1.5 Laplace Transform In this secti

1.5 Laplace Transform

In this section we will review only the basic concepts of the Laplace trans-
form method. The details can be found in any text of ordinary differential
equations. The Laplace transform method is a powerful tool used for solving
differential and integral equations. The Laplace transform [1–4,7] changes dif-
ferential equations and integral equations to polynomial equations that can
be easily solved, and hence by using the inverse Laplace transform gives the
solution of the examined equation.
The Laplace transform of a function f (x), defined for x 0, is defined by
F (s) = L{f (x)} = 0∞ e−sxf (x)dx, (1.141)

where s is real, and L is called the Laplace transform operator. The Laplace
transform F (s) may fail to exist. If f (x) has infinite discontinuities or if it
grows up rapidly, then F (s) does not exist. Moreover, an important necessary
condition for the existence of the Laplace transform F (s) is that F (s) must
vanish as s approaches infinity. This means that
lim F (s) = 0. (1.142)
s→∞

In other words, the conditions for the existence of a Laplace transform F (s)
of any function f (x) are:

1. f (x) is piecewise continuous on the interval of integration 0 x < A
for any positive A,
2. f (x) is of exponential order eax as x → ∞, i.e. |f (x)| Keax, x M ,

where a is real constant, and K and M are positive constants. Accordingly,
the Laplace transform F (s) exists and must satisfy
lim F (s) = 0. (1.143)
s→∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.5 แปลง LaPlace

ในส่วนนี้เราจะตรวจสอบเฉพาะแนวคิดพื้นฐานของการเลซทรานส์-
วิธีการรูปแบบ รายละเอียดสามารถพบได้ในข้อความใด ๆ จากสมการอนุพันธ์สามัญ
วิธีการแปลงลาปลาซเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพที่ใช้ในการแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน
และสมการหนึ่ง แปลง LaPlace [1-4,7] การเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกัน-
สม ferential และสมการสมการพหุนามที่สามารถ
แก้ไขได้อย่างง่ายดายและด้วยเหตุนี้โดยใช้ผกผันแปลงลาปลาซจะช่วยให้การแก้ปัญหา
ของสมการการตรวจสอบ
แปลงลาปลาซของฟังก์ชัน f (x), ที่กำหนดไว้สำหรับ 0 x ถูกกำหนดโดย
f (s) = l {f (x)} = 0 ∞ e-SXF (x​​) DX, (1.141)

ที่ เป็นจริงและ l เรียกว่าผู้ประกอบการแปลงลาปลาซ LaPlace
แปลง f (s) อาจล้มเหลวที่จะมีชีวิตอยู่ ถ้า f (x) มีนันไม่มีที่สิ้นสุดหรือถ้ามัน
เติบโตขึ้นอย่างรวดเร็วแล้ว f (s) ไม่อยู่ นอกจากนี้สภาพ
ที่สำคัญที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของแปลงลาปลาซ f (s) คือ f (s)
ต้องหายไปเป็นแนวทางของอินฟินิตี้ นี้หมายความว่า
lim f (s) = 0 (1.142)
s →∞

ในคำอื่น ๆเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของแปลงลาปลาซ f (s)
ของฟังก์ชัน f (x) คือ:

1 f (x) เป็นค่อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาของการรวม 0 x <
สำหรับบวกใด ๆ
2 f (x) เป็น EAX ชี้แจงตามคำสั่ง x →∞เช่น | f (x) | keax, XM

บวกค่าคงที่เป็นเรื่องจริงคงที่และ K และเมตร ตาม
แปลงลาปลาซ f (s) มีอยู่และต้องตอบสนอง
lim f (s) = 0 (1.143)
s →∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.5 การแปลงลาปลาส

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาเพียงแนวคิดพื้นฐานของธุรกรรมลาปลาสการ -
รูปแบบวิธีการ รายละเอียดสามารถดูในข้อความของ differential ธรรมดา
สมการได้ วิธีการแปลงลาปลาสเป็นเครื่องมือมีประสิทธิภาพใช้สำหรับแก้
differential และทฤษฎีบูรณาการสมการ การแปลงลาปลาส [1–4, 7] เปลี่ยน dif -
ferential สมการและสมการเป็นการสมการพหุนามที่สามารถ
ง่าย ๆ แก้ไข และดังนั้น ผกผันลาปลาสโดยแปลงให้
ของสมการที่กล่าวถึงได้
การแปลงลาปลาสของเป็นฟังก์ชัน f (x), defined สำหรับ x 0 เป็น defined โดย
F (s) = L {f (x) } =-0∞ e−sxf (x) dx, (1.141)

ที่ s จริง และ L คือดำเนินการแปลงลาปลาส ลาปลาสการ
แปลง F (s) ไม่อยู่ ถ้า f (x) มี infinite discontinuities หรือถ้ามัน
เติบโตขึ้นอย่างรวดเร็ว แล้วไม่มี F (s) ยิ่งไปกว่านั้น ความจำเป็นสำคัญ
เงื่อนไขการดำรงอยู่ของการแปลงลาปลาส F (s) คือ F (s) ต้อง
กลีบเป็น s วิธี infinity นี้หมายความ ว่า
lim F (s) = 0 (1.142)
s→∞

ในคำอื่น ๆ เงื่อนไขการดำรงอยู่ของลาปลาสการแปลง F (s)
ของใด ๆ ฟังก์ชัน f (x):

1 f (x) เป็น piecewise อย่างต่อเนื่องในช่วงของการรวม 0 x < A
สำหรับ A บวก,
2 f (x) เป็นของ eax สั่งเนน x →∞ เช่น |f (x) | Keax เมตร,

ที่ความเป็นจริงคง และ K และ M เป็นค่าคงที่บวก ตาม,
แปลงลาปลาส F (s) อยู่ และต้องตอบสนอง
lim F (s) = 0 (1.143)
s→∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1.5 อ่านตำราเปลี่ยน

ในส่วนนี้เราจะมีการทบทวนเท่านั้นที่แนวความคิดแบบเรียบง่ายของวิธีการอ่านตำรา Trans -
รูปแบบ รายละเอียดที่สามารถพบได้ในข้อความใดๆของหุ้นสามัญ differential
สม อ่านตำราที่เปลี่ยนวิธีการเป็นเครื่องมืออันทรงพลังที่ใช้สำหรับการแก้ปัญหาและ
differential และมีความสำคัญเป็นอย่างยิ่ง อ่านตำราที่เปลี่ยนแปลง[ 1-4 1-4 1-4 , 7 ]การเปลี่ยนแปลงชนิด -
ferential โบราณคดีและมีความสำคัญเป็นอย่างยิ่งและในการ polynomial สมที่สามารถ
สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและดังนั้นโดยการใช้สีตัดกันที่อ่านตำราเปลี่ยนให้
โซลูชันของสมการตรวจสอบได้ อ่านตำรา
ที่เปลี่ยนฟังก์ชัน F ( X ), defined สำหรับ x 0 คือ defined โดย
F ( S )= L { F ( X )}= 0 ∞ e - sxf ( X ), DX ( 1.141 )

ที่ s มีอยู่จริงและ L เรียกว่าอ่านตำราที่เปลี่ยนผู้ให้บริการ อ่านตำรา
ได้เปลี่ยนโฉม F ( s )จะไม่มีอยู่ หาก F ( X )มีเรื่องไม่คาดฝัน infinite หรือหาก
เติบโตขึ้นอย่างรวดเร็วจากนั้น F ( s )จะไม่มีอยู่ ยิ่งไปกว่านั้นที่สำคัญจำเป็นที่
สภาพ ของการดำรงอยู่ของอ่านตำราที่เปลี่ยนแปลง F ( S )คือการที่ F ( s )จะต้อง
หายวับไปกับตาเป็น S แนวทาง infinity ซึ่งหมายความว่า
บขส.ว่า F ( S )= 0 ( 1.142 ถึง)
s→∞

ในคำอื่นๆเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของที่อ่านตำราเปลี่ยน F ( S )
ของที่ทำงาน F ( X )มี:

1 . F ( X )คือ piecewise อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาของการประกอบ 0 x <ที่
สำหรับใดๆในทางบวก,
2 . F ( X )มีการสั่งซื้ออย่างต่อเนื่อง eax เป็น x “→”∞,เช่น| F ( X )| keax , M ,

ซึ่งเป็นความจริงคงที่,และกม.และม.มีค่าคงที่ในเชิงบวก. จึงเรียนมาเพื่อทราบ
ที่อ่านตำราเปลี่ยนโฉม F ( S )มีอยู่แล้วและจะต้องสร้างความพึงพอใจ
บขส. F ( S )= 0 ( 1.143 )
s→∞