with B = In/2 + Pr + P2r +···+ P(p−

with B = In/2 + Pr + P2r +···+ P(p−1)r, where r = (p + 1)/2, and P = [pij ]
is the n/2 × n/2 permutation matrix with pi,i+1 = 1(mod n/2), pij = 0 otherwise.
As in the proof of [4, Theorem 2], B is non-singular with |det(B)| = p. Therefore
det(Aˆn) = (−1)
n/2(det(B))2 = (−1)
n/2p2 = (−1)
n−1(n − 1) = det(Kn), since n/2
and n − 1 are odd. As noted by a referee, for a counterexample to [5, Conjecture 1],
with odd p > 3 and n = p2 + 1, matrix B can be replaced by any n/2 × n/2 (0, 1)-
matrix with p ones in each row and each column that has determinant equal to ±p.
These matrices have minimum determinant of all non-singular n/2 × n/2 matrices
with p ones in each row and each column, since gcd(p, n/2) = 1; see [4, Theorem 2].
We conclude by noting that there are disconnected graphs for which (1) holds. For
example, the determinant of the adjacency matrix of a disconnected graph on 9 nodes
that is the union of three copies of K3 (i.e., three disjoint triangles) is equal to 8.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กับ B = / 2 + ประชาสัมพันธ์ + P2r + ··· + R P (p−1) ซึ่ง = (p + 1) / 2 และ P = [pij]เป็นเมทริกซ์เรียงสับเปลี่ยนของ n/2 × n/2 กับพี่พี ฉัน + 1 = 1(mod n/2), pij = 0 ไม่ในหลักฐาน [4, 2 ทฤษฎีบท], B เป็นไม่ใช่เอกพจน์กับ |det (B) | =ดังนั้น pdet(Aˆn) = (− 1)n/2(det(B)) 2 = (− 1)n / 2p 2 = (− 1)n−1(n − 1) = det(Kn) ตั้งแต่ n/2และ n − 1 คี่ ตามที่ระบุไว้ โดยมีกรรมการตัดสิน counterexample [5, 1 ข้อความคาดการณ์],คี่ p > 3 และ n = p2 + 1 เมตริกซ์ B สามารถถูกแทนที่ ด้วยใด ๆ n/2 × n/2 (0, 1) -เมตริกซ์กับ p ที่อยู่ในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ ±pตัวชี้วัดเหล่านี้มีน้อยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ n/2 × n/2 เอกพจน์ไม่ใช่ทั้งหมดกับ p คนในแต่ละแถวและคอลัมน์ ตั้งแต่ gcd (p, n/2) = 1 ดู [4, 2 ทฤษฎีบท]เราสรุป โดยการสังเกตที่ มีต่อกราฟสำหรับที่เก็บ (1) สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ adjacency กราฟต่อบนโหน 9 ตัวอย่างคือสหภาพ K3 3 ชุด (เช่น สามตัวสามเหลี่ยม) จะเท่ากับ 8

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กับ B = In / 2 + Pr + P2R + ··· + P (P-1) R, ที่ r = (P + 1) / 2 และ P = [PIJ]
เป็น n / 2 × n / 2 การเปลี่ยนแปลง เมทริกซ์ที่มีปี่, i + 1 = 1 (สมัย n / 2) PIJ = 0 เป็นอย่างอื่น.
ในฐานะที่เป็นหลักฐานของ [4 ทฤษฎีบท 2], B ไม่เป็นเอกพจน์กับ | เดชอุดม (B) | p = ดังนั้นเดชอุดม (เป็น) = (-1) n / 2 (เดชอุดม (B)) 2 = (-1) n / 2p2 = (-1) n-1 (n - 1) = det (Kn) เมื่อ n / 2 และ n - 1 เป็นเลขคี่ เท่าที่สังเกตจากผู้ตัดสินสำหรับ counterexample ไปที่ [5 คาดเดา 1] กับพีแปลก> 3 และ n = p2 + 1, B เมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วย n ใด ๆ / 2 × n / 2 (0, 1) - เมทริกซ์ กับคนที่พีในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ที่มีปัจจัยเท่ากับ±พี. เมทริกซ์เหล่านี้มีปัจจัยขั้นต่ำทั้งหมดเป็นแบบไม่เอกพจน์ n / 2 × n / 2 การฝึกอบรมกับคนที่พีในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ตั้งแต่GCD (p, n / 2) = 1; เห็น [4 ทฤษฎีบท 2]. เราสรุปโดยสังเกตว่ามีกราฟตัดการเชื่อมต่อที่ (1) ถือหุ้น สำหรับตัวอย่างเช่นปัจจัยของเมทริกซ์ถ้อยคำของกราฟตัดการเชื่อมต่อในวันที่ 9 โหนดที่เป็นสหภาพของสามสำเนาของK3 (เช่นสามสามเหลี่ยมเคลื่อน) มีค่าเท่ากับ 8