We consider the problem of estimati

We consider the problem of estimating a regression model of
the form
yi = x
′
iβ + εi, i = 1, . . . , n,
where yi
is a scalar, xi and β are k dimensional vectors with
k < n, and εi
is a random disturbance. Following Huber (1973),
an M-estimator of β is defined as
βˆ = arg min
b
−n
i=1
ρ

yi − x
′
i
b
δ

, (1)
where δ is a scale parameter, and ρ (·) is an even function that
is non-decreasing on the positive half-line. Generally speaking, βˆ
will be an estimate of the parameters of some location function
of the conditional distribution of y given x and its properties will
depend on the choice of ρ (·). For example, OLS and least absolute
deviations are special cases of (1) that estimate the conditional
mean and median, respectively.
The Mbw-estimator is based on the algorithm described in
Li (1985, pp. 335-6), which uses a re-weighted least squares
procedure based on biweights (Beaton and Tukey, 1974) and is
equivalent to
βˆ = arg max
b
1
nδ
−n
i=1
KT

yi − x
′
i
b
δ

, (2)
where KT (u) =
35
32 I [|u| ≤ 1]

1 − u
2
3
is the triweight kernel.
Expression (2) is recognizable as a non-parametric estimator of
the density of yi at x
′
i
b. Therefore, under appropriate regularity
conditions, the value of x
′
i
b that maximizes (2) corresponds to the
conditional mode of yi
, assumed to be a linear function of xi
.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราพิจารณาปัญหาของการประเมินแบบจำลองถดถอยของแบบฟอร์มyi = x′iβ + εi ฉัน = 1,..., nที่ยี่อานสเกลา และβ k เวกเตอร์มิติด้วยk < n และ εiเป็นไฟฟ้าที่สุ่ม ต่อไปนี้ฮูเบอร์ (1973),กำหนดเป็นผู้ประเมินที่ M ของβΒˆ =อาร์กิวเมนต์ของค่านาทีb−nฉัน = 1Ρyi − x′ผมbΔ, (1)ที่δพารามิเตอร์ขนาด และ (·) ρการแม้แต่ทำงานที่ไม่ใช่ลดบน half-line บวกได้ การพูดโดยทั่วไป βˆจะมีค่าประมาณพารามิเตอร์ของฟังก์ชันบางตำแหน่งการแจกจ่าย y กำหนดเงื่อนไข x และจะเป็นที่พักขึ้นอยู่กับทางเลือกของρ (·) ตัวอย่างเช่น OLS และแน่นอนอย่างน้อยความเบี่ยงเบนเป็นกรณีพิเศษ (1) ที่มีเงื่อนไขการประเมินค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน ตามลำดับMbw-ประเมินตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในหลี่ (1985, pp. 335-6), ซึ่งใช้เป็นสี่เหลี่ยมอย่างน้อยถ่วงน้ำหนักอีกครั้งขั้นตอนขึ้นอยู่ biweights (Beaton และ Tukey, 1974) และเทียบเท่าΒˆ =อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุดb1nδ−nฉัน = 1นอตyi − x′ผมbΔ, (2)ที่ KT (u) =3532 ผม [|u| ≤ 1]1 − u23มีเคอร์เนล triweightเป็นที่รู้จักในฐานะผู้ประเมินไม่ใช่พาราเมตริกของนิพจน์ (2)ความหนาแน่นของยี่ที่ x′ผมb.ดังนั้น ภายใต้เหมาะสมสม่ำเสมอเงื่อนไข ค่าของ x′ผมb ที่เพิ่ม (2) สอดคล้องกับการโหมดตามเงื่อนไขของยี่ถือว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของสี.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราพิจารณาปัญหาของการประเมินรูปแบบการถดถอยของ
แบบฟอร์ม
Yi = x
'
iβ + εi, i = 1 . . , N
ที่ Yi
เป็นเกลา Xi และβเวกเตอร์ k มิติที่มี
k <n และεi
เป็นความวุ่นวายสุ่ม ต่อไปนี้ฮิว (1973)
เอ็มประมาณการของβถูกกำหนดให้เป็น
β = หาเรื่องนาที
B
-n
i = 1
ρ

Yi - X
'
ฉัน
ข
δ

(1)
ที่δเป็นพารามิเตอร์ที่ขนาดและρ (· ) เป็นฟังก์ชั่นที่แม้
จะไม่ลดลงในเชิงบวกครึ่งบรรทัด โดยทั่วไปβ
จะประมาณการของพารามิเตอร์ของฟังก์ชั่นที่ตั้งบางส่วน
ของเงื่อนไขการจำหน่ายของ X Y และกำหนดคุณสมบัติของมันจะ
ขึ้นอยู่กับทางเลือกของρนี้ (·) ยกตัวอย่างเช่น OLS และแน่นอนอย่างน้อย
เบี่ยงเบนเป็นกรณีพิเศษ (1) ที่ประเมินเงื่อนไข
ค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานตามลำดับ.
MBW-ประมาณการจะขึ้นอยู่กับขั้นตอนวิธีการที่อธิบายไว้ใน
Li (1985, PP. 335-6) ซึ่งใช้ Re สี่เหลี่ยมน้ำหนักน้อย
ขั้นตอนขึ้นอยู่กับ biweights (ตันและ Tukey, 1974) และเป็นที่
เทียบเท่ากับ
β = หาเรื่องสูงสุด
B
1
nδ
-n
i = 1
KT

Yi - x
'
ฉัน
ข
δ

(2)
ที่ KT (U ) =
35
32 ฉัน [| U | ≤ 1]

1 - U
2
3
. เป็นเคอร์เนล triweight
Expression (2) เป็นที่จดจำได้เป็นประมาณการที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ของ
ความหนาแน่นของ Yi ที่แกน x
'
ฉัน
b ดังนั้นภายใต้ระเบียบที่เหมาะสม
เงื่อนไขค่าของ x
'
ฉัน
B ที่เพิ่ม (2) สอดคล้องกับ
โหมดเงื่อนไขของ Yi
สันนิษฐานว่าจะเป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้นของ
Xi

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราพิจารณาปัญหาของการประมาณแบบจำลองการถดถอยของแบบฟอร์มยี = xนั้นผมεบีตา + ฉัน = 1 , . . . . . . . . , N ,ที่ อีเป็นสเกลาร์และเวกเตอร์ , Xi บีตา k มิติกับและฉันε K < nคือสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม ตามเบอร์ ( 1973 )การ m-estimator ของบีตาหมายถึงβˆ = ARG มินบีบริษัท เวสเทิร์น แอนด์ฉัน = 1ρบริษัท เวสเทิร์น อีเอ็กซ์นั้นฉันบีδ( 1 )ที่δเป็นพารามิเตอร์แสดงสเกลและρ ( Suite ) เป็นฟังก์ชันแม้ว่าไม่ลดลงในบรรทัดครึ่งบวก โดยทั่วไปแล้วβˆจะเป็นค่าประมาณของค่าพารามิเตอร์ของฟังก์ชันบางสถานที่ของเงื่อนไขการกระจายของ X และ Y ให้คุณสมบัติของมันจะขึ้นอยู่กับทางเลือกของρ ( ด้วย ) ตัวอย่าง วิธี OLS และอย่างน้อยที่สัมบูรณ์ส่วนกรณีพิเศษ ( 1 ) ที่ประเมินเงื่อนไขค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน ตามลำดับระบบการประมาณการจะขึ้นอยู่กับขั้นตอนวิธีที่อธิบายไว้ในลี ( 1985 , pp . 335-6 ) ซึ่งใช้เป็นแบบกำลังสองน้อยที่สุดขั้นตอนตาม biweights ( บีตัน และคู่ , 1974 ) และเทียบเท่ากับβˆ = อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุดบี1N δบริษัท เวสเทิร์น แอนด์ฉัน = 1เคทีบริษัท เวสเทิร์น อีเอ็กซ์นั้นฉันบีδ( 2 )ที่ KT ( U ) =35ฉัน | u | ≤ [ 1 ]1 − U2 3เป็น triweight เคอร์เนลการแสดงออกทางสีหน้า ( 2 ) เป็นที่รู้จักในฐานะที่ไม่ใช้พารามิเตอร์การประมาณของความหนาแน่นของยี ที่ Xนั้นฉันบี ดังนั้น ภายใต้ระเบียบที่เหมาะสมเงื่อนไข ค่าของ xนั้นฉันB ที่เพิ่ม ( 2 ) สอดคล้องกับโหมดสี ของ อี, ถือว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของซี.