These descriptions of the real numb

These descriptions of the real numbers are not sufficiently rigorous by the modern standards of pure mathematics. The discovery of a suitably rigorous definition of the real numbers – indeed, the realization that a better definition was needed – was one of the most important developments of 19th century mathematics. The currently standard axiomatic definition is that real numbers form the unique Archimedean complete totally ordered field (R ; + ; · ;

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

These descriptions of the real numbers are not sufficiently rigorous by the modern standards of pure mathematics. The discovery of a suitably rigorous definition of the real numbers – indeed, the realization that a better definition was needed – was one of the most important developments of 19th century mathematics. The currently standard axiomatic definition is that real numbers form the unique Archimedean complete totally ordered field (R ; + ; · ; <), up to an isomorphism,whereas popular constructive definitions of real numbers include declaring them as equivalence classes of Cauchy sequences of rational numbers, Dedekind cuts, or certain infinite "decimal representations", together with precise interpretations for the arithmetic operations and the order relation. These definitions are equivalent in the realm of classical mathematics.The reals are uncountable; that is: while both the set of all natural numbers and the set of all real numbers are infinite sets, there can be no one-to-one function from the real numbers to the natural numbers: the cardinality of the set of all real numbers (denoted mathfrak c and called cardinality of the continuum) is strictly greater than the cardinality of the set of all natural numbers (denoted aleph_0). The statement that there is no subset of the reals with cardinality strictly greater than aleph_0 and strictly smaller than mathfrak c is known as the continuum hypothesis (CH). It is known to be neither provable nor refutable using the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF), the standard foundation of modern mathematics, in the sense that some models of ZF satisfy CH while others violate it.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำอธิบายเหล่านี้ของจำนวนจริงไม่เพียงพออย่างเข้มงวดตามมาตรฐานที่ทันสมัยของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบความหมายที่เข้มงวดเหมาะสมของจำนวนจริง - จริงตระหนักว่าความหมายที่ดีขึ้นเป็นสิ่งที่จำเป็น - เป็นหนึ่งในการพัฒนาที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์ คำนิยามที่เป็นจริงในปัจจุบันมาตรฐานคือว่าตัวเลขที่แท้จริงในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน Archimedean สมบูรณ์สนามที่สั่งซื้อทั้งหมด (R; + · <) กับมอร์ฟในขณะที่คำจำกัดความที่สร้างสรรค์เป็นที่นิยมของจำนวนจริงรวมถึงการประกาศว่าพวกเขาเป็นชั้นสมมูลของลำดับ Cauchy ของเหตุผล ตัวเลขลด Dedekind หรือบางอย่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด "การแสดงทศนิยม" ร่วมกับการตีความที่ถูกต้องสำหรับดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์การสั่งซื้อ คำนิยามเหล่านี้เทียบเท่าในดินแดนของคณิตศาสตร์คลาสสิก. reals มีนับไม่ได้; ที่อยู่: ในขณะที่ทั้งสองชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดและชุดของตัวเลขจริงทั้งหมดเป็นชุดที่สิ้นสุดจะไม่มีฟังก์ชั่นแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากตัวเลขจริงไปยังหมายเลขธรรมชาติ cardinality ชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด (แสดง mathfrak คและเรียกภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง) เป็นอย่างเคร่งครัดมากกว่า cardinality ของชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด (แสดง aleph_0) คำสั่งที่มีส่วนย่อยไม่มี reals กับภาวะเชิงการนับอย่างเคร่งครัดมากกว่า aleph_0 อย่างเคร่งครัดและมีขนาดเล็กกว่า mathfrak คเป็นที่รู้จักกันสมมติฐาน continuum (CH) มันเป็นที่รู้จักกันจะไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างโดยใช้หลักการของ Zermelo-Fraenkel ทฤษฎีเซต (ZF) มาตรฐานรากฐานของคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยในแง่ที่ว่ารูปแบบของความพึงพอใจ ZF CH บางขณะที่คนอื่นละเมิดมัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เหล่านี้อธิบายของตัวเลขจริงไม่เพียงพอ อย่างเข้มงวด ตามมาตรฐานใหม่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบความหมายที่เคร่งครัดเหมาะสมของตัวเลขจริง ) แน่นอน การรับรู้ที่เป็นนิยามที่ดีเป็นที่ต้องการและเป็นหนึ่งของการพัฒนาที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19ปัจจุบันมาตรฐานคำนิยามสัจพจน์ที่ตัวเลขจริงฟอร์มกันเสร็จทั้งหมดสั่ง Archimedean ฟิลด์ ( R ; ด้วย ; < ) ขึ้นเป็นก้อน ส่วนที่นิยมสร้างสรรค์คำนิยามของตัวเลขที่แท้จริง รวมถึงการประกาศว่าเป็นชั้นเรียน Cauchy ลำดับเหตุผลตัวเลข Dedekind ตัด หรือบางอนันต์ " ทศนิยมแทน "ด้วยการตีความที่แม่นยำสำหรับเลขคณิตการดำเนินการและเพื่อความสัมพันธ์ คำนิยามเหล่านี้เทียบเท่าในขอบเขตของคณิตศาสตร์คลาสสิก . .

reals อีกนับไม่ถ้วน นั่นคือ : ในขณะที่ทั้งสองชุดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติทั้งหมด และเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นชุดอนันต์ , ไม่มีหนึ่งต่อหนึ่งฟังก์ชันจากตัวเลขจริงในธรรมชาติ :มีภาวะเชิงการนับของชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด ( แทน N mathfrak C และเรียกว่าภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง ) อย่างเคร่งครัดมีค่ามากกว่าภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ( แทน N aleph_0 ) แถลงว่าไม่มีย่อย reals ที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่าอย่างเคร่งครัดกว่า aleph_0 อย่างเคร่งครัดและมีขนาดเล็กกว่า N mathfrak C เรียกว่าสมมติฐานดังกล่าว ( CH )มันเป็นที่รู้จักกันเป็นไม่ที่หรือโต้แย้งไม่ได้ใช้สัจพจน์ของทฤษฎีเซต– แฟรงเกลเซอร์เมโล ( ZF ) , มูลนิธิมาตรฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในแง่ที่ว่าบางรุ่นของ ZF ตอบสนอง CH ในขณะที่คนอื่น

ละเมิดมัน