Definition 2.1. Let ζ: [0, ∞) × [0,

Definition 2.1. Let ζ: [0, ∞) × [0, ∞) → R be a mapping, then ζ is called a simulation function if it satisfies the
following conditions:
(ζ1) ζ(0, 0) = 0;
(ζ2) ζ(t,s) < s − t for all t,s > 0;
(ζ3) if {tn}, {sn} are sequences in (0, ∞) such that limn→ ∞
tn = limn→ ∞
sn > 0 then
lim sup
n→ ∞
ζ(tn,sn) < 0.
We denote the set of all simulation functions by Z.
Next, we give some examples of the simulation function.
Example 2.2. Let ζi
: [0, ∞) × [0, ∞) → R, i = 1, 2, 3 be defined by
(i) ζ1(t,s) = ψ(s)−φ(t) for all t,s ∈ [0, ∞), where φ, ψ: [0, ∞) → [0, ∞) are two continuous functions such that
ψ(t) = φ(t) = 0 if and only if t = 0 and ψ(t) < t ≤ φ(t) for all t > 0.
(ii) ζ2(t,s) = s −
f(t,s)
1(t,s)
t for all t,s ∈ [0, ∞), where f, 1: [0, ∞) → (0, ∞) are two continuous functions with
respect to each variable such that f(t,s) > 1(t,s) for all t,s > 0.
(iii) ζ3(t,s) = s−ϕ(s)−t for all t,s ∈ [0, ∞), where ϕ: [0, ∞) → [0, ∞) is a continuous function such that ϕ(t) = 0
if and only if t = 0.
Then ζi
for i = 1, 2, 3 are simulation functions.
Definition 2.3. Let (X, d) be a metric space, T: X → X a mapping and ζ ∈ Z. Then T is called a Z-contraction
with respect to ζ if the following condition is satisfied
ζ(d(Tx, Ty), d(x, y)) ≥ 0 for all x, y ∈ X. (1)
A simple example of Z-contraction is the Banach contraction which can be obtained by taking λ ∈ [0, 1)
and ζ(t,s) = λs − t for all s, t ∈ [0, ∞) in above definition.
We now prove some properties of Z-contractions defined on a metric space.
Remark 2.4. It is clear from the definition simulation function that ζ(t,s) < 0 for all t ≥ s > 0. Therefore, if T is a
Z-contraction with respect to ζ ∈ Z then
d(Tx, Ty) < d(x, y) for all distinct x, y ∈ X.
This shows that every Z−contraction mapping is contractive, therefore it is continuous.
In the following lemma the uniqueness of fixed point of a Z-contraction is proved.
Lemma 2.5. Let (X, d) be a metric space and T: X → X be a Z-contraction with respect to ζ ∈ Z. Then the fixed
point of T in X is unique, provided it exists.
Proof. Suppose u ∈ X be a fixed point of T. If possible, let v ∈ X be another fixed point of T and it is distinct
from u, that is, Tv = v and u , v. Now it follows from (1) that
0 ≤ ζ(d(Tu, Tv), d(u, v)) = ζ(d(u, v), d(u, v)).
In view of Remark 2.4, above inequality yields a contradiction and proves result.
A self map T of a metric space (X, d) is said to be asymptotically regular at point x ∈ X if limn→ ∞
d(T
nx, T
n+1x) = 0
(see [3]).
The next lemma shows that a Z-contraction is asymptotically regular at every point of X.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นิยาม 2.1 ให้ζ: [0, ∞) × [0, ∞) → R เป็นการแม็ป แล้วζเรียกว่าฟังก์ชันจำลองถ้ามันตอบสนองการเงื่อนไขต่อไปนี้:Ζ (Ζ1) (0, 0) = 0Ζ(t,s) (ζ2) < t − s สำหรับทุก t, s > 0(Ζ3) ถ้า {tn }, {sn } เป็นลำดับ (0 ∞) ดังกล่าวที่∞ limn→tn = limn→ ∞sn > 0 แล้วริมทรัพย์n→ ∞Ζ(tn,sn) < 0 งานเราแสดงชุดของฟังก์ชันจำลองทั้งหมดโดย Zถัดไป เราสามารถให้ตัวอย่างของฟังก์ชันการจำลองตัวอย่างที่ 2.2 ให้ ζi: [0, ∞) × [0, ∞) → R ฉัน = 1, 2, 3 สามารถกำหนดได้ตาม(i) ζ1(t,s) = ψ(s)−φ(t) สำหรับทุก t, s ∈ [0, ∞) ที่φ ψ: [0, ∞) → [0, ∞) มีสองฟังก์ชันต่อเนื่องที่Ψ(t) = φ(t) =ถ้า 0 และ t = 0 และ ψ(t) < φ(t) ≤ t สำหรับทุก t > 0(ii) ζ2(t,s) = s −f(t,s)1(t,s)t สำหรับทุก t, s ∈ [0, ∞) ที่ f, 1: [0, ∞) → (0 ∞) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่สองด้วยความเคารพแต่ละตัวแปรดังกล่าวนั้น f(t,s) > 1(t,s) สำหรับทุก t, s > 0(iii) ζ3(t,s) = −t s−ϕ(s) สำหรับทุก t, s ∈ [0, ∞) ที่ϕ: [0, ∞) → [0, ∞) ทำงานต่อเนื่องเช่นที่ ϕ(t) = 0ถ้าและเดียวถ้า t = 0แล้ว ζiสำหรับ i = 1, 2, 3 มีฟังก์ชันการจำลองการนิยาม 2.3 ให้ (X, d) เป็นตัวชี้วัดพื้นที่ t: X → X ∈การแม็ปและζ Z แล้วเรียกว่า T Z-หดเกี่ยวกับζถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้จะพอใจΖ (d (Tx, Ty) d (x, y)) ≥ 0 สำหรับทุก x, y ∈ X. (1)ตัวอย่างง่าย ๆ ของ Z-หดจะหด Banach ซึ่งสามารถได้รับλ∈ [0, 1)และ ζ(t,s) = λs − t สำหรับทั้ง s, t ∈ [0, ∞) ในนิยามข้างต้นเราตอนนี้พิสูจน์คุณสมบัติบางอย่างของ Z-หดกำหนดในพื้นที่วัดหมายเหตุ 2.4 ล้างจากการนิยามฟังก์ชันจำลองที่ ζ(t,s) < 0 สำหรับทุก t ≥ s > 0 ได้ ดังนั้น ถ้า T เป็นการZ-หดเกี่ยวกับζ∈ Z แล้วd (Tx, Ty) < d (x, y) สำหรับแตกต่างทั้งหมด x, y ∈ Xนี้แสดงว่า ทุกแมป Z−contraction contractive ดังนั้น มันเป็นอย่างต่อเนื่องใน lemma ต่อไปนี้ เป็นพิสูจน์เอกลักษณ์ของจุดคงที่ของการหดตัว ZLemma 2.5 ให้ (X, d) เป็นพื้นที่วัด และ t: X → X Z-หดเกี่ยวกับζ∈ Z แล้วถาวรจุด T ใน X ที่ไม่ซ้ำกัน ให้มีอยู่หลักฐาน สมมติว่า u ∈ X เป็นจุดคงที่ของต. ถ้าเป็นไปได้ ∈ v ให้ X เป็นอีกจุดคงที่ T และก็แตกต่างกันจาก u คือ ทีวี = v และคุณ v ตอนนี้ดังนั้นจาก (1) ที่Ζ≤ 0 (d (Tu ทีวี) d (u, v)) =ζ (d (u, v) d (u, v))เหตุเหตุ 2.4 เหนือความไม่เท่าเทียมกันทำให้ความขัดแย้ง และพิสูจน์ผลแผนที่เอง T พื้นที่วัด (X, d) กล่าวว่า เป็นปกติ asymptotically ที่จุด x ∈ X ถ้า limn→ ∞d (Tnx, Tn + x 1) = 0(ดู [3])Lemma ถัดไปแสดงว่า Z-หดตัวเป็นปกติ asymptotically ที่ทุกจุดของ X

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นิยาม 2.1 ให้ζ: [0, ∞) × [0, ∞) → R จะทำแผนที่แล้วζเรียกว่าฟังก์ชั่นการจำลองถ้ามันตรงกับ
เงื่อนไขต่อไปนี้:
(ζ1) ζ (0, 0) = 0;
(ζ2) ζ (T, s) <s - T สำหรับ t ทั้งหมด, s> 0;
(ζ3) ถ้า {TN}, {SN} เป็นลำดับใน (0, ∞) เช่นที่บรรยาย→∞
TN = บรรยาย→∞
SN> 0 แล้ว
Lim SUP
n ∞→การ
ζ (TN, SN) < 0.
เราแสดงว่าชุดของฟังก์ชั่นการจำลองโดยซี
ต่อไปเราจะยกตัวอย่างบางส่วนของฟังก์ชั่นการจำลอง.
ตัวอย่าง 2.2 ให้ζi
: [0, ∞) × [0, ∞) → R, i = 1, 2, 3 ถูกกำหนดโดย
(i) ζ1 (t, s) = ψ (s) -φ (T) สำหรับ t ทั้งหมด s ∈ [0, ∞) ซึ่งφ, ψ: [0, ∞) → [0, ∞) เป็นสองฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องเช่นที่
ψ (t) = φ (t) = 0 และถ้าหาก t = 0 และψ (T) <T ≤φ (T) สำหรับทุก T> 0
(ii) ζ2 (t, s) = s -
F (T, s)
1 (t, s)
T สำหรับ t ทั้งหมด, s ∈ [0, ∞) ซึ่ง F, 1: [0, ∞) → (0, ∞) เป็นสองฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องที่มี
ความเคารพในแต่ละตัวแปรดังกล่าวว่า f (T, s)> 1 (t, s) สำหรับ t ทั้งหมด, s> 0 .
(iii) ζ3 (t, s) = s-φ (s) t-สำหรับ t ทั้งหมด, s ∈ [0, ∞) ซึ่งφ: [0, ∞) → [0, ∞) เป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องดังกล่าว ที่φ (t) = 0
และถ้าหาก T = 0
แล้วζi
for i = 1, 2, 3 ฟังก์ชั่นการจำลอง.
ความละเอียด 2.3 Let (X, D) จะเป็นพื้นที่เมตริก T: X X →การทำแผนที่และζ∈ซีแล้ว T จะเรียกว่า Z-หด
ด้วยความเคารพζถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่พอใจ
ζ (D (TX ไท) d (x, y)) ≥ 0 สำหรับทุก x, y ∈เอ็กซ์ (1)
ตัวอย่างง่ายๆของ Z-หดตัวจะหดนาคซึ่งสามารถหาได้โดยการλ∈ [0, 1)
และζ (T, s ) = λs - T สำหรับทุก s, T ∈ [0, ∞) ในความหมายดังกล่าวข้างต้น.
ตอนนี้เราพิสูจน์คุณสมบัติของ Z-หดกำหนดไว้ในพื้นที่ตัวชี้วัดบาง.
หมายเหตุ 2.4 มันเป็นที่ชัดเจนจากฟังก์ชั่นการจำลองความหมายว่าζ (T, S) <0 สำหรับทุก T ≥ s> 0 ดังนั้นถ้า T เป็น
Z-หดด้วยความเคารพζ∈ Z แล้ว
D (TX ไท) <D ( x, y) สำหรับทุก x ที่แตกต่างกัน, y ∈เอ็กซ์
นี้แสดงให้เห็นว่าทุกคนทำแผนที่ Z-หดตัวเป็น contractive จึงเป็นอย่างต่อเนื่อง.
ในแทรกต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ของจุดคงที่ของ Z-หดตัวพิสูจน์.
แทรก 2.5 Let (X, D) เป็นพื้นที่ตัวชี้วัดและ T: X → X เป็น Z-หดด้วยความเคารพζ∈ซีนั้นคง
. จุด T ใน X เป็นที่ไม่ซ้ำกันให้มันมีอยู่
หลักฐาน สมมติว่า U ∈ X จะเป็นจุดคงที่ของ T. ถ้าเป็นไปได้ให้ V ∈ X เป็นอีกจุดคงที่ของ T และมันแตกต่าง
จาก U, ที่อยู่, TV = V และ u, v. ตอนนี้มันดังมาจาก (1) ว่า
0 ≤ζ (D (Tu, TV), D (U, V)) = ζ (D (U, V), D (U, V)).
ในมุมมองของหมายเหตุ 2.4 ข้างต้นไม่เท่าเทียมกันทางผลตอบแทนถัวเฉลี่ยความขัดแย้งและพิสูจน์ผล .
แผนที่ตัวเอง T ของพื้นที่ตัวชี้วัด (x, D) จะกล่าวว่าเป็น asymptotically ปกติที่จุด x ∈ x ถ้าบรรยาย→∞
d (T
NX, เสื้อ
+ n 1x) = 0
(ดู [3]).
ต่อไป แทรกแสดงให้เห็นว่า Z-หดตัวเป็นปกติ asymptotically ณ จุดเอ็กซ์ทุก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความละเอียด 2.1 . ให้ζ : [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) → keyboard - key - name R เป็นแผนที่ แล้วζเรียกว่าการจำลองการทำงานถ้ามันน่าพอใจเงื่อนไขต่อไปนี้ :( ζζ 1 ) ( 0 , 0 ) = 0 ;( ζ 2 ) ζ ( t , s ) < s − T ทั้งหมด t , S > 0 ;( ζ 3 ) ถ้า { TN } { SN } เป็นลำดับ ( 0 , ∞ ) เช่นที่บรรยาย∞→ keyboard - key - nameTN = บรรยาย∞→ keyboard - key - nameSN > 0 แล้วริมทรัพย์∞ N → keyboard - key - nameζ ( TN , SN ) < 0เราหมายถึงชุดของฟังก์ชั่นการจำลองโดย Zต่อไป เราจะให้บางตัวอย่างของฟังก์ชันจำลองตัวอย่างที่ 2.2 . ให้ζฉัน: [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) → keyboard - key - name R , i = 1 , 2 , 3 ถูกกำหนดโดย( ผม ) ζ 1 ( t , s ) = ψ ( s ) −φ ( T ) ทั้งหมด t , S ∈ [ 0 , ∞ ) ที่φψ , [ 0 ∞ ) → keyboard - key - name [ 0 , ∞ ) สองฟังก์ชันที่ต่อเนื่องψ ( t ) = φ ( t ) = 0 ถ้าและเพียงถ้า t = 0 และψ ( T ) ( T ) φ < t ≤ทั้งหมด t > 0( 2 ) ζ 2 ( t , s ) = s −F ( t , s )1 ( t , s )T ทั้งหมดที่ T , S ∈ [ 0 , ∞ ) ที่ F 1 : [ 0 , ∞ ) → keyboard - key - name ( 0 , ∞ ) สองฟังก์ชันที่มีอย่างต่อเนื่องเคารพในแต่ละตัวแปร เช่น f ( t , s ) 1 ( t , s ) ทั้งหมด t , S > 0( 3 ) ζ 3 ( t , s ) = S ( s ) −ϕ− T ทั้งหมด t , S ∈ [ 0 , ∞ ) ที่ϕ : [ 0 , ∞ ) → keyboard - key - name [ 0 , ∞ ) คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง เช่น ϕ ( t ) = 0ถ้าและเพียงถ้า t = 0แล้วζฉันสำหรับฉัน = 1 , 2 , 3 เป็นฟังก์ชันจำลองความละเอียด 2.3 ให้ ( x , D ) เป็นปริภูมิอิงระยะทาง , t : x → keyboard - key - name X แผนที่และζ∈แล้วไม่เรียกว่า z-contraction Zด้วยความเคารพζถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นพอใจζ ( D ( TX , ไท ) , D ( X , Y ) ) ≥ 0 X , Y ∈ ( 1 ) Xตัวอย่างง่าย ๆคือ การหดตัวของ z-contraction นาคซึ่งสามารถรับได้โดยการλ∈ [ 0 , 1 )และ ζ ( t , s ) = λ s − T สำหรับทุก s , t ∈ [ 0 , ∞ ) ในความหมายข้างต้นตอนนี้เราพิสูจน์คุณสมบัติบางอย่างของ z-contractions กำหนดบนปริภูมิเมตริก .หมายเหตุ 2.4 . มันเป็นที่ชัดเจนจากคำนิยามการจำลองการทำงานที่ζ ( t , s ) < 0 ทั้งหมด T ≥ S > 0 ดังนั้นถ้า T เป็นz-contraction ด้วยความเคารพζ∈ Z แล้วD ( TX , ไท ) < d ( x , y ) ที่แตกต่างกันสำหรับ x , y ∈ Xนี้แสดงให้เห็นว่าทุก Z แผนที่ติดต่อ−เป็น contractive จึงเป็นอย่างต่อเนื่องในต่อไปนี้รูปแบบเอกลักษณ์ของจุดคงที่ของ z-contraction พิสูจน์ .แทรก 2.5 ให้ ( x , D ) เป็นปริภูมิเมตริกและ T : x → keyboard - key - name x เป็น z-contraction ด้วยความเคารพζ∈ Z แล้วคงที่จุด t X เป็นเอกลักษณ์ ให้มันมีอยู่พิสูจน์ สมมติว่าคุณ∈ X เป็นจุดคงที่ของ ถ้าเป็นไปได้ ขอวี∈ X เป็นอีกจุดคงที่และมันแตกต่างกันจากคุณ นั่นคือ ทีวี = V และ U , V ตอนนี้มันว่า ( 1 )0 ≤ζ ( D ( มธ. , ทีวี ) , D ( u , v ) = ζ ( D ( u , v ) D ( u , v ) )ในมุมมองของหมายเหตุ 2.4 เหนือความขัดแย้งผลผลิตและพิสูจน์ผลตนเองเป็นแผนที่ของพื้นที่ระบบเมตริก ( x , D ) กล่าวว่า จะ asymptotically ปกติที่จุด X ∈ x ถ้าบรรยาย∞→ keyboard - key - nameD ( tNX , Tn + 1 ) = 0( ดู [ 3 ] )ที่แสดงให้เห็นว่า z-contraction แทรกถัดไปคือ asymptotically ปกติทุกจุดของ X