SUM OF TWO SQUARESJAHNAVI BHASKARAb

SUM OF TWO SQUARES
JAHNAVI BHASKAR
Abstract. I will investigate which numbers can be written as the sum of two
squares and in how many ways, providing enough basic number theory so even
the unacquainted reader can follow. Results regarding the sum of four squares
problem and Waring’s problem are cited with references for further reading.
Contents
1. Introduction 1
2. Preliminaries 2
2.1. Divisibility 2
2.2. Congruence 3
3. Sum of Two Squares Problem 4
4. Counting Representations 9
5. Looking Ahead 11
5.1. Sum of Multiple Squares 11
5.2. Waring’s Problem 11
6. Acknowledgments 12
References 12
1. Introduction
We say that a positive integer n has a representation as a sum of two squares if
n = a
2 + b
2
for some nonnegative a, b ∈ Z. We deliberately include 0 as a possible
value for a or b so that squares themselves will fall into this category, e.g., since
4 = 22 + 02
. In this paper, we are interested not only in characterizing the numbers
that have a representation as the sum of two squares, but also recognizing which
numbers have more than one such representation and counting how many representations
these numbers have. For instance, notice that 25 = 52 + 02 = 32 + 42
.
Naturally, the exploration of this problem inspires curiosity in similar questions,
for example: what numbers can be written as the sum of three squares? or four?
Is there a number k so that all numbers can be written as the sum of k squares?
What if we consider cubes, or fourth powers – is there some k so that all numbers
be written as the sum of k cubes? Supposing there is such a k, can we improve it
by contenting ourselves with finitely many outliers? A few of these questions are
examined at the end of the paper.
Date: August 22, 2008.
1
2 JAHNAVI BHASKAR
2. Preliminaries
We begin with a brief introduction to divisibility and congruence, the fundamentals
of number theory. Readers with experience in number theory should feel free
to skip to Section 3.
2.1. Divisibility.
Theorem 2.1. (Division Algorithm) For all a, b ∈ Z, b 6= 0, there are unique
q, r ∈ Z, 0 ≤ r < |b|, such that a = bq + r.
See reference [2] for proof.
Definitions 2.2. For a, b ∈ Z, a is divisor of b if there exists an integer x such
that
ax = b.
We say that b is divisible by a and refer to b as a multiple of a. We write a | b (read
as “a divides b”), or if a is not a divisor of b, a - b.
Example 2.3. The divisors of 6 are −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6. We indicate this by
writing, for instance, −2 | 6.
Exercise 2.4. Let a, b, c, s, t ∈ Z. If a | b and a | c, then a | sb + tc.
Definitions 2.5. Notice that for any a ∈ Z, the following holds:
(1) 1 | a, −1 | a;
(2) a | a, −a | a.
With this in mind, we refer to −1, 1, a and −a as the trivial divisors of a. We also
call −1 and 1 units. Any other divisors of a are called proper divisors.
Definitions 2.6. A positive integer a is prime if a has no proper divisors. A
positive integer a is composite if a has proper divisors. If a is a positive integer,
then for primes p1, . . . , pk that satisfy p1 · p2 · · · pk = a, the product p1 · p2 · · · pk is
called the prime factorization of a.
Theorem 2.7. (Fundamental Theorem of Arithmetic) The prime factorization of
a ∈ Z, a > 1, is unique up to the order of the factors.
See reference [2] for proof.
Definition 2.8. We call a, b ∈ Z relatively prime if the only common divisors of a
and b are units.
Definition 2.9. Given a, b ∈ Z, we define the greatest common divisor (GCD) of
a and b, denoted by gcd(a, b), as some positive integer d such that:
(1) d | a and d | b;
(2) for all e such that e | a and e | b, e | d.
Remark 2.10. Note that if a, b are relatively prime, gcd(a, b) = 1.
Lemma 2.11. Let S ⊆ Z be given where S is a subgroup of Z under addition.
Then there exists d ∈ Z such that S = dZ, where dZ = {dz : z ∈ Z}.
Proof. Since S is a subgroup of Z, we know that given a, b ∈ S, a + b ∈ S. By
repeated addition of a to itself, we get that aZ ⊆ S. The proof proceeds in two
cases:
SUM OF TWO SQUARES 3
(1) S = {0}.
Then choose d = 0, so that S = 0Z = {0}.
(2) S 6= {0}.
Let d be the smallest positive integer in S. We know that dZ ⊆ S. To
show that S ⊆ dZ, let s ∈ S. We will show that d | s, so that s ∈ dZ. By
the Division Algorithm, we know that s = dq + r where 0 ≤ r ≤ d − 1.
Notice that d ∈ S, so dq ∈ S and −s ∈ S. Since S is closed under addition,
dq + (−s) = r ∈ S. But because 0 ≤ r ≤ d−1, S ⊆ Z, and d is the smallest
positive integer in S, we know that r = 0. Thus s = dq so that d | s.

Theorem 2.12. Given a, b ∈ Z, gcd(a, b) exists and satisifes the expression
gcd(a, b) = ax + by
for some x, y ∈ Z.
Proof. Consider S = {ax + by : x, y ∈ Z}. Note that S ⊆ Z, {0} ⊆ S, and S is
closed under subtraction. Therefore we can apply Lemma 2.11 to conclude that
there exists a positive integer d such that S = dZ. First, we must show that d is
the GCD of a, b:
(1) d | a and d | b
Note that a ∈ S, since a = a· 1+b · 0. So for some z ∈ Z, dz = a =⇒ d | a.
For the same reason, d | b.
(2) for all e such that

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลรวมกำลังสองของสองJAHNAVI BHASKARบทคัดย่อ ฉันจะตรวจสอบหมายเลขซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยม และวิธีการหลายวิธี ให้ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นเพียงพอดังนั้นแม้อ่าน unacquainted สามารถทำตาม ผลเกี่ยวกับผลรวมของสี่เหลี่ยมปัญหาและปัญหาของ Waring อ้างอ้างอิงสำหรับอ่านเพิ่มเติมเนื้อหา1. บทนำ 12. preliminaries 22.1. divisibility 22.2 การลงตัว 33. ผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมสองปัญหา 44. ตรวจนับแทน 95. มองหน้า 115.1. ผลรวมของหลายสี่เหลี่ยม 115.2. waring ของปัญหา 116. ตอบ 12อ้างอิง 121. บทนำเราบอกว่า n เป็นจำนวนเต็มบวกมีการแสดงเป็นผลรวมของสองช่องถ้าn =เป็น2 + b2บาง nonnegative a, b ∈ Z เรามี 0 เป็นการจงใจค่าสำหรับการ หรือ b เพื่อที่สี่เหลี่ยมตัวเองจะอยู่ในประเภทนี้ เช่น ตั้งแต่4 = 22 + 02. ในเอกสารนี้ เรามีความสนใจไม่เท่านั้นในการกำหนดลักษณะของตัวเลขที่มีการแสดงเป็นผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมที่สอง แต่ยัง จดจำซึ่งตัวเลขมีมากกว่าหนึ่งการแสดงดังกล่าวและนับจำนวนที่ใช้แทนตัวเลขเหล่านี้ได้ สังเกตที่ 25 = 52 + 02 = 32 + 42 ตัวอย่าง.ธรรมชาติ สำรวจปัญหานี้แรงบันดาลใจอยากในคำถามที่คล้ายกันตัวอย่าง: สามารถเขียนอะไรหมายเลขเป็นผลรวมของกำลังสองสาม หรือ 4มี k หมายเลขเพื่อให้สามารถเขียนหมายเลขทั้งหมดเป็นผลรวมของช่องสี่เหลี่ยม kถ้าเราพิจารณาลูกบาศก์ อำนาจสี่ – มี k บางเพื่อให้ทุกหมายเลขสามารถเขียนเป็นผลรวมของ k cubes Supposing มีเช่น k เราปรับปรุงโดย contenting ตัวเองด้วย finitely หลาย outliers จะกี่คำถามเหล่านี้ตรวจสอบในตอนท้ายของกระดาษวัน: 22 สิงหาคม 20081BHASKAR 2 JAHNAVI2. preliminariesเราเริ่มต้น ด้วยการแนะนำโดยย่อ divisibility และลงตัว พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน ผู้อ่าน มีประสบการณ์ในทฤษฎีจำนวนควรรู้สึกเมื่อต้องการข้ามไป 3 ส่วน2.1. divisibilityทฤษฎีบท 2.1 (ขั้นตอนวิธีการหาร) สำหรับทุก a, b ∈ Z, b 6 = 0 มีเฉพาะr ∈ Z, q, 0 ≤ r < |b| ให้การ =นโต้ + rดูอ้างอิง [2] สำหรับพิสูจน์ข้อกำหนด 2.2 สำหรับ a, b ∈ Z มีจำนวนเต็ม x เป็นหารบีที่ax = bเราบอกบีว่าเป็นโดยการ และอ้างอิงถึง b เป็นตัวคูณของการ เราเขียนแบบ | บี (อ่านเป็น "การแบ่งบี"), หรือถ้าเป็นไม่ได้เป็นตัวหารของ b, b-ตัวอย่างที่ 2.3 หารของ 6 คือ −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6 เราระบุโดยเขียน เช่น −2 | 6แบบฝึกหัดที่ 2.4 ให้ s a, c, b t ∈ Z ถ้าเป็น | b และ a | c แล้วตัว | sb + tcข้อกำหนด 2.5 สังเกตว่า ใด ๆ ∈ Z ต่อไปนี้แสดง:(1) 1 | a, −1 | การ(2) การ | a, −a | การจิตใจนี้ เราอ้างถึง −1, 1 การ และ −a เป็นหารเล็กน้อยของ เรายังโทร −1 และหน่วย 1 หารอื่น ๆ ของอยู่เรียกว่าหารที่เหมาะสมข้อกำหนด 2.6 เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นนายกมีหารไม่เหมาะสม Aจำนวนเต็มบวกเป็นคอมโพสิตถ้าเป็นมีหารเหมาะสม ถ้ามีเป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับโรงแรมไพรม์ p1,..., pk ที่ p1 ·การตอบสนองแล้ว p 2 ··· pk =เป็น ผลิตภัณฑ์ p1 · p 2 ··· คือเป็นเรียกว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของทฤษฎีบท 2.7 (ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) แยกตัวประกอบเฉพาะของการ∈ Z, > 1 ไม่ซ้ำกันขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัยดูอ้างอิง [2] สำหรับพิสูจน์นิยาม 2.8 เราเรียก a, b ∈ Z ถ้าค่อนข้างเฉพาะหารทั่วไปเฉพาะของการและ b คือ หน่วยนิยาม 2.9 ให้ a, b ∈ Z เรากำหนดตัวหารร่วม (GCD) ของแบบ b สามารถบุ ด้วย gcd (a, b), เป็นจำนวนเต็มบวกบาง d และให้:(1) d | a และ d | b(2) สำหรับทั้งหมดเช่นอีอีที่ | การ และอี | b, e | dหมายเหตุที่ 2.10 หมายเหตุว่า ถ้า a, b จะค่อนข้างเฉพาะ gcd (a, b) = 1จับมือ 2.11 ให้ S ⊆ Z โดยที่ S คือ กลุ่มย่อยของ Z ภายใต้นี้รับแล้วมี∈ d Z เช่น = dZ ที่ dZ = { dz: z ∈ Z }หลักฐานการ S เป็น กลุ่มย่อยของ Z เรารู้ว่ากำหนดให้ a, b ∈ S แบบ + b ∈ s โดยซ้ำเพิ่มเป็นตัวเอง เราได้รับนั้น aZ ⊆ s ได้ หลักฐานการดำเนินการใน 2กรณี:ผลรวมของสองช่อง 3(1) S = { 0 }เลือก d = 0 ดังนั้น = 0Z = { 0 }(2) S 6 = { 0 }ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน s ได้ เรารู้ว่า⊆ dZ S. เพื่อแสดงว่า S ⊆ dZ ให้∈ s s ได้ เราจะแสดงว่า d | s เพื่อให้ s ∈ dZ. โดยอัลกอริทึมส่วน เรารู้ว่า s = dq + r 0 ≤ r ≤ d − 1สังเกตที่∈ d S, dq ∈ S และ −s ∈ s ได้เพื่อ เนื่องจาก S ปิดใต้นอกจากนี้dq + (−s) =∈ r s ได้ แต่เนื่อง จาก 0 ≤ r ≤ d−1, S ⊆ Z, d เป็นน้อยที่สุดจำนวนเต็มบวกใน S เรารู้ว่าที่ r = 0 ดังนั้น s = dq ดังนั้น d | sทฤษฎีบท 2.12 ให้ a, b ∈ Z, gcd (a, b) อยู่ และ satisifes นิพจน์gcd (a, b) = ax + โดยสำหรับบาง x, y ∈ Zหลักฐานการ พิจารณา S = { ax + โดย: x, y ∈ Z } หมายเหตุว่า S ⊆ Z, {0} ⊆ S และ Sปิดภายใต้ลบ ดังนั้น เราสามารถใช้ 2.11 การจับมือเพื่อสรุปที่มีจำนวนเต็มบวก d กล่าวว่า S = dZ. ครั้งแรก เราต้องแสดงว่า d คือGCD ของ a, b:(1) d | a และ d | บีสังเกตว่า a ∈ S เนื่องจากเป็น = a· 1 + b · 0 ดังนั้นสำหรับบาง z ∈ Z, dz =การ =⇒ d | การเหตุผลเดียวกัน d | b(2) สำหรับอีทั้งหมดให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลรวมของสองสี่เหลี่ยม
JAHNAVI
ร้าบทคัดย่อ ฉันจะตรวจสอบตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมและในหลายวิธีที่ให้พื้นฐานทฤษฎีจำนวนมากพอดังนั้นแม้ผู้อ่านคุ้นเคยสามารถปฏิบัติตาม ผลเกี่ยวกับผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมปัญหาและปัญหา Waring มีการอ้างที่มีการอ้างอิงสำหรับการอ่านต่อไป. เนื้อหา1 บทนำ 1 2 รอบคัดเลือกโซน 2 2.1 หาร 2 2.2 สอดคล้องกัน 3 3. ผลรวมของสองสี่เหลี่ยมปัญหาที่ 4 4. การนับการรับรอง 9 5. กำลังมองไปข้างหน้า 11 5.1 ผลรวมของสี่เหลี่ยมหลาย 11 5.2 Waring ของปัญหา 11 6. กิตติกรรมประกาศ 12 อ้างอิง 12 1. บทนำเราบอกว่าจำนวนเต็มบวกn มีการแสดงเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมถ้าn = a 2 b + 2 สำหรับค่าลบบางข∈ซีเราจงใจรวมถึงเป็น 0 เป็นไปได้ว่าคุ้มค่าหรือเพื่อให้สี่เหลี่ยมตัวเองจะตกอยู่ในหมวดหมู่นี้เช่นตั้งแต่4 = 22 + 02. ในบทความนี้เรามีความสนใจไม่เพียง แต่ในลักษณะตัวเลขที่มีการแสดงเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมที่แต่ยังมีการรับรู้ซึ่งตัวเลขที่มีมากกว่าหนึ่งการแสดงดังกล่าวและนับหลายวิธีการแสดงตัวเลขเหล่านี้มี ยกตัวอย่างเช่นการแจ้งให้ทราบว่า 25 = 52 + 02 = 32 + 42. ธรรมชาติการตรวจสอบข้อเท็จจริงของปัญหานี้เป็นแรงบันดาลใจอยากรู้อยากเห็นในคำถามที่คล้ายกันเช่นว่าตัวเลขสามารถเขียนเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยม? ? หรือสี่มีจำนวนk เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมดสามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม k หรือไม่เกิดอะไรขึ้นถ้าเราพิจารณาก้อนหรืออำนาจที่สี่- มี k บางอย่างเพื่อให้ตัวเลขทั้งหมดเขียนเป็นผลรวมของก้อนk หรือไม่ เผื่อว่ามีอาก้าดังกล่าวเราสามารถปรับปรุงได้โดย contenting ตัวเองกับค่าผิดปกติหลายขีด? บางส่วนของคำถามเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบในตอนท้ายของกระดาษ. วันที่: 22 สิงหาคม 2008 1 2 JAHNAVI ร้า2 ขั้นตอนเราเริ่มต้นด้วยการแนะนำสั้น ๆ กับหารและสอดคล้องกัน, พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน ผู้อ่านที่มีประสบการณ์ในทฤษฎีจำนวนควรจะรู้สึกอิสระที่จะข้ามไปมาตรา 3 2.1 หาร. ทฤษฎีบท 2.1 (กอง Algorithm) สำหรับทุกข∈ Z ข 6 = 0 มีที่ไม่ซ้ำกันคิวอา∈ Z, 0 ≤อา <| b. | เช่นว่า = บาร์บีคิว + R ดูอ้างอิง [2] สำหรับการพิสูจน์นิยาม 2.2 สำหรับข∈ Z, a เป็นตัวหารของขถ้ามีจำนวนเต็ม x ดังกล่าวว่าขวาน= b. เรากล่าวว่าขหารด้วยและอ้างถึง b เป็นหลายที่ เราเขียน | ข (อ่านว่า"แบ่งข") หรือถ้าไม่ได้เป็นตัวหารของขเป็น - b. ตัวอย่าง 2.3 หารของ 6 -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 เราบ่งบอกถึงนี้โดยการเขียนเช่น-2 | 6. การใช้สิทธิ 2.4 ให้ A, B, C, S, เสื้อ∈ซีถ้า | และข | คแล้ว | SB + TC. คำจำกัดความ 2.5 ขอให้สังเกตว่าสำหรับใด ๆ ∈ Z ต่อไปนี้ถือ: (1) 1 | ที่ -1 | หนึ่ง(2) | ที่ -a | ได้. กับในใจเราหมายถึง -1, 1, และ -a เป็นตัวหารของจิ๊บจ๊อย นอกจากนี้เรายังเรียก -1 และ 1 หน่วย หารใด ๆ อื่น ๆ จะเรียกว่าตัวหารที่เหมาะสม. คำจำกัดความ 2.6 A a จำนวนเต็มบวกเป็นสำคัญถ้าไม่มีตัวหารที่เหมาะสม จำนวนเต็มบวกเป็นคอมโพสิตถ้ามีตัวหารที่เหมาะสม ถ้าเป็นจำนวนเต็มบวกแล้วสำหรับช่วงเวลา p1, . . , PK ที่ตอบสนองความ p1 p2 ···· PK = เป็นผลิตภัณฑ์ p1 p2 ···· PK ถูกเรียกว่าตัวประกอบที่สำคัญของ. ทฤษฎีบท 2.7 (ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) เดอะตัวประกอบที่สำคัญของ∈ Z, a> 1, ที่ไม่ซ้ำกันขึ้นอยู่กับคำสั่งของปัจจัย. ดูอ้างอิง [2] สำหรับการพิสูจน์. ความละเอียด 2.8 ที่เราเรียกว่าข∈ Z ความสำคัญถ้าตัวหารร่วมกันเพียงหนึ่งเดียวของและb เป็นหน่วย. ความละเอียด 2.9 ที่กำหนดข∈ Z เรากำหนดหารกันที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) ของa และ b แสดงโดย GCD (A, B) เป็นบาง d จำนวนเต็มบวกดังกล่าวว่า: (1) d | และ d | ข; (2) สำหรับ e ทั้งหมดเช่นว่าอี | และอิเล็กทรอนิกส์ | ข, E | d. หมายเหตุ 2.10 โปรดทราบว่าถ้ามี b มีความสำคัญ, GCD (มี b) = 1 บทแทรก 2.11 . ให้ S ⊆ Z ได้รับที่ S เป็นกลุ่มย่อยของซีภายใต้นอกจากนั้นก็มีอยู่d ∈ Z ดังกล่าวว่า S = dZ ที่ dZ =. {แซท: ซี∈ Z} หลักฐาน ตั้งแต่ S เป็นกลุ่มย่อยของ Z ที่เราได้รับรู้ว่ามี b ∈ S, A + B ∈โดยเอสนอกจากนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกของตัวเองที่เราได้รับที่AZ ⊆เอสหลักฐานดำเนินการในสองกรณีคือผลรวมของสองสี่เหลี่ยม3 (1) S = {0}. แล้วเลือก d = 0 เพื่อให้ S = 0Z = {0}. (2) S = {6} 0. ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดในเอสเรารู้ว่า dZ ⊆เอสเพื่อแสดงให้เห็นว่าS ⊆ dZ ให้ s ∈เอสเราจะแสดงให้เห็นว่า d | s เพื่อให้ s ∈ dZ โดยส่วนอัลกอริทึมเรารู้ว่า s = DQ + R ที่ 0 ≤≤อาง - 1. ขอให้สังเกตว่า d ∈ S ดังนั้น DQ ∈ S และ -s ∈ตั้งแต่เอสเอสปิดให้บริการภายใต้นอกจากนี้DQ + (-s ) = อาร์เอส∈ แต่เนื่องจาก 0 ≤ R ≤ d-1, S ⊆ Z และ d เป็นที่เล็กที่สุดจำนวนเต็มบวกในS เรารู้ว่า r = 0 ดังนั้น s = DQ เพื่อให้ d | เอส. ทฤษฎีบท 2.12 ที่กำหนดข∈ Z, GCD (A, B) ที่มีอยู่และการแสดงออก satisifes GCD (A, B) = ขวาน + โดยสำหรับบางx, y ∈ซีหลักฐาน พิจารณา S = {ขวาน + โดย: x, y ∈ Z} โปรดทราบว่า S ⊆ Z {0} ⊆ S และ S จะปิดให้บริการภายใต้การลบ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้บทแทรก 2.11 ที่จะสรุปว่ามีจำนวนเต็มบวกd ดังกล่าวว่า S = dZ ครั้งแรกที่เราจะต้องแสดง d ที่GCD ของ A, B: (1) d | และ d | ขโปรดทราบว่า∈ S ตั้งแต่ = a · 1 + ข· 0. ดังนั้นสำหรับบาง∈ซีซีแซท = a = ⇒ d | a. ด้วยเหตุผลเดียวกัน, D | ข. (2) สำหรับทุกจดังกล่าวว่า