An elliptic curve over the rational

An elliptic curve over the rational field Q is a curve of genus 1 over Q which is
furnished with a distinguished rational point O. (For background on elliptic
curves, the reader is invited to consult [13], [34], or [28], Chapter IV.) The
curves which will interest us are those arising from an affine equation
y
2 = x(x − A)(x + B), (1)
where A and B are non-zero relatively prime integers with A + B non-zero.
The curve E given by this affine equation is understood to be the curve in
the projective plane P2 given by the homogenized form of (1), namely
Y
2Z = X
3 − (A − B)X
2Z − ABXZ2
;
the point O is then the unique “point at infinity,” which has homogeneous
coordinates (0, 1, 0)
It is frequently essential to view E as a commutative algebraic group over
Q. In particular, given two points P and Q on E with coordinates in a field
K ⊇ Q (we write P, Q ∈ E(K)), a sum P + Q is defined, and is rational
over K. The coordinates of P + Q are rational functions in the coordinates
of P and Q, with coefficients in Q; these coefficients depend on the defining
equation of E. The identity element of this group is the distinguished point
O. Further, three distinct points sum to O in the group if and only if they
are collinear

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การโค้ง elliptic ผ่านฟิลด์เชือด Q เป็นเส้นโค้งของสกุล 1 เหนือ Q ซึ่งเป็นมีโอตามจุดเชือด (สำหรับพื้นหลังบน elliptic แตกต่างเส้นโค้ง เชิญให้อ่านปรึกษา [13], [34], [28], หรือบทที่ IV.) ที่คือเส้นโค้งที่จะสนใจเราเกิดจากสมการ affiney2 = x (x − A) (x + B), (1)ที่ A และ B เป็นจำนวนเต็มที่ค่อนข้างเฉพาะคล้องด้วย + B ไม่เป็นศูนย์เป็นที่เข้าใจ E กำหนด โดยสมการนี้ affine โค้งเป็น โค้งในเครื่องบิน projective p 2 กำหนด โดย (1), แบบ homogenized เป็นกลุ่มได้แก่Y2Z = X3 − (− B) X2Z − ABXZ2;จุด O จะเฉพาะ "จุดที่อนันต์ ซึ่งเป็นเนื้อเดียวกันพิกัด (0, 1, 0)จึงมักต้องมีดูอีเป็นกลุ่มพีชคณิตสลับผ่านคำถามโดยเฉพาะ กำหนดสองจุด P และ Q ใน E มีพิกัดในเขตK ⊇ Q (เราเขียน P, Q ∈ E(K)) ผล P + Q ไว้ และมีเหตุผลกว่าคุณ พิกัดของ P + Q มีฟังก์ชันตรรกยะในพิกัดP และ Q กับสัมประสิทธิ์ใน Q ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับการกำหนดสมการของอี เอกลักษณ์ของกลุ่มนี้คือ จุดที่แตกต่างโอเพิ่มเติม สามแตกต่างกันไปรวม O ในกลุ่ม และเมื่อพวกเขากำลัง collinear

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เส้นโค้งรูปไข่ในช่วง Q สนามเหตุผลเป็นเส้นโค้งของพืชและสัตว์มากกว่า 1 Q ซึ่งเป็น
เฟอร์นิเจอร์และมีจุดที่มีเหตุผลที่แตกต่างทุม (สำหรับพื้นหลังรูปไข่
เส้นโค้ง, ผู้อ่านจะได้รับเชิญไปปรึกษา [13] [34] หรือ [28 ] บทที่ IV).
เส้นโค้งซึ่งจะสนใจเราเป็นผู้ที่เกิดจากการเลียนแบบสมการ
Y
= 2 x (x -) (x + B) (1)
ที่ A และ B เป็นที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนเต็มความสำคัญกับ + B ไม่เป็นศูนย์.
E โค้งที่กำหนดโดยสมการเลียนแบบนี้เป็นที่เข้าใจกันเป็นเส้นโค้งใน
projective เครื่องบิน P2 ที่กำหนดโดยรูปแบบของการปั่น (1) คือ
Y
= 2Z X
3 - (- B) X
2Z - ABXZ2
;
จุด O เป็นแล้ว "จุดที่อินฟินิตี้" ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีเนื้อเดียวกัน
พิกัด (0, 1, 0)
เป็นประจำที่สำคัญเพื่อดู E รวมกลุ่มสับเปลี่ยนพีชคณิตมากกว่า
Q. โดยเฉพาะอย่างยิ่งได้รับสองจุด P และ Q กับ E มีพิกัดในสาขา
K ⊇ Q (เราเขียน P, Q ∈ E (K)) ซึ่งเป็นผลรวม P + Q ถูกกำหนดและเป็นเหตุผล
มากกว่าเคพิกัดของ P + Q มีฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลในพิกัด
ของ P และ Q มีค่าสัมประสิทธิ์ใน Q; ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับการกำหนด
สมการของอีองค์ประกอบตัวตนของกลุ่มนี้เป็นจุดที่โดดเด่น
ทุม นอกจากนี้สามจุดที่แตกต่างกันรวมไป O ในกลุ่มและถ้าหากพวกเขา
มี collinear

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นรูปโค้งเหนือเหตุผลด้าน Q เป็นเส้นโค้งของพืช 1 กว่า Q ซึ่ง
พร้อมความโดดเด่นเข้าแง่จุด . ( พื้นหลังรูป
โค้ง , ผู้อ่านได้รับเชิญปรึกษา [ 13 ] [ 34 ] หรือ [ 28 ] , บทที่ IV )
โค้งซึ่งจะสนใจเรา ผู้ที่เกิดจากสมการ y = x
2
รวม ( X − ) ( X B )
( 1 )ที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์นายกรัฐมนตรีค่อนข้างกับ B ไม่เป็น .
โค้ง E ให้นี้รวมสมการคือเส้นโค้งใน projective เครื่องบิน P2
ให้ โดยบดแบบ ( 1 ) 1
y
2z = x
3 − ( − B ) x
2z − abxz2
;
จุด O จากนั้นจุดเฉพาะ " Infinity " ซึ่งมีเนื้อเดียวกัน
พิกัด ( 0 , 1 , 0 )
มันเป็นบ่อย ที่สำคัญดู E เป็นการสับเปลี่ยนพีชคณิตกลุ่ม
Q . โดยเฉพาะให้สองจุด p และ q e กับพิกัดในเขต
K ⊇ Q ( เราเขียน P , Q ∈ E ( K ) p q เป็นจำนวนที่กำหนด และการเกินพิกัดของ
K p q เป็น ฟังก์ชันเชือดในพิกัด
p และ q กับสัมประสิทธิ์ใน Q ; สัมประสิทธิ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับการกำหนด
สมการ Eเอกลักษณ์องค์ประกอบของกลุ่มนี้คือการนำจุด
o . เพิ่มเติม สามจุดที่แตกต่างกันรวมถึง O ในกลุ่มถ้าและเพียงถ้าพวกเขา collinear
เป็น