of tangential traction distribution

of tangential traction distributions such that the total traction in the d’irec- tion of the tangential motion at a radius r is
f(F) = 5k (I- $ )"' (1) i=j
where j is the smallest integer greater than nr/a. Any series form could have been used for the distribution of traction but this representation, owing something to Mindlin’s analytic solutions [1, 21, possesses the two virtues of giving analytically tractable expressions for tangential displacements and of including the exact solution for the condition of gross slip as a special case. An integral form of eqn. (1) has been explored to some advantage by Segedin [4] in connection with the normal indentation problem.
One equation for determining the n coefficients fi can be obtained from each of the II annuli. In stick regions the tangential displacement due to f(r)
is prescribed, whilst in slip regions f(r) = f Mp(r), where p(r) is the local nor- mal contact pressure.
We therefore assume a provisional division into stick and slip regions, solve the appropriate equations, and test the solution to see whether the ini- tial assumption was correct. In stick regions the tangential traction must be below the limits at which slip occurs, whereas in slip regions the relative incremental displacement must be in the correct sense for the assumed frictional traction. If these tests fail in any region, the assumption in that region is changed and a new solution is obtained. Convergence is rapid.
2.1. The normal contact problem
Since the materials of the two solids are similar, the symmetry of the
system guarantees that the normal contact problem is unaffected by tangen- tial tractions and hence the Hertzian theory can be used. If, at some instant during the impact, the relative normal approach at the contact is u,, the contact radius will be
b = (Ru,)~‘~
whilst the contact pressure distribution will be
o < r< b
’ .
r> b
(2)
(3)
P(r) = =0
2G(b2-F2)1’2 nR(l-u)
where R is the radius of the sphere and G, v are respectively the modulus of rigidity and Poisson’s ratio for the material [51. This corresponds to a total force
4b3G
P=
(4)
3R(l -v)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ของการกระจายแรงดึงวงดังกล่าวที่ฉุดรวมในศิลปวัตถุ irec- การเคลื่อนไหวของวงที่รัศมี r คือ
f (F) = 5k (I- $) "(1) i =
ญที่เจเป็นเลขที่เล็กที่สุดมากกว่า NR / a. รูปแบบชุดใด ๆ ที่จะได้รับใช้สำหรับการกระจายของแรงดึง แต่การแสดงนี้เนื่องจากบางสิ่งบางอย่างเพื่อแก้ปัญหาการวิเคราะห์ Mindlin ของ [1, 21, มีสองคุณธรรมของการให้การแสดงออกวิเคราะห์เวไนยสำหรับ displacements วงและรวมถึงที่แน่นอน วิธีแก้ปัญหาสำหรับสภาพของใบขั้นต้นเป็นกรณีพิเศษ. แบบฟอร์มหนึ่งของสม. (1) ได้รับการสำรวจเพื่อประโยชน์บางอย่างโดย Segedin [4] ในการเชื่อมต่อที่มีปัญหาการเยื้องปกติ.
หนึ่งสมการสำหรับการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ n ไฟสามารถ ที่ได้รับจากแต่ละ annuli II. ในภูมิภาคติดรางวงเนื่องจากการ f (R)
มีการกำหนดในขณะที่ในภูมิภาคใบ f (R) = ฉ Mp (R) ที่พี (R) เป็นรายชื่อผู้ติดต่อที่ปกติในท้องถิ่น ความดัน.
ดังนั้นเราจึงถือว่าเป็นส่วนชั่วคราวเข้าไปติดและภูมิภาคลื่นแก้สมการที่เหมาะสมและทดสอบวิธีการแก้ปัญหาเพื่อดูว่าสมมติฐาน TIAL เริ่มแรกได้ถูกต้อง ในพื้นที่ติดฉุดวงจะต้องต่ำกว่าขีด จำกัด ที่ใบเกิดขึ้นในขณะที่ในภูมิภาคสลิปการเคลื่อนที่ที่เพิ่มขึ้นเมื่อเทียบจะต้องอยู่ในความรู้สึกที่ถูกต้องสำหรับการลากเสียดทานสันนิษฐานว่า หากการทดสอบเหล่านี้ล้มเหลวในภูมิภาคใด ๆ สมมติฐานในพื้นที่ที่มีการเปลี่ยนแปลงและโซลูชั่นใหม่ที่จะได้รับ Convergence เป็นอย่างรวดเร็ว.
2.1 ปัญหาที่เกิดขึ้นติดต่อปกติเนื่องจากวัสดุของทั้งสองของแข็งที่มีความคล้ายคลึงสมมาตรของระบบรับประกันว่าปัญหาติดต่อปกติรับผลกระทบจากtractions TIAL tangen- และด้วยเหตุนี้ทฤษฎี Hertzian สามารถนำมาใช้ ถ้าในทันทีในช่วงผลกระทบบางวิธีการปกติญาติที่ติดต่อเป็นยู ,, รัศมีการติดต่อที่จะได้รับการb = (Ru) ~ '~ ขณะที่การกระจายแรงกดสัมผัสจะo <อาร์ <b. อาร์> ข(2) (3) P (R) = 0 2G (b2-F2) 1'2 NR (ลู) ที่ R คือรัศมีของทรงกลมและจีวีจะตามลำดับโมดูลัสของความแข็งแกร่งและอัตราของปัวซองสำหรับ วัสดุ [51 นี้สอดคล้องกับแรงรวม4b3G P = (4) 3R (ฏ -v)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ของการกระจายแรงสัมผัสดังกล่าวทั้งหมดในการลาก d'irec - tion ของการเคลื่อนไหวในแนวรัศมี R
F ( F ) = 5k ( I $ ' ) " ( 1 ) i J
J เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่ายาง / A ใด ๆชุดรูปแบบจะถูกใช้สำหรับ การกระจายของแรงดึง แต่การแสดงนี้ เนื่องจากสิ่งที่มินด์ลินเป็นโซลูชั่นการวิเคราะห์ [ 1 21ครบถ้วนสองคุณธรรมให้วิเคราะห์เครื่องทำน้ำร้อนการแสดงออกสำหรับสัมผัส displacements และรวมถึงโซลูชั่นสำหรับเงื่อนไขที่แน่นอนของรวมลื่นเป็นกรณีพิเศษ เป็นรูปแบบหนึ่งของ eqn . ( 1 ) ได้สำรวจบางประโยชน์โดย segedin [ 4 ] ในการเชื่อมต่อกับปัญหา
เยื้องปกติหนึ่งสมการกำหนด n สัมประสิทธิ์ฟีได้จากทั้ง 2 annuli . ในภูมิภาค เนื่องจากติดแนว + F ( R )
กำหนด ขณะที่ในภูมิภาคลื่น F ( r ) = F ( R ) , MP โดยที่ P ( R ) เป็นท้องถิ่นหรือแรงดัน - ติดต่อมัล .
ดังนั้นเราจึงถือว่ากองชั่วคราวเป็นไม้ และลื่น ภูมิภาค แก้สมการที่เหมาะสมและทดสอบโซลูชันดูว่า นี้ - tial สมมติฐานที่ถูกต้อง ในภูมิภาคต้องฉุดติดแนวด้านล่างขอบเขตที่ลื่นขึ้น ในขณะที่ในภูมิภาคลื่น การเคลื่อนที่สัมพัทธ์เพิ่มต้องอยู่ในความรู้สึกที่ถูกต้องสำหรับสมมติแรงเสียดทานแรงฉุด . หากการทดสอบนี้ล้มเหลวในภูมิภาคใด ๆ สมมติในภูมิภาคที่เปลี่ยนไป และโซลูชั่นใหม่จะได้รับบรรจบเป็นอย่างรวดเร็ว .
2.1 . ปกติปัญหาติดต่อ
ตั้งแต่วัสดุสองของแข็งจะคล้ายกัน สมมาตรของ
ระบบรับประกันว่าปัญหาติดต่อปกติจะไม่ได้รับผลกระทบโดย tangen - tractions tial และด้วยเหตุนี้ทฤษฎีการสั่นพ้องแบบสามารถใช้ ถ้าในบางทันทีในระหว่างที่มีญาติปกติวิธีการที่ติดต่อคุณได้ ติดต่อรัศมีจะ
b = ( ru ) ~ ' ~
ขณะที่ติดต่อกระจายความดันจะ
o < r < b
.
r > b

( 2 ) ( 3 )
p ( r ) = = 0 =
G ( b2-f2 ) 1 ' 2 NR ( l-u )
ที่ r คือรัศมีของทรงกลมและ G , V ตามลำดับค่าโมดูลัส ของความแข็งแกร่งและอัตราส่วนของปัวซองสำหรับวัสดุ [ 51 นี้สอดคล้องกับการรวมแรง
4b3g
p
( 4 )
3R ( L - V )