to plasma physics, is the book by S

to plasma physics, is the book by Sagdeev et al. [21]. Also, in problems related to engineering and control, the study of
the pendulum is of much importance. For a textbook in which the basic characteristics of chaos are introduced with the
help of the simple pendulum (see [22]).
The present work attempts to give a unified view of different known aspects of the pendulum when suffering distinct
external perturbations. In particular we are interested in considering the general case of the plane simple pendulum,
whose pivot is subjected to having different motions on the plane. For the case of the spherical pendulum, that is not
included in this work (see [23–25]). In principle, our main interest lies in the possibility to integrating, in one single
model, several known particular situations, such as the familiar forced pendulum, the harmonically forced pendulum
[26–28], the vertically forced pendulum and combinations of them, such as the rotating pendulum. Moreover, we introduce
in the expression of the generalized pendulum nonlinear damping terms, which in spite of its interest for many
practical purposes, they are seldom used. All these models have been studied separately by many authors, but a general
scheme as the one we are offering here is clearly lacking. Besides the forced pendulum, perhaps the case which has
deserved more attention in the literature is the pendulum with a vertically oscillating pivot. This system was apparently
first studied by Stephenson in 1908 [29] and somewhat later, in the twenties, by van der Pol and Strutt [30]. A good
treatment of the inverted pendulum may be found in [31,32]. One outstanding interest in it relies upon its stability
properties (see for instance [33,34] and the many references therein).
Once this generalized expression of the equations of motion of the simple pendulum, which we call a generalized
perturbed pendulum, is obtained, different possible avenues of further study may be open. The strategy that we have
followed here is based on the approach given by the Melnikov method, which typically applies to continuous dynamical
systems. This method gives some conditions for the chaotic motion of these dynamical systems, which basically are
related to the topological behavior of the invariant manifolds associated to hyperbolic saddle points in phase space. As
a natural consequence of the use of this method to the generalized perturbed pendulum, some formulae related to the
chaotic behavior (homoclinic chaos) of the pendulum are given, which comprise most particular cases that one may
have taken into consideration.
2. Equations of motion of the generalized perturbed pendulum
Here we attempt to give a general formulation of the simple pendulum, where different forcing and damping terms
are included in a single expression, with the aim of offering an overview of various situations that a pendulum may have
and portrait all of them in a common framework. From this perspective, several familiar cases including external
perturbations appear in a natural way, as particular cases of this generalized equation.
A simple mathematical pendulum is modelled by a bob of mass m, hanging at the end of a wire of length l and fixed
to a supporting point O (see Fig. 1), swinging to and fro in a vertical plane.
The equations of motion are straightforward to obtain using Lagrangian or Newtonian methods. For its simplicity,
we show here the pendulum equations using Newtonian methods. In this framework it is much more intuitive to visualize
the forces acting on the system, providing a more clearer physical picture of the dynamics of the pendulum, even
though other general formulations are possible. In this context Fig. 1 shows the force diagram of the simple pendulum,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พลาสมา(ฟิสิกส์), เป็นหนังสือโดย Sagdeev et al. [21] ยัง ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรม และควบคุม การศึกษาลูกตุ้มมีความสำคัญมาก สำหรับหนังสือที่แนะนำซึ่งลักษณะพื้นฐานของความวุ่นวายกับการความช่วยเหลือของลูกตุ้มอย่างง่าย (ดู [22])งานปัจจุบันพยายามให้มุมมองด้านต่าง ๆ รู้จักของลูกตุ้มที่รวมเมื่อทุกข์หมดperturbations ภายนอก เรามีความสนใจในการพิจารณากรณีทั่วไปของลูกตุ้มอย่างง่ายเครื่องบินสาระสำคัญที่ต้องมีการเคลื่อนไหวต่าง ๆ บนเครื่องบิน สำหรับกรณีของลูกตุ้มทรงกลม ไม่รวมอยู่ในงานนี้ (ดู [23-25]) หลัก ดอกเบี้ยหลักของเราอยู่ในความสามารถในการรวม ในหนึ่งเดียวรุ่น รู้จักเฉพาะสถานการณ์ต่าง ๆ เช่นลูกตุ้มบังคับคุ้นเคย ลูกตุ้มบังคับ harmonically[26-28], แนวบังคับลูกตุ้มและชุดของพวกเขา เช่นลูกตุ้มหมุน นอกจากนี้ เราแนะนำในนิพจน์ของลูกตุ้มเมจแบบทั่วไปที่ไม่เชิงเส้นตสากรรมการเงื่อนไข ทั้ง ๆ ที่ในหนึ่งในหลายของทางปฏิบัติเอนกประสงค์ พวกเขาจะค่อยใช้ รุ่นนี้มีการศึกษาแยกกัน โดยผู้เขียนหลาย แต่ทั่วไปชัดเจนมีการขาดแผนเป็นหนึ่งที่เราจะนำเสนอที่นี่ นอกจากบังคับลูกตุ้ม อาจเป็นกรณีที่มีสมควรได้รับความสนใจเพิ่มมากขึ้นในวรรณคดีเป็นลูกตุ้ม มีสาระสำคัญตามแนวตั้งสั่นได้ด้วย ระบบนี้เห็นได้ชัดก่อน ศึกษา โดยสตีเฟนสัน ในค.ศ. 1908 [29] และค่อนข้าง หลัง ยี่ โดย Pol van der Strutt [30] ดีรักษาของเพนดูลัมอาจพบใน [31,32] หนึ่งอาศัยสนใจโดดเด่นในเรื่องความมั่นคงของคุณสมบัติ (ดูตัวอย่าง [33,34] และการอ้างอิงใน therein)เมื่อนี้ตั้งค่าทั่วไปของสมการของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งเราเรียกการเมจแบบทั่วไปลูกตุ้ม perturbed ได้รับ avenues ต่าง ๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมอาจเปิด กลยุทธ์ที่เรามีตามนี่ขึ้นอยู่กับวิธีที่กำหนด โดยวิธี Melnikov ซึ่งโดยปกติใช้กับต่อเนื่อง dynamicalระบบ วิธีนี้ทำให้บางเงื่อนไขสำหรับการเคลื่อนไหววุ่นวายของระบบ dynamical เหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรม topological ของ manifolds บล็อกที่เกี่ยวข้องกับไฮเพอร์โบลิอานจุดในพื้นที่ระยะ เป็นส่งผลต่อธรรมชาติของการใช้วิธีนี้กับลูกตุ้ม perturbed เมจแบบทั่วไป บางสูตรที่เกี่ยวข้องกับการพฤติกรรมวุ่นวาย (homoclinic chaos) ของลูกตุ้มที่ได้ ซึ่งประกอบด้วยกรณีใดมากที่สุดที่หนึ่งอาจมีพิจารณา2. สมการของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม perturbed เมจแบบทั่วไปที่นี่เราพยายามให้กำหนดทั่วไปของลูกตุ้มอย่างง่าย แตกต่างการบังคับ และเงื่อนไขตสากรรมการอยู่ในนิพจน์เดียว มีจุดประสงค์เพื่อเสนอภาพรวมของสถานการณ์ต่าง ๆ ที่อาจเป็นลูกตุ้มและภาพทั้งหมดในกรอบการทำงานร่วมกัน จากมุมมองนี้ หลายกรณีที่คุ้นเคยรวมถึงภายนอกperturbations ปรากฏในวิธีธรรมชาติ เป็นกรณีเฉพาะของสมการนี้เมจแบบทั่วไปลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์แบบง่าย ๆ คือคือ แบบจำลอง โดย bob ของมวล m แขวนที่ปลายลวดความยาว l และคงที่ให้ O เป็นจุดสนับสนุน (ดู Fig. 1), ควงไปเทียวมาในระนาบแนวตั้งสมการของการเคลื่อนไหวตรงไปตรงมารับใช้ Lagrangian หรือวิธีการทฤษฎี สำหรับความเรียบง่ายที่นี่เราแสดงสมการลูกตุ้มที่ใช้วิธีการทฤษฎี ในกรอบนี้ ก็ง่ายมากที่จะเห็นภาพกองกำลังที่ทำหน้าที่ในระบบ ให้ชัดเจนมากขึ้นจริงรูปของลูกตุ้ม แม้แต่แม้ว่า สูตรอื่น ๆ ทั่วไปเป็นไปได้ ในบริบทนี้ Fig. 1 แสดงไดอะแกรมแรงของลูกตุ้มอย่างง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟิสิกส์พลาสมาเป็นหนังสือโดย Sagdeev et al, [21]
นอกจากนี้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมและการควบคุมการศึกษาของลูกตุ้มมีความสำคัญมาก สำหรับตำราที่ลักษณะพื้นฐานของความสับสนวุ่นวายได้ถูกนำเสนอด้วยความช่วยเหลือของลูกตุ้มง่าย (ดู [22]). ความพยายามในการทำงานปัจจุบันที่จะให้มุมมองแบบครบวงจรในด้านที่เป็นที่รู้จักกันแตกต่างกันของลูกตุ้มเมื่อความทุกข์ที่แตกต่างกันการรบกวนจากภายนอก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีความสนใจในการพิจารณากรณีทั่วไปของเครื่องบินลูกตุ้มที่เรียบง่ายที่มีสาระสำคัญอยู่ภายใต้การมีการเคลื่อนไหวที่แตกต่างกันบนเครื่องบิน สำหรับกรณีที่มีลูกตุ้มทรงกลมที่ไม่ได้รวมอยู่ในงานนี้ (ดู [23-25]) ในหลักการความสนใจหลักของเราอยู่ในความเป็นไปได้ที่จะบูรณาการในหนึ่งเดียวรุ่นหลายสถานการณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่รู้จักกันเช่นลูกตุ้มบังคับคุ้นเคยลูกตุ้มบังคับ harmonically [26-28] ลูกตุ้มบังคับแนวตั้งและการรวมกันของพวกเขาเช่น เป็นลูกตุ้มหมุน นอกจากนี้เราแนะนำในการแสดงออกของลูกตุ้มทั่วไปเชิงแง่การทำให้หมาด ๆ ซึ่งทั้งๆที่น่าสนใจสำหรับหลายวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติพวกเขาจะไม่ค่อยมีใครใช้ ทุกรุ่นเหล่านี้ได้รับการศึกษาที่แยกจากกันโดยนักเขียนจำนวนมาก แต่โดยทั่วไปโครงการเป็นหนึ่งที่เราจะนำเสนอที่นี่เป็นอย่างชัดเจนขาด นอกจากลูกตุ้มบังคับบางทีกรณีที่ได้สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในวรรณคดีเป็นลูกตุ้มที่มีเดือยสั่นในแนวตั้ง ระบบนี้จะเห็นได้ชัดว่าการศึกษาแรกโดยสตีเฟนสันในปี 1908 [29] และค่อนข้างต่อมาในวัยยี่สิบโดยฟานเดอร์และพลตัทท์ [30] ดีรักษาลูกตุ้มคว่ำอาจพบได้ใน [31,32] หนึ่งที่น่าสนใจที่โดดเด่นในนั้นขึ้นอยู่กับความมั่นคงของคุณสมบัติ (ดูตัวอย่าง [33,34] และการอ้างอิงจำนวนมากอยู่ในนั้น). ครั้งนี้การแสดงออกทั่วไปของสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มง่ายซึ่งเราเรียกทั่วไปลูกตุ้มตกอกตกใจ, จะได้รับ ลู่ทางเป็นไปได้ที่แตกต่างกันของการศึกษาต่อไปอาจจะเปิด กลยุทธ์ที่เรามีตามที่นี่จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่กำหนดโดยวิธีการ Melnikov ซึ่งมักจะนำไปใช้กับพลังอย่างต่อเนื่องระบบ วิธีการนี้จะช่วยให้สภาพบางอย่างสำหรับการเคลื่อนไหววุ่นวายของพลังเหล่านี้ซึ่งโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของ topological manifolds คงที่ที่เกี่ยวข้องไปยังจุดอานผ่อนชำระในอวกาศ ในฐานะที่เป็นผลมาจากธรรมชาติของการใช้วิธีการนี้เพื่อลูกตุ้มตกอกตกใจทั่วไปสูตรบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมวุ่นวาย(ความวุ่นวาย homoclinic) ของลูกตุ้มจะได้รับซึ่งประกอบด้วยส่วนใหญ่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีที่หนึ่งอาจมีการดำเนินการในการพิจารณา. 2 สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มตกอกตกใจทั่วไปที่นี่เราพยายามที่จะให้สูตรทั่วไปของลูกตุ้มง่ายๆที่แตกต่างกันบังคับและเงื่อนไขการทำให้หมาด ๆ จะรวมอยู่ในการแสดงออกเดียวโดยมีวัตถุประสงค์ของการเสนอภาพรวมของสถานการณ์ต่างๆที่ลูกตุ้มอาจจะมีและภาพทั้งหมดของพวกเขาในกรอบที่พบบ่อย จากมุมมองนี้กรณีที่คุ้นเคยหลายคนรวมทั้งภายนอกเยี่ยงอย่างปรากฏในทางธรรมชาติเป็นกรณีเฉพาะของสมการทั่วไปนี้. ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายเป็นแบบจำลองโดยบ๊อบมวลเมตรห้อยปลายลวดความยาว l และคงที่ไปสนับสนุนจุด O (ดูรูปที่ 1). แกว่งไปมาในแนวตั้ง. สมการของการเคลื่อนไหวจะตรงไปตรงที่จะได้รับใช้ลากรองจ์หรือวิธีการของนิวตัน สำหรับความเรียบง่ายของเราจะแสดงที่นี่สมลูกตุ้มโดยใช้วิธีการของนิวตัน ในกรอบนี้มันเป็นมากขึ้นใช้งานง่ายที่จะเห็นภาพกองกำลังทำหน้าที่ในระบบให้ภาพที่ชัดเจนมากขึ้นทางกายภาพของการเปลี่ยนแปลงของลูกตุ้มแม้แม้ว่าสูตรอื่นๆ ทั่วไปที่เป็นไปได้ ในบริบทรูปนี้ 1 แสดงแผนภาพบังคับของลูกตุ้มที่เรียบง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในพลาสมาฟิสิกส์ เป็นหนังสือ โดย sagdeev et al . [ 21 ] นอกจากนี้ ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมและควบคุม , การศึกษา
ลูกตุ้มมีความสําคัญมาก สำหรับหนังสือที่มีลักษณะพื้นฐานของความสับสนวุ่นวายมีแนะนำด้วย
ช่วยของลูกตุ้มนาฬิกา ( ดู [ 22 ] )
พยายามงานปัจจุบันเพื่อให้มุมมองรวมของต่างๆ รู้จักลักษณะของลูกตุ้มเมื่อทุกข์แตกต่างกัน
ได้จากภายนอก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีความสนใจในการพิจารณาคดีของเครื่องบินง่ายลูกตุ้ม
ที่มีเดือย คือต้องมีการเคลื่อนไหวต่าง ๆ บนเครื่องบิน สำหรับกรณีของลูกตุ้มกลม ไม่ใช่
รวมอยู่ในงานนี้ ( ดู [ 23 – 25 ] ) ในหลักการ ประโยชน์หลักของเราอยู่ในความเป็นไปได้ที่จะรวมในหนึ่งรูปแบบเดียว
,หลายรู้จักสถานการณ์เฉพาะเช่นคุ้นเคยบังคับให้ลูกตุ้มที่ประสานกันบังคับให้ลูกตุ้ม
[ 26 28 – ] , แนวตั้งบังคับให้ลูกตุ้มและชุดของพวกเขา เช่น การหมุนของลูกตุ้ม นอกจากนี้เราแนะนำ
ในการแสดงออกของลูกตุ้มแบบไม่เชิงเส้นเงื่อนไขทั่วไป ซึ่งแม้ดอกเบี้ยหลาย
ในทางปฏิบัติวัตถุประสงค์ พวกเขาจะไม่ค่อยใช้ทุกรุ่นเหล่านี้ได้ทำการแยกโดยผู้เขียนหลายคน แต่ทั่วไป
โครงการเป็นหนึ่งที่เราเสนอให้ชัดเจนว่าขาด นอกจากบังคับให้ลูกตุ้มบางทีกรณีซึ่งมี
สมควรได้รับความสนใจเพิ่มเติมในวรรณคดีเป็นลูกตุ้มกับแนวตั้งส่ายหมุน ระบบนี้เป็นที่เห็นได้ชัด
ก่อนเรียนโดยสตีเฟนสันใน 1908 [ 29 ] และ ค่อนข้าง ต่อมาในศตวรรษที่ 20โดย ฟาน เดอร์ พลและ Strutt [ 30 ] การรักษาที่ดี
ของลูกตุ้มผกผันอาจพบได้ใน [ 31,32 ] หนึ่งที่สนใจมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความมั่นคง
( เห็นตัวอย่าง [ 33,34 ] และมีการอ้างอิงในนั้น ) .
เมื่อนิพจน์นี้กราฟของสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งเราเรียกทั่วไป
วนเวียน ลูกตุ้ม เช่นที่แตกต่างกันเป็นไปได้ลู่ทางการศึกษาต่อไปอาจจะเปิด กลยุทธ์ที่เรามี
ตามมาที่นี่จะขึ้นอยู่กับแนวทางที่กำหนดโดยวิธี melnikov ซึ่งโดยปกติจะใช้กับระบบพลวัต
อย่างต่อเนื่อง วิธีนี้จะช่วยให้เงื่อนไขบางอย่างสำหรับการเคลื่อนไหวที่วุ่นวายของระบบพลวัตเหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปจะ
ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบของ manifolds ค่าคงที่ค่าระยะอานจุดในพื้นที่ โดย
เป็นผลตามธรรมชาติของการใช้วิธีนี้กับตัว วนเวียน ลูกตุ้ม บางสูตรที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมวุ่นวาย ( homoclinic วุ่นวาย ) ของลูกตุ้มจะได้รับซึ่งประกอบด้วยกรณีเฉพาะส่วนใหญ่นั้นอาจต้องพิจารณา
.
2สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มแบบไม่สบายใจ
ที่นี่เราพยายามที่จะให้สูตรทั่วไปของลูกตุ้มนาฬิกาที่แตกต่างกันและเงื่อนไขบังคับแบบ
จะรวมอยู่ในสีหน้าเดียว กับจุดประสงค์ของการเสนอภาพรวมของสถานการณ์ต่างๆ ที่ลูกตุ้มอาจ
และภาพถ่ายทั้งหมดของพวกเขาในกรอบทั่วไป จากมุมมองนี้กรณีคุ้นเคยหลายคนรวมทั้งได้ภายนอก
ปรากฏในวิธีธรรมชาติ โดยเฉพาะกรณีของสมการทั่วไป .
ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายคือ จำลองโดยบ๊อบของมวล m แขวนที่ปลายสายของความยาว l และถาวรเพื่อสนับสนุนจุด O
( ดูรูปที่ 1 ) ที่แกว่งไปมาใน ระนาบแนวตั้ง
สมการของการเคลื่อนไหวเป็นตรงไปตรงมาเพื่อให้ได้ระบบ หรือใช้วิธีนิวตัน . สำหรับความเรียบง่าย
เราแสดงที่นี่ลูกตุ้มสมการโดยใช้วิธีนิวตัน . ในกรอบนี้เป็นมากขึ้นที่ง่ายที่จะเห็นภาพ
แรงที่กระทําต่อระบบให้ชัดเจนทางกายภาพมากกว่าภาพพลวัตของลูกตุ้ม แม้แต่
แม้ว่าสูตรทั่วไปอื่น ๆที่เป็นไปได้ในบริบทนี้ รูปที่ 1 แสดงแผนภาพแรงของลูกตุ้มอย่างง่าย