INTEGATING POLYNOMIALS IN SECANT AN

INTEGATING POLYNOMIALS IN SECANT AND TANGENT
JONATHAN P. MCCAMMOND
This note provides a relatively painless way to integrate arbitrary polynomials in secant and tangent without ever invoking integration by parts or anything beyond elementary polynomial and trigonometric identities. The techniques involved also introduce students to some of the ideas behind the construction of Laurent polynomials, although the manner in which they do so is rather indirect. We begin with a theorem which covers almost all of the possibilities.
Theorem 1.For every polynomial P(s, t) in two variables, there are polynomials F and G in one variable and a constant C such that
∫▒〖p(sec⁡〖x ,tan⁡〖x 〗 〗)〗 sec⁡〖x dx=F(u)- G(v)+ C ln⁡(u)+ C 〗
where u = sec x + tan x and v = sec x – tan x.
Proof. Once we

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

INTEGATING POLYNOMIALS ซีแคนต์และแทนเจนต์โยนาธาน P. MCCAMMOND บันทึกนี้ให้ค่อนข้างเจ็บปวดวิธีรวม polynomials กำหนดเส้นตัดและแทนเจนต์ไม่เคยเรียกรวม โดยชิ้นส่วนหรือสิ่งนอกเหนือจากประถมศึกษาพหุนาม และตรีโกณมิติเป็นประจำ เทคนิคที่เกี่ยวข้องยังแนะนำนักเรียนไปคิดอยู่เบื้องหลังการก่อสร้างของ Laurent polynomials แม้ว่าลักษณะที่พวกเขาทำนั้นจะค่อนข้างอ้อม เราเริ่มต้น ด้วยทฤษฎีบทซึ่งครอบคลุมไปเกือบทั้งหมด1.ทฤษฎีบททุกพหุนาม P (s, t) ในสองตัวแปร มี polynomials F และ G ในหนึ่งตัวแปร และค่าคง C ที่ ∫▒〖p (sec 〖x, tan 〖x 〗〗) 〗วินาที 〖x dx=F(u) - ln G(v) + C (u) + C 〗ที่ u = sec x + tan x และ v = x วินาที-tan xหลักฐานการ เมื่อเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

INTEGATING พหุนามใน secant TANGENT
และโจนาธานพีMCCAMMOND
บันทึกนี้ให้เป็นวิธีที่ค่อนข้างเจ็บปวดเพื่อบูรณาการพหุนามโดยพลการใน secant และสัมผัสกันโดยที่ไม่เคยกล่าวอ้างโดยการรวมชิ้นส่วนหรืออะไรเกินพหุนามประถมศึกษาและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ เทคนิคที่เกี่ยวข้องนอกจากนี้ยังแนะนำให้นักเรียนบางส่วนของความคิดที่อยู่เบื้องหลังการก่อสร้างของพหุนามองค์แม้ว่าลักษณะที่พวกเขาทำค่อนข้างอ้อม เราเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทซึ่งครอบคลุมเกือบทั้งหมดของความเป็นไปได้.
ทฤษฎีบท 1. ทุกพหุนาม P (s, t) สองตัวแปรมีหลายชื่อ f และ g ในหนึ่งตัวแปรและค่าคงที่ดังกล่าวที่ C
∫▒〖พี (วินาที ⁡〖 x, x tan⁡〖〗〗) 〗〖sec⁡ DX x = f (มึง) - G (V) + C ln⁡ (U) + C
〗ที่u = วินาที x + สีน้ำตาลและโวลต์ x = x วินาที -. สีน้ำตาล x
หลักฐาน เมื่อเรา