Geometry aids in our perception of

Geometry aids in our perception of the world. We can use it to deconstruct our view of objects into lines and circles, planes and spheres. For example, some properties of triangles that we know are that it consists of three straight lines and three angles that sum to π. Can we imagine other geometries that do not give these familiar results? The Euclidean geometry that we are familiar with depends on the hypothesis that, given a line and a point not on that line, there exists one and only one line through the point parallel to the line. This is one way of stating Euclid’s parallel postulate. Since it is a postulate and not a theorem, it is assumed to be true without proof. If we alter that postulate, new geometries emerge.
This paper explores one model of that Non-Euclidean Geometry-the Poincar ́e model of Hyperbolic Geometry. We will explore the Poincar ́e model, based on a system of orthogonal circles (circles which interesect each other at right angles), and learn about some of its basic aspects. Then we will study the characteristics of triangles in this geometry through discovering relationships between parts of triangles and deriving hyperbolic forms of the Pythagorean Theorem and the Laws of Sines and Cosines. While doing so we will also come across the concepts of Inversion and Radical Axes. First, however, we will have a brief review of the history leading up to the development of the Poincar ́e model.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรขาคณิตช่วยในการรับรู้โลกของเรา เราสามารถใช้การ deconstruct มุมมองของวัตถุเป็นเส้น และวงกลม เครื่องบิน และทรงกลม เช่น บางคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เรารู้ได้ว่า ประกอบด้วยสามเส้นและสามมุมผลรวมนั้นไปπ เราสามารถจินตนาการรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ที่ให้ผลลัพธ์เหล่านี้คุ้นเคย เรขาคณิตแบบยุคลิดที่เราคุ้นเคยกับขึ้นอยู่กับสมมติฐานว่า รับสายและจุดไม่อยู่ในบรรทัดนั้น มีอยู่บรรทัดหนึ่ง และเพียงหนึ่งผ่านจุดขนานกับบรรทัด นี่เป็นวิธีหนึ่งของการระบุของ Euclid postulate ขนาน เนื่องจากเป็นการ postulate และทฤษฎีบทไม่ได้ จะถือว่าเป็นความจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ถ้าเราเปลี่ยนที่ postulate รูปทรงเรขาคณิตใหม่โผล่ออกมากระดาษนี้สำรวจรูปแบบหนึ่งของรุ่น ́e Poincar ในเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ใช่ของไฮเพอร์โบลิเรขาคณิต เราจะสำรวจแบบ ́e Poincar ตามระบบแบบวงกลม (วง interesect ซึ่งกันและกันที่มุมขวา), และเกี่ยวกับลักษณะพื้นฐานของ แล้ว เราจะศึกษาลักษณะของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตนี้ผ่านการค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมและรูปแบบไฮเพอร์โบลิชซีของทฤษฎี และกฎหมายของไซน์ และโคไซน์ ในขณะที่ทำเพื่อเราจะมาในแนวคิดของกลับและแกนที่รุนแรง ครั้งแรก อย่างไรก็ตาม เราจะได้ทบทวนประวัติศาสตร์ที่นำไปสู่การพัฒนาของรูปแบบ ́e Poincar

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โรคเอดส์เรขาคณิตในการรับรู้ของเราในโลก เราสามารถใช้มันเพื่อแยกแยะมุมมองของวัตถุของเราเป็นเส้นและวงกลมเครื่องบินและทรงกลม ยกตัวอย่างเช่นคุณสมบัติบางส่วนของรูปสามเหลี่ยมที่เรารู้อยู่ว่ามันประกอบด้วยสามเส้นตรงและสามมุมได้ว่าจำนวนเงินที่จะเธ เราสามารถจินตนาการรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ที่ไม่ให้ผลที่คุ้นเคยเหล่านี้หรือไม่ รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดว่าเรามีความคุ้นเคยกับขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ว่าได้รับสายและจุดไม่ได้อยู่ในสายที่มีอยู่เพียงหนึ่งเดียวและสายผ่านขนานจุดที่เส้น นี้เป็นวิธีหนึ่งในการระบุขนานสมมุติของ Euclid เพราะมันเป็นหลักฐานและไม่ทฤษฎีบทมันจะสันนิษฐานที่จะเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ถ้าเราเปลี่ยนสมมุติว่ารูปทรงใหม่ที่ปรากฏ
กระดาษนี้จะสำรวจรูปแบบหนึ่งที่ไม่เรขาคณิต Euclidean ที่รุ่น E Poincar ของเรขาคณิตซึ่งเกินความจริง เราจะสำรวจรุ่น E Poincar ขึ้นอยู่กับระบบของวงการมุมฉาก (วงกลมซึ่ง interesect แต่ละอื่น ๆ ที่มุมขวา) และเรียนรู้เกี่ยวกับบางส่วนของด้านพื้นฐานของมัน จากนั้นเราจะศึกษาลักษณะของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตนี้ผ่านการค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างส่วนของรูปสามเหลี่ยมและอันเกิดรูปแบบการผ่อนชำระของพีทาโกรัสทฤษฎีบทและกฎหมายของ Sines และความผาสุก ในขณะที่การทำเช่นนั้นเราก็จะเจอแนวคิดของผกผันและหัวรุนแรงแกน อย่างไรก็ตามอันดับแรกเราจะมีการทบทวนประวัติศาสตร์ที่นำไปสู่การพัฒนาของรุ่น E Poincar

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เรขาคณิตช่วยในการรับรู้ของเรา ของโลก เราสามารถใช้มันเพื่อ deconstruct มุมมองของเราของวัตถุลงในเส้นและวงกลม บินและทรงกลม ตัวอย่างเช่นบางคุณสมบัติของสามเหลี่ยม ที่เรารู้คือ มันประกอบด้วยสามตรงเส้นและมุม 3 มุม ผลรวมการπ . เราสามารถจินตนาการรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆที่ไม่ให้ผลลัพธ์เหล่านี้คุ้นเคย ? การใช้รูปทรงเรขาคณิตที่เราคุ้นเคย ขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ได้รับสายและจุดบนเส้นนั้น มีอยู่หนึ่งและเพียงหนึ่งเส้นผ่านจุดที่ขนานกับเส้น นี้เป็นวิธีหนึ่งของการระบุของยูคลิดขนานสมมุติฐาน เนื่องจากเป็นสัจพจน์และทฤษฎีบท คือสมมติว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ถ้าเราเปลี่ยนที่ทึกทักเอาว่าโครงสร้างใหม่ , โผล่ออกมาบทความนี้เป็นการศึกษารูปแบบหนึ่งที่ไม่ใช้เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก Poincar ́ E แบบเรขาคณิต เราจะสำรวจ Poincar ́ E รุ่น ขึ้นอยู่กับระบบของวงการ ( วงการ ) ซึ่ง interesect แต่ละอื่น ๆ ที่มุมขวา ) และเรียนรู้เกี่ยวกับบางส่วนของลักษณะพื้นฐานของ เราก็จะศึกษาลักษณะของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตนี้ผ่านการค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างชิ้นส่วนของรูปสามเหลี่ยม และใช้ค่ารูปแบบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและกฎหมายด้าน และ cosines . ในขณะที่การทำเช่นนั้นเราก็จะเจอแนวคิดของการผกผันและแกนหัวรุนแรง แต่ก่อนอื่น เราต้องทบทวนประวัติศาสตร์ที่นำไปสู่การพัฒนาของปวงกาเร́ E รุ่น