ ได้พยายามแก้สมการพหุนามทั่วไปของระดับสูงกว่าสี่กับเทคนิคที่ใช้ในการแก้cubics และ quartics อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้ประสบความสำเร็จ ใน 1770 พบโรงแรมลากรองจ์ว่า สมการเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้ ด้วยวิธีดังกล่าว เปาโลในภายหลังRuffini (1799), Abel (1826), และ Galois (1832), พิสูจน์ทดสอบมากขึ้นว่า จะไปแก้สมการพหุนามทั่วไปของ ¯ve องศาและข้างในอนุมูล เงื่อนไขบังคับ coe±cients (หรือ equivalently ราก), สมการเหล่านี้จะแก้ไขในอนุมูล และมีตั้งชื่อตามสมการแก้ไข ([1], [2])ในเอกสารนี้ เรานำเสนอวิธีการแก้สมการบำบัดน้ำเสียซึ่งมีการลักษณะที่ผลรวมของ 4 ของรากจะเท่ากับผลรวมของของเหลือสามราก ในวิธีเสนอสมการที่บำบัดน้ำเสียที่นี่ ¯rst แปลงเป็นการสมการของ octic โดยการเพิ่มราก ที่ octic มีแล้วแยกเป็นสอง quarticpolynomials ในนวนิยาย ปัจจัยพหุนาม quartic ที่ equated กับศูนย์ และแก้ไขเพื่อให้ได้รากเจ็ดของที่รับบำบัดน้ำเสียด้วยการรากเพิ่มขึ้น ในส่วนถัดไป เราได้อธิบายวิธีการแยกส่วนประกอบ และในส่วนต่อไป เราได้หารือการทำงานของรากและเงื่อนไขสำหรับการcoe±cients ในส่วนสุดท้าย เป็นตัวอย่างที่เป็นตัวเลขจะแก้ไขโดยใช้การนำเสนอวิธีการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำนักคณิตศาสตร์หลายคนได้พยายามที่จะแก้สมการพหุนามทั่วไปของระดับที่สูงขึ้นกว่าสี่กับเทคนิคที่คล้ายกับที่ใช้ในการแก้cubics และ quartics แต่พวกเขาไม่ประสบความสำเร็จ ใน 1,770 Lagrange แสดงให้เห็นว่าสมการเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการดังกล่าว ต่อมาเปาโลRuffini (1799), อาเบล (1826) และลัวส์ (1832) ได้รับการพิสูจน์อย่างจริงจังมากขึ้นว่ามันเป็นไปไม่ได้ในการแก้สมการพหุนามทั่วไปการศึกษาระดับปริญญาVE และเหนือในอนุมูล เงื่อนไขที่กำหนดไว้ใน coe ± cients (หรือเท่ากันบนราก) สมการเหล่านี้กลายเป็นที่แก้ปัญหาได้ในอนุมูลและเหมาะเจาะกับชื่อสมการแก้ปัญหา([1], [2]). ในบทความนี้เราจะนำเสนอวิธีการที่จะแก้ปัญหา สมการบำบัดน้ำเสียที่มีทรัพย์สินที่ผลรวมของสี่รากของมันจะมีค่าเท่ากับผลรวมของที่เหลืออีกสามของราก ในวิธีการที่นำเสนอที่นี่สมการบำบัดน้ำเสียจะถูกแปลงแรกไปยังสม octic โดยการเพิ่มราก; octic จะถูกย่อยสลายแล้วออกเป็นสอง quartic หลายชื่อในรูปแบบนวนิยาย ปัจจัยพหุนาม quartic จะเท่ากับศูนย์และแก้ไขเพื่อให้ได้เจ็ดรากของการติดเชื้อที่ได้รับพร้อมกับรากเพิ่ม ในส่วนถัดไปเราจะอธิบายวิธีการสลายตัวและในส่วนต่อไปเราจะหารือการทำงานของรากและเงื่อนไขสำหรับcoe ± cients ในส่วนสุดท้ายเป็นตัวอย่างที่ตัวเลขจะแก้ไขโดยใช้วิธีการที่นำเสนอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
หลายนักคณิตศาสตร์พยายามแก้สมการโพลิโนเมียลทั่วไปของ
ระดับสูงกว่าสี่ ด้วยเทคนิคคล้ายกับที่ประยุกต์เพื่อแก้ปัญหา
ลูกบาศก์ และ quartics . แต่พวกเขาทำไม่สำเร็จ ในปี 1770 Lagrange พบ
ว่าสมการเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการแบบนี้ ต่อมาเปาโล
ruffini ( 1799 ) , เบล ( 1826 ) และกาลัว ( 1832 ) พิสูจน์เพิ่มเติม rigorously
มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการทั่วไปของพหุนามองศา¯ได้
ขึ้นไปอนุมูลอิสระ กับเงื่อนไขบางอย่างที่กำหนดใน โค± cients ( หรือก้องในราก ) , สมการเหล่านี้กลายเป็นที่แก้ไขได้ในอิสระและ
ชื่อ aptly สมการแก้ปัญหาได้ ( [ 1 ] , [ 2 ] )
ในกระดาษนี้เรานำเสนอวิธีการแก้สมการ septic ซึ่งมี
คุณสมบัติที่ผลรวมของสี่ราก เท่ากับผลรวมของที่เหลือ 3
ราก ในวิธีการที่เสนอนี้เป็นสมการความ¯ RST แปลงเป็นสมการ octic
โดยการเพิ่มราก ; octic ถูกย่อยสลายออกเป็นสอง quartic
พหุนามในแฟชั่นใหม่ การ quartic พหุนามปัจจัยเป็น equated กับ
ศูนย์และแก้ไขเพื่อให้ได้เจ็ดของรากได้รับการติดเชื้อพร้อมกับ
เพิ่มราก ในตอนต่อไปเราจะอธิบายการย่อยสลาย วิธี และในส่วนเพิ่มเติม
เรากล่าวถึงพฤติกรรมของรากและเงื่อนไขสำหรับ
โค± cients . ในส่วนสุดท้าย ตัวอย่างเชิงตัวเลขแก้โดยใช้
เสนอวิธี