The history of set theory is rather

The history of set theory is rather different from the history of most other areas of mathematics. For most areas a long process can usually be traced in which ideas evolve until an ultimate flash of inspiration, often by a number of mathematicians almost simultaneously, produces a discovery of major importance.

Set theory however is rather different. It is the creation of one person, Georg Cantor. Before we take up the main story of Cantor's development of the theory, we first examine some early contributions.

The idea of infinity had been the subject of deep thought from the time of the Greeks. Zeno of Elea, in around 450 BC, with his problems on the infinite, made an early major contribution. By the Middle Ages discussion of the infinite had led to comparison of infinite sets. For example Albert of Saxony, in Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, proves that a beam of infinite length has the same volume as 3-space. He proves this by sawing the beam into imaginary pieces which he then assembles into successive concentric shells which fill space.

Bolzano was a philosopher and mathematician of great depth of thought. In 1847 he considered sets with the following definition

an embodiment of the idea or concept which we conceive when we regard the arrangement of its parts as a matter of indifference.

Bolzano defended the concept of an infinite set. At this time many believed that infinite sets could not exist. Bolzano gave examples to show that, unlike for finite sets, the elements of an infinite set could be put in 1-1 correspondence with elements of one of its proper subsets. This idea eventually came to be used in the definition of a finite set.

It was with Cantor's work however that set theory came to be put on a proper mathematical basis. Cantor's early work was in number theory and he published a number of articles on this topic between 1867 and 1871. These, although of high quality, give no indication that they were written by a man about to change the whole course of mathematics.

An event of major importance occurred in 1872 when Cantor made a trip to Switzerland. There Cantor met Richard Dedekind and a friendship grew up that was to last for many years. Numerous letters between the two in the years 1873-1879 are preserved and although these discuss relatively little mathematics it is clear that Dedekind's deep abstract logical way of thinking was a major influence on Cantor as his ideas developed.

Cantor moved from number theory to papers on trigonometric series. These papers contain Cantor's first ideas on set theory and also important results on irrational numbers. Dedekind was working independently on irrational numbers and Dedekind published Continuity and irrational numbers.

In 1874 Cantor published an article in Crelle's Journal which marks the birth of set theory. A follow-up paper was submitted by Cantor to Crelle's Journal in 1878 but already set theory was becoming the centre of controversy. Kronecker, who was on the editorial staff of Crelle's Journal, was unhappy about the revolutionary new ideas contained in Cantor's paper. Cantor was tempted to withdraw the paper but Dedekind persuaded Cantor not to withdraw it and Weierstrass supported publication. The paper was published but Cantor never submitted any further work to Crelle's Journal.

In his 1874 paper Cantor considers at least two different kinds of infinity. Before this orders of infinity did not exist but all infinite collections were considered 'the same size'. However Cantor examines the set of algebraic real numbers, that is the set of all real roots of equations of the form

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีเซตจะค่อนข้างแตกต่างจากประวัติศาสตร์ของพื้นที่อื่น ๆ มากที่สุดของคณิตศาสตร์ สำหรับพื้นที่ส่วนใหญ่มักจะสามารถติดตามกระบวนการยาวที่ คิดพัฒนาจนเป็นแฟลชที่ดีที่สุดของแรงบันดาลใจ บ่อยครั้งโดยจำนวน mathematicians เกือบพร้อมกัน สร้างค้นพบความสำคัญหลักทฤษฎีเซตแต่จะค่อนข้างแตกต่าง มันคือการสร้างคน จอร์จคันทอร์ ก่อนที่เราใช้เรื่องหลักของการพัฒนาทฤษฎีของคันทอร์ เราตรวจสอบก่อนจัดสรรบางช่วงความคิดของอนันต์ได้เรื่องคิดลึกจากเวลาของกรีก Zeno Elea ในรอบ 450 BC กับอนันต์ ปัญหาของเขาทำส่วนใหญ่เป็นต้น โดยยุคกลาง สนทนาของอนันต์ที่ได้นำไปเปรียบเทียบชุดอนันต์ เช่นอัลเบิร์ตแซกโซนี ใน subtilissime Questiones ใน libros de celo et mundi พิสูจน์ว่า แสงความยาวอนันต์มีไดรฟ์ข้อมูลเดียวกันเป็นพื้นที่ 3 เขาสามารถพิสูจน์ได้ ด้วยเลื่อยคานเป็นชิ้นจำนวนจินตภาพซึ่งเขาแล้ว assembles เป็นเชลล์ concentric ต่อ ๆ มาซึ่งเติมพื้นที่โบลซาโนเป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ของคิดลึกมาก 1847 เขาพิจารณาชุดกับคำนิยามต่อไปนี้ศูนย์รวมแห่งความคิดหรือแนวคิดที่เราตั้งครรภ์เมื่อเราพิจารณาการจัดเรียงของชิ้นส่วนเป็นเรื่องของท่านโบลซาโนปกป้องแนวคิดของชุดเป็นอนันต์ ขณะนี้ หลายคนเชื่อว่า อนันต์ชุดอาจไม่มี โบลซาโนได้ให้ตัวอย่างเพื่อแสดงว่า ต่างจากสำหรับชุดจำกัด องค์ประกอบของชุดเป็นอนันต์สามารถวางในการติดต่อ 1-1 องค์ประกอบของชุดย่อยที่เหมาะสม ความคิดนี้ในที่สุดมาใช้ในการกำหนดชุดจำกัดได้ มีการทำงานของคันทอร์แต่ว่า ทฤษฎีเซตมาใส่บนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม งานแรก ๆ ของคันทอร์ได้ในทฤษฎีจำนวน และเขาประกาศหมายเลขของบทความในหัวข้อนี้ระหว่าง 1867 1871 เหล่านี้ แม้ว่าคุณภาพ ให้ข้อบ่งชี้ไม่ว่า จะถูกเขียน โดยคนจะเปลี่ยนแปลงหลักสูตรทั้งหมดของคณิตศาสตร์เหตุการณ์สำคัญสำคัญเกิดขึ้นในเนียร์ชเมื่อคันทอร์จะเที่ยวสวิตเซอร์แลนด์ มีคันทอร์พบริชาร์ด Dedekind และมีมิตรภาพที่เติบโตขึ้นที่จะนานหลายปี มีเก็บตัวอักษรมากมายระหว่างทั้งสองในปี 1873-1879 และแม้ว่าเหล่านี้อธิบายค่อนข้าง น้อยคณิตศาสตร์เป็นที่ชัดเจน Dedekind ที่นามธรรมลึกตรรกะทางความคิดมีอิทธิพลสำคัญในคันทอร์เป็นความคิดของเขาได้รับการพัฒนาคันทอร์ย้ายจากทฤษฎีจำนวนเอกสารชุดตรีโกณมิติเป็น เอกสารเหล่านี้ประกอบด้วยความคิดแรกของคันทอร์ในทฤษฎีเซต และผลลัพธ์สำคัญในจำนวนอตรรกยะ Dedekind ทำงานอย่างอิสระในจำนวนอตรรกยะ และ Dedekind ประกาศความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะใน 1874 คันทอร์เผยแพร่บทความในสมุดรายวันของ Crelle ซึ่งนับเป็นกำเนิดของทฤษฎีเซต กระดาษติดตามส่ง โดยคันทอร์ไปสมุดรายวันของ Crelle ในค.ศ. 1878 แต่แล้วทฤษฎีเซตได้กลายเป็น ศูนย์กลางของการถกเถียง Kronecker เจ้าหน้าที่บรรณาธิการของสมุดรายวันของ Crelle มีความสุขเกี่ยวกับการปฏิวัติใหม่ ๆ อยู่ในกระดาษของคันทอร์ คันทอร์ได้อยากถอนกระดาษ แต่คันทอร์ไม่ถอยก็เกลี้ยกล่อม Dedekind และ Weierstrass สนับสนุนเผยแพร่ กระดาษถูกเผยแพร่ แต่คันทอร์ไม่ส่งงานสมุดรายวันของ Crelle ใด ๆ เพิ่มเติมใน 1874 เขา กระดาษคันทอร์พิจารณาน้อยสองชนิดของอนันต์ ก่อนนี้สั่งของอินฟินิตี้ไม่มี แต่คอลเลกชันทั้งหมดที่ไม่ได้ถือว่า 'ตัด' อย่างไรก็ตาม คันทอร์ตรวจสอบชุดพีชคณิตจำนวนจริง ที่เป็นชุดของรากจริงทั้งหมดของสมการของแบบฟอร์ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีการตั้งค่าค่อนข้างแตกต่างจากประวัติศาสตร์ของพื้นที่อื่น ๆส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ สำหรับพื้นที่ส่วนใหญ่กระบวนการที่ยาวนานสามารถมักจะติดตาม ซึ่งแนวคิดวิวัฒนาการจนมีแฟลชที่ดีที่สุดของแรงบันดาลใจ มัก ด้วยหมายเลขของนักคณิตศาสตร์เกือบพร้อมกัน สร้างการค้นพบสำคัญ

ตั้งทฤษฎีแต่จะแตกต่างกันค่อนข้าง มันคือการสร้างคนเกออร์ก คันทอร์ . ก่อนที่เราจะใช้เรื่องหลักของการพัฒนาของคันทอร์ของทฤษฎี เราศึกษาบางต้นเขียน

ความคิดของอินฟินิตี้ได้ เรื่องของความคิดลึกจากเวลาของกรีก เซโนของอีเลีย ในพ.ศ. ประมาณ 450 กับปัญหาของเขาในอนันต์ ทำให้ผลงานที่สำคัญก่อนโดยการอภิปรายยุคกลางของอนันต์ ทำให้มีการเปรียบเทียบของเซตอนันต์ ตัวอย่างเช่น อัลเบิร์ตแห่งแซกโซนีใน questiones subtilissime ใน libros de celo et มันดิ พิสูจน์ว่าแสงมีความยาวอนันต์หมวดเดียวกับ 3-space . เขาพิสูจน์นี้โดยเลื่อยคานเข้าไปในจินตนาการชิ้นแล้วก็ประกอบเข้าต่อเนื่องเป็นเปลือกหอยที่เติมช่องว่าง .

โบลซาโนเป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ของความลึกที่ยอดเยี่ยมของความคิด ใน 1847 เขาถือว่าชุดกับความหมาย

เป็นรูปธรรมของความคิดหรือแนวคิดที่เราคิดว่าเมื่อเราพิจารณาการจัดเรียงของชิ้นส่วนของมันเป็นเรื่องของความไม่แยแสต่อ

โบลซาโนปกป้องแนวคิดของเซตอนันต์ . ในเวลานี้หลายคนเชื่อว่าเซตอนันต์ก็ไม่มีตัวตนโบลซาโนให้ตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นว่าแตกต่างสำหรับชุดจำกัด องค์ประกอบของชุดอนันต์อาจจะใส่ในการติดต่อกับ 1-1 องค์ประกอบของหนึ่งในชุดย่อยที่เหมาะสมของ ความคิดนี้ในที่สุดก็จะใช้ในความหมายของการตั้งค่าแน่นอน

มันมี 5 งานแต่ที่ทฤษฎีเซตมาใส่ที่เหมาะสมทางคณิตศาสตร์พื้นฐานบริษัทแรกทำงานในทฤษฎีจำนวนและเขาได้รับการตีพิมพ์จำนวนของบทความในหัวข้อนี้และระหว่าง 1867 1871 . เหล่านี้ แม้ว่าคุณภาพสูงให้ข้อบ่งชี้ว่าพวกเขาถูกเขียนโดยคนที่กำลังจะเปลี่ยนหลักสูตรทั้งหมดของคณิตศาสตร์ .

เหตุการณ์สำคัญที่เกิดขึ้นใน 1872 เมื่อคันทอร์ได้เดินทางไปสวิตเซอร์แลนด์มีต้นเสียงพบริชาร์ดเดเดคินด์ และมิตรภาพที่เติบโตขึ้นนั้นมันนานหลายปี หลายฉบับระหว่างปี 1873-1879 จะรักษาไว้ และแม้ว่าเหล่านี้อภิปรายค่อนข้างน้อยคณิตศาสตร์เป็นที่ชัดเจนว่า Dedekind ลึกนามธรรมตรรกะวิธีคิดที่เป็นหลักมีผลต่อคันทอร์เป็นไอเดีย

ของเขาขึ้นAdmin ย้ายจากทฤษฎีจํานวนเอกสารในชุดตรีโกณมิติ เอกสารเหล่านี้มีความคิดแรกของคันทอร์ในทฤษฎีเซตและที่สำคัญผลลัพธ์จำนวนอตรรกยะ . เดเดคินด์ ทำงานอย่างอิสระ และตีพิมพ์ต่อเนื่องในจำนวนอตรรกยะ Dedekind และจำนวนอตรรกยะ .

ใน 1874 คันทอร์ตีพิมพ์บทความในวารสาร crelle ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของทฤษฎีการตั้งค่า .ติดตามกระดาษถูกส่ง โดยบริษัทบันทึก crelle ใน 1878 แต่แล้วทฤษฎีเซตเป็นศูนย์กลางของการโต้เถียงกัน kronecker ใครอยู่ในกองบรรณาธิการของวารสาร crelle , ไม่มีความสุขเกี่ยวกับปฏิวัติความคิดใหม่ที่มีอยู่ในเอกสารของคันทอร์ .ต้นเสียงคืออยากถอนกระดาษ แต่เดเดคินด์ชักชวนคันทอร์ที่จะไม่ถอนมันและ ไวแยร์สตราสส์สนับสนุนการพิมพ์ กระดาษที่ถูกตีพิมพ์ แต่บริษัทไม่เคยส่งงานเพิ่มเติมใด ๆที่จะบันทึก crelle .

ใน 1874 กระดาษ Admin พิจารณาอย่างน้อยสองชนิดที่แตกต่างกันของความไม่มีที่สิ้นสุดก่อนนี้ ใบสั่งของอินฟินิตี้ไม่ได้มีอยู่แต่คอลเลกชันอนันต์ทั้งหมดถูกถือว่าเป็น ' ขนาด ' เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม แคนเตอร์ ตรวจสอบชุดตัวเลขที่แท้จริงของพีชคณิต นั่นคือชุดของรากจริงทั้งหมดของสมการของแบบฟอร์ม