The real numbers include all of the

The real numbers include all of the measuring numbers. Real numbers are usually written using decimal numerals, in which a decimal point is placed to the right of the digit with place value 1. Each digit to the right of the decimal point has a place value one-tenth of the place value of the digit to its left. Thus
123.456,
represents 1 hundred, 2 tens, 3 ones, 4 tenths, 5 hundredths, and 6 thousandths. In saying the number, the decimal is read "point", thus: "one two three point four five six". In the US and UK and a number of other countries, the decimal point is represented by a period, whereas in continental Europe and certain other countries the decimal point is represented by a comma. Zero is often written as 0.0 when it must be treated as a real number rather than an integer. In the US and UK a number between −1 and 1 is always written with a leading 0 to emphasize the decimal. Negative real numbers are written with a preceding minus sign:
-123.456.,
Every rational number is also a real number. It is not the case, however, that every real number is rational. If a real number cannot be written as a fraction of two integers, it is called irrational. A decimal that can be written as a fraction either ends (terminates) or forever repeats, because it is the answer to a problem in division. Thus the real number 0.5 can be written as 1⁄2 and the real number 0.333... (forever repeating 3s, otherwise written 0.3) can be written as 1⁄3. On the other hand, the real number π (pi), the ratio of the circumference of any circle to its diameter, is
pi = 3.14159265358979dots.,
Since the decimal neither ends nor forever repeats, it cannot be written as a fraction, and is an example of an irrational number. Other irrational numbers include
sqrt{2} = 1.41421356237 dots,
(the square root of 2, that is, the positive number whose square is 2).
Thus 1.0 and 0.999... are two different decimal numerals representing the natural number 1. There are infinitely many other ways of representing the number 1, for example 2⁄2, 3⁄3, 1.00, 1.000, and so on.
Every real number is either rational or irrational. Every real number corresponds to a point on the number line. The real numbers also have an important but highly technical property called the least upper bound property. The symbol for the real numbers is R, also written as mathbb{R}.
When a real number represents a measurement, there is always a margin of error. This is often indicated by rounding or truncating a decimal, so that digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself are removed. The remaining digits are called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 meters. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 meters and 4.56 meters, then multiplication gives an area for the rectangle of 5.6088 square meters. Since only the first two digits after the decimal place are significant, this is usually rounded to 5.61.
In abstract algebra, it can be shown that any complete ordered field is isomorphic to the real numbers. The real numbers are not, however, an algebraically closed field.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จริงตัวเลขรวมทั้งหมดของตัวเลขการวัด ตัวเลขจริงมักจะเขียนโดยใช้ตัวเลขทศนิยมซึ่งจุดทศนิยมจะถูกวางไว้ที่ด้านขวาของหลักที่มีค่าสถานที่ 1 แต่ละหลักไปทางขวาของจุดทศนิยมมีค่าสถานที่หนึ่งในสิบของค่าสถานที่ของหลักไปทางซ้ายของตน จึง
123.456
ถึง 1 แสน 2 หมื่น 3 คน, 4/10, 5/100,และ 6/1000 ในการบอกจำนวนทศนิยมจะอ่าน "จุด", ดังนี้: "หนึ่งสองสามสี่จุดห้าหก" ในเราและสหราชอาณาจักรและจำนวนของประเทศอื่น ๆ , จุดทศนิยมเป็นตัวแทนของช่วงเวลาในขณะที่ทวีปยุโรปและประเทศอื่น ๆ บางจุดทศนิยมจะแสดงด้วยเครื่องหมายจุลภาค ศูนย์มักจะเขียนเป็น 00 เมื่อมันต้องถือว่าเป็นจำนวนจริงมากกว่าจำนวนเต็ม ในเราและสหราชอาณาจักรตัวเลขระหว่าง -1 และ 1 มักจะเขียนด้วย 0 ชั้นนำเพื่อเน้นทศนิยม จำนวนจริงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบก่อนหน้านี้:.
-123.456
ทุกจำนวนจริงยังเป็นจำนวนจริง มันเป็นกรณีที่ไม่ แต่ที่ทุกจำนวนที่แท้จริงคือเหตุผลถ้าจำนวนจริงที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนจะเรียกว่าไม่มีเหตุผล ทศนิยมที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนปลายทั้ง (ยุติ) หรือตลอดไปซ้ำเพราะมันเป็นคำตอบในการแก้ไขปัญหาในส่วนที่ ดังนั้นจำนวนจริง 0.5 สามารถเขียนเป็น 1/2 และจำนวนจริง .333 ... (3s ตลอดการทำซ้ำที่เขียนเป็นอย่างอื่น 0.3) สามารถเขียนเป็น 1/3 บนมืออื่น ๆ ,จำนวนจริงπ (PI), อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมเส้นผ่าศูนย์กลางใด ๆ ที่เป็น
pi = 3.14159265358979 จุด.
ตั้งแต่ทศนิยมสิ้นสุดมิได้ตลอดไปซ้ำมันไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนและ เป็นตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขไม่ลงตัวอื่น ๆ รวมถึง
sqrt {2} = 1.41421356237 dots
(รากที่สองของ 2 คือจำนวนบวกที่มีตาราง 2). จึง
10 และ 0.999 ... มีสองตัวเลขทศนิยมที่แตกต่างกันที่เป็นตัวแทนของจำนวนธรรมชาติ 1 มีเพียบหลายวิธีอื่น ๆ แทนจำนวน 1 ตัวอย่างเช่น 2/2, 3/3, 1.00, 1.000 และอื่น ๆ .
ทุกจำนวนจริงเป็นได้ทั้งที่มีเหตุผลหรือไม่มีเหตุผล ทุกจำนวนจริงที่สอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวนตัวเลขจริงยังมีคุณสมบัติที่สำคัญ แต่เทคนิคชั้นสูงที่เรียกว่าอย่างน้อยในสถานที่ จำกัด บน สัญลักษณ์ของจำนวนจริง r คือเขียนยังเป็น mathbb {R}.
เมื่อจำนวนจริงแสดงให้เห็นถึงการวัดมีอยู่เสมอขอบของข้อผิดพลาด นี้มักจะแสดงโดยปัดเศษหรือตัดทอนทศนิยม,เพื่อที่ว่าตัวเลขที่แสดงให้เห็นความถูกต้องมากกว่าการวัดตัวเองจะถูกลบออก ตัวเลขที่เหลือจะเรียกว่าเลขนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่นการวัดด้วยไม้บรรทัดสามารถแทบจะทำได้โดยไม่ต้องขอบของข้อผิดพลาดอย่างน้อย 0.001 เมตร ถ้าด้านของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่วัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.5​​6 เมตรแล้วคูณให้พื้นที่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจาก 56088 ตารางเมตร เพราะมีเพียงตัวเลขสองหลักแรกหลังจากที่ทศนิยมมีความสำคัญนี้ถูกปัดเศษมักจะ 5.61.
ในพีชคณิตนามธรรมก็สามารถแสดงให้เห็นว่าสาขาที่ได้รับคำสั่งให้สมบูรณ์ isomorphic ไปยังหมายเลขที่แท้จริง ตัวเลขจริงไม่ได้ แต่สนามพีชคณิตปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนจริงรวมทั้งหมดของหมายเลขวัด จำนวนจริงมักจะเขียนโดยใช้ตัวเลขทศนิยม ที่จุดทศนิยมอยู่ทางด้านขวาของตัวเลขที่มีค่า 1 สถานที่ค่าหนึ่งส่วนสิบของค่าตำแหน่งของตัวเลขที่ด้านซ้ายของแต่ละตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยมได้ ดังนั้น
123.456,
แทนสิบ 2, 3, 4, 1 ร้อยหนึ่งตำแหน่ง 5 เป็นหนึ่งส่วนร้อย และ 6 thousandths ในการบอกหมายเลข จุดทศนิยมจะอ่าน "ชี้" ดัง: "หนึ่งสองสามจุดสี่ห้าหก" ในสหรัฐอเมริกา และสหราชอาณาจักร และประเทศอื่น ๆ จำนวนหนึ่ง จุดทศนิยมจะถูกแสดงตามรอบระยะเวลา ในขณะที่ในทวีปยุโรปและประเทศอื่น ๆ บาง จุดทศนิยมจะแทน ด้วยเครื่องหมายจุลภาค ศูนย์มักจะเขียนเป็น 00 เมื่อต้องถือว่าเป็นจำนวนจริงแทนที่เป็นจำนวนเต็ม มักจะถูกเขียนตัวเลขระหว่าง 1 และ −1 ในสหรัฐอเมริกาและสหราชอาณาจักร มี 0 เพื่อเน้นจุดทศนิยม จำนวนจริงลบจะเขียน ด้วยตัวก่อนหน้าลบ sign:
-123.456.,
Every เชือดจำนวนเป็นจำนวนจริง ไม่ใช่ อย่างไรก็ตาม ว่าจำนวนจริงทุกเชือดได้ ถ้าไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนจริง จะเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ ทศนิยมที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนปลายทั้งสอง (ยุติ) หรือทำซ้ำตลอดไป เนื่องจากตอบปัญหาในส่วนนั้น ดังนั้น สามารถเขียนจำนวนจริง 0.5 1⁄2 และจำนวนจริง 0.333 ... (ตลอดซ้ำ 3s หรือเขียน 0.3) สามารถเขียนเป็น 1⁄3 ในทางตรงข้าม เป็นจำนวนจริงπ (pi), อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมใด ๆ จะเป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง
pi = 3.14159265358979dots.,
Since จุดทศนิยมไม่มีการสิ้นสุด หรือตลอดไป ซ้ำ ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน และเป็นตัวอย่างเป็นจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะอื่น ๆ รวม
sqrt { 2 } = 1.41421356237 dots,
(the square root of 2, that is, the positive number whose square is 2).
1 ดังนั้น0 และ 0.999 ... เป็นตัวเลขทศนิยมแตกต่างกันสองตัวแทนหมายธรรมชาติ 1 เพียบมีวิธีอื่นแสดงหมายเลข 1 เช่น 2⁄2, 3⁄3, 1.00, 1.000 และอื่น ๆ .
ทุกจำนวนจริงจะเชือด หรือจำนวนอตรรกยะ ทุกจำนวนจริงที่สอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน จำนวนจริงยังมีลักษณะสำคัญ แต่ทางเทคนิคสูงที่เรียกว่าคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุด สัญลักษณ์สำหรับจำนวนจริง R เขียนเป็น mathbb{R}.
When จำนวนจริงแทนการประเมิน มีระยะขอบของข้อผิดพลาดอยู่เสมอ นี้มักจะแสดง โดยการปัดเศษ หรือตัดทอนทศนิยม เพื่อให้ตัวเลขที่แนะนำความถูกต้องมากขึ้นกว่าการประเมินตัวเองจะถูกเอาออก ตัวเลขที่เหลือเรียกว่านัย ตัวอย่าง วัด ด้วยไม้บรรทัดแทบจะไม่ มีระยะขอบของข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.001 เมตร ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจะวัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.56 เมตร แล้วคูณให้พื้นที่สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า 56088 ตารางเมตร ตั้งแต่เพียงตัวเลขที่สองหลังจากตำแหน่งทศนิยมสำคัญ นี้จะมักจะปัดไป 5.61.
ในพีชคณิตนามธรรม มันสามารถแสดงว่าฟิลด์ใดก็สั่งสมบูรณ์ isomorphic จำนวนจริงได้ จำนวนจริงไม่ อย่างไรก็ตาม การฟิลด์ไว้ algebraically ปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวเลขที่แท้จริงรวมถึงหมายเลขการวัดทั้งหมด ตัวเลขแท้จริงที่ได้รับเป็นลายลักษณ์อักษรโดยใช้ตัวเลขฐานสิบที่มีทศนิยมตำแหน่งที่ถูกวางไว้ที่ด้านขวาของค่าหลักพร้อมด้วยสถานที่ที่ 1 โดยปกติแล้ว ตัวเลขแต่ละตัวที่ด้านขวาของมีทศนิยมตำแหน่งที่มีความคุ้มค่าที่หนึ่งในสิบของมูลค่าที่ของหลักที่อยู่ทางซ้ายของตน ดังนั้น
123.456 n แสดงถึง 1 แสน 2 หมื่นคนต้อง 3 คนที่ 4 ส่วนสิบ 5 ร้อยauto _ raise ถูกตั้งระบุเวลาและ 6 . ในการพูดหมายเลขที่มีทศนิยมตำแหน่งที่มีการอ่าน"จุด"ว่า"หนึ่งสองสามจุดสี่,ห้า,หก". ในสหรัฐและอังกฤษและจำนวนของประเทศอื่นๆมีทศนิยมตำแหน่งคือการแสดงออกด้วยช่วงเวลาที่อยู่ในยุโรปแบบคอนติเน็นทัลและประเทศอื่นบางมีทศนิยมตำแหน่งคือการแสดงออกด้วยเครื่องหมายจุล ภาค Zero Configuration ถูกเขียนขึ้นเป็น 0 บ่อยครั้ง0 เมื่อจะต้องได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นจำนวนที่แท้จริงมากกว่าจำนวนเต็มที่. ในสหรัฐและอังกฤษหนึ่งหมายเลขระหว่าง 1 และ 1 มีการเขียนพร้อมด้วยชั้นนำที่ 0 เพื่อเน้นย้ำถึงสิบอยู่เสมอ หมายเลขอย่างแท้จริงติดลบเป็นลายลักษณ์อักษรพร้อมด้วยก่อนเครื่องหมายลบ:
-123.456 . n หมายเลขอย่างมีเหตุผลทุกครั้งยังเป็นจำนวนที่แท้จริงที่ มันไม่ใช่กรณีที่จำนวนที่แท้จริงทุกครั้งมีเหตุผลหากจำนวนที่แท้จริงที่ไม่สามารถเขียนเป็นเพียงเศษเสี้ยวของสอง integers จะเรียกว่าไม่ลงตัว ตำแหน่งทศนิยม:ที่สามารถเขียนเป็นเพียงเศษเสี้ยวหนึ่งซึ่งอาจจะสิ้นสุดลง(สิ้นสุดลง)หรือตลอดไป:เล่นซ้ำเพราะมันเป็นคำตอบที่เกิดปัญหาในการแบ่งแยก ดังนั้นจริงจำนวน 0.5 ที่สามารถเขียนเป็น 1 ⁄ 2 และที่หมายเลข 0.333 (ตลอดไป 3 S ซ้ำหรือเป็นลายลักษณ์อักษร 0.3 )จะสามารถเขียนเป็น 1 ⁄ 3 . ในอีกด้านหนึ่งได้จำนวนที่แท้จริงπ( pi )อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมใดเพื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของโรงแรมคือ
PI = 3.14159265358979 จุด n นับตั้งแต่มีทศนิยมตำแหน่งนี้และไม่ใช่จะสิ้นสุดลงหรือตลอดไป:เล่นซ้ำจะไม่สามารถเขียนเป็นเพียงเศษเสี้ยวหนึ่งและเป็นตัวอย่างของจำนวนที่ไม่ลงตัวที่ หมายเลขไม่ลงตัวอื่นๆรวมถึง
ซึ่งจะช่วยอัตรา{ 2 }= 1.41421356237 จุด n (รากของ 2 ที่คือหมายเลขในเชิงบวกที่ซึ่งมีพื้นที่เป็น 2 )..
ดังนั้น 1 .0 และ 0.999 เป็นสองตัวเลขทศนิยมแตกต่างกันตามธรรมชาติเป็นหมายเลข 1 ที่ มีมากเหลือเกินวิธีอื่นๆจำนวนมากเป็นตัวแทนของจำนวน 1 ตัวอย่างเช่น 2 ⁄ 2 , 3 ⁄ 3 1.00 1.000 และบน.
ทุกครั้งจำนวนที่แท้จริงคือทั้งมีเหตุผลหรือไม่ จำนวนที่แท้จริงว่าตรงกับทุกจุดบนสายหมายเลขที่ตัวเลขที่แท้จริงยังมีที่พักที่สำคัญแต่เป็นอย่างสูงทางด้านเทคนิคที่เรียกว่าเป็นที่พักที่ผูกพันด้านบนอย่างน้อยได้ สัญลักษณ์สำหรับหมายเลขที่แท้จริงคือ R ยังเขียนเป็น mathbb { R }
เมื่อจำนวนที่แท้จริงที่แสดงถึงการวัดที่มีส่วนต่างกำไรของข้อผิดพลาด โรงแรมแห่งนี้คือที่แสดงโดยอ้อมหรือการตัดทอนฟิลด์มีทศนิยมตำแหน่งที่อยู่ดังนั้นที่หลักที่ว่าความแม่นยำที่เหนือกว่ามากกว่าการวัดที่ตัวเองจะถูกลบออก หลักที่เหลือจะเรียกว่าหลักอย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่นการวัดพร้อมด้วยผู้ปกครองที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องส่วนต่างกำไรของข้อผิดพลาดของที่อย่างน้อย 0.001 ถึงตารางเมตรแทบจะไม่ หากทั้งสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีวัดได้ที่ 1.23 เมตรและ 4.56 เมตรแล้วคูณให้พื้นที่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ 56088 ตารางเมตร. แต่ที่สองหลักแรกหลังจากที่มีทศนิยมตำแหน่งที่ได้รับอย่างมีนัยสำคัญแห่งนี้เป็นแบบกลม 5.61 .
ในพีชคณิตนามธรรมซึ่งสามารถแสดงว่าฟิลด์สั่งซื้อเสร็จสมบูรณ์แล้วจะ isomorphic ไปยังหมายเลขที่แท้จริงโดยปกติแล้ว ตัวเลขที่แท้จริงไม่ได้แต่ถึงอย่างไรก็ตามฟิลด์ algebraically ที่ปิด