The bounce of a ballRod CrossPhysic

The bounce of a ball
Rod Cross
Physics Department, University of Sydney, 2006 Australia
~Received 17 February 1998; accepted 13 August 1998!
In this paper, the dynamics of a bouncing ball is described for several common ball types having
different bounce characteristics. Results are presented for a tennis ball, a baseball, a golf ball, a
superball, a steel ball bearing, a plasticene ball, and a silly putty ball. The plasticene ball was studied
as an extreme case of a ball with a low coefficient of restitution ~in fact zero, since the collision is
totally inelastic! and the silly putty ball was studied because it has unusual elastic properties. The
first three balls were studied because of their significance in the physics of sports. For each ball, a
dynamic hysteresis curve is presented to show how energy is lost during and after the collision. The
measurement technique is quite simple, it is suited for undergraduate laboratory experiments, and it
may provide a useful method to test and approve balls for major sporting events. © 1999 American
Association of Physics Teachers.
I. INTRODUCTION
The dynamics of a collision between a ball and another
object can be determined, in principle, from the initial conditions
and the functional form of the force acting on the
ball. If the collision is elastic, then the force, F, acting on a
ball during the collision is given approximately by Hooke’s
law, F5kx, where x is the ball compression. The collision
can then be modeled as one between two springs.1 The
spherical geometry introduces a complication that was first
analyzed by Hertz2 for a force law of the form F5kx3/2. If
the collision is inelastic, then the relevant force law is generally
an unknown function of the properties of the colliding
objects. The force law is, in fact, often irrelevant since most
problems of this type are cast in the form of conservation
equations describing conditions before and after the collision.
However, a measurement of the force provides useful
information on the behavior of the objects during the collision,
on the duration of the collision and on the elastic properties
of the objects.
The collision of a ball always involves some loss of energy.
For example, if a ball of mass m is dropped from a
height h1 onto a surface and it rebounds to a height h2 , then
the loss of energy is mg(h12h2). The energy loss can be
expressed in terms of the coefficient of restitution, e, defined
in the case of a rigid surface by e5v2 /v15Ah2 /h1, where
v1 is the incident speed of the ball and v2 is the rebound
speed. The coefficient of restitution ~COR! has been measured
for many objects and surfaces, but very little information
is available on the energy loss process itself or on the
force acting on a colliding ball. For example, the energy may
be dissipated in the ball during the collision as a result of
internal friction, or energy may be lost as a result of a permanent
deformation of the ball or the surface. Alternatively,
energy may be stored in the ball as a result of its compression
and subsequently dissipated after the rebound either in
internal modes of oscillation or by a slow recovery of the
ball to its original shape. A review of head-on collisions
between solid metal spheres was presented 40 years ago in
this journal by Barnes.2,3 Since that time, there have been
many other articles on colliding balls,4,5 but only one6 included
force wave forms.
The energy loss can be predicted approximately from
measurements of the static hysteresis curve obtained by plotting
the ball compression as a function of applied force for a
complete compression and expansion cycle. However, such
measurements do not allow for the fact that the dynamic
properties of the ball may differ from its static properties. In
this paper, dynamic hysteresis curves are presented for several
different balls bouncing vertically off a piezo element
mounted on a heavy brass rod. The curves were obtained by
plotting the displacement of the center of mass, rather than
the ball compression, since it is much easier to measure the
velocity of a bouncing ball than to measure ~or interpret! its
dynamic compression.
II. DYNAMICS OF THE BOUNCE
A rigorous analysis of the bounce of a ball is complicated
by several factors, one being that in practice, a relatively soft
ball can easily squash to half its original diameter and also
squash asymmetrically, in which case the relation between
the compression of the ball and the displacement of its center
of mass is not easily determined. Another complicating factor
is that the ball compression versus the applied force relationship
is not only nonlinear but may also vary with frequency,
in which case a static force versus compression
curve is not particularly relevant, and dynamic curves for a
spherical object are not readily available, if at all. A simple
experiment using a mass on the end of a rubber band is
described by Papadakis7 to illustrate the differences between
the dynamic and static properties of rubber. Even a steel ball
can be locally compressed beyond its elastic limit in a relatively
low-speed collision.2 Despite these complicating factors,
the bounce of a ball can be analyzed at an elementary
level using a combination of elementary mechanics and experimental
data on the force wave forms.
A ball dropped vertically onto a surface experiences a vertical
impulsive force F5m dv/dt, where v5dy/dt is the
velocity of its center of mass and y is the displacement of the
center of mass. F is typically 100–1000 times larger than
mg, in which case the gravitational force can be neglected
during the impact. For a given or measured force wave form,
the ball velocity and the y displacement can be obtained by
numerical solution of the equation d2y/dt25F/m with initial
conditions y50 and dy/dt5v1 at t50. Regardless of the
ball compression and shape of the ball, the work done in
changing the kinetic energy of the ball is * F dy and the areaenclosed by the F vs y hysteresis loop represents the net
energy loss, 0.5m(v1
2
2v2
2
). If the bounce surface is perfectly
rigid, the total work done by the force F acting at the bottom
of the ball is zero, since the point of application of the force
remains at rest. Nevertheless, * F dy represents the change
in kinetic energy, which is equal and opposite to the change
in potential energy arising from compression of the ball plus
any energy dissipated during the collision. The total energy,
including the energy dissipated, therefore remains constant.
A simple analysis of the bounce is obtained if one assumes
that the bounce surface is not deformed and remains at rest,
and that the ball compression, x, is given by F52kx, where
k is the spring constant of the ball. If it is also assumed for
simplicity that y5x then d2y/dt252ky/m, so F
5F0 sin(vt), where F0 is the amplitude of F and v2
5k/m. It can be deduced that the ball remains in contact
with the surface for a time t5p/v, it rebounds with the
same speed as the incident speed and the force wave form is
a half-sine pulse of amplitude F05mvv1 . For a tennis ball,
m50.057 kg and k;23104 Nm21
, giving a contact time
t;5.3 ms, consistent with observations.8 For a steel ball of
the same mass, k is much larger and the contact time is much
shorter. The contact time for a small ball bearing colliding
with a solid surface is typically only 20–50 ms.
In the case of a Hertzian impact,2,9 where F5kx3/2, or any
other impact involving a force law of the form F5kxn, there
is also no energy loss so v25v1 . In practice, it is found that
v2 is always less than v1 and that the F vs t wave form is not
perfectly sinusoidal or even symmetrical. A measured force
wave form can be digitized for a numerical analysis or it can
be fitted either by a polynomial or by the first few terms of a
Fourier series to obtain analytical solutions. Bounce force
wave forms are typically only slightly asymmetrical, so a
reasonable first approximation is to consider just the fundamental
and second harmonic components. This approximation
yields some interesting analytical results, but it does not
provide a good fit to experimental data. Consequently, the
digitized force wave forms were used to analyze each ball
separately, and the results are described below.
III. EXPERIMENTAL TECHNIQUES
The force acting on a ball dropped on a solid surface was
measured using a 50 mm diam, 4 mm thick ceramic piezo
disk bonded with superglue to one end of a 50 mm diam
brass rod of length 100 mm, as shown in Fig. 1. A ball was
dropped or thrown at low speed directly onto the piezo disk,
and the voltage output was measured, on a digital storage
oscilloscope, using a310 probe connected to light leads soldered
to the upper silvered surface of the piezo and to the
brass rod. The ball speeds v1 and v2 , just before and after
the impact, were measured by allowing the ball to fall
through two horizontal He–Ne laser beams located above the
upper surface of the piezo disk and separated vertically by 10
mm, as shown in Fig. 1. The beams were detected with a
photodiode and the ball velocity was calculated from the
time delays between the photodiode signals and the piezo
signal. A small correction was made to the measured velocities
to allow for the gravitational acceleration ~or deceleration!
of the ball after ~or before! it crossed the two laser
beams.
Using the measured F wave form, and the measured values
of v1 and v2 , it was then possible to calculate the y
displacement as a function of time, and to calibrate the sensitivity
of the piezo. The piezo was found to generate an
output voltage of 1.0 V per 34 N. Other design features and
some limitations of this technique are as follows.
~1! The capacitance of the piezo disk was 3 nF, but it was
artificially increased to 5 nF by connecting a 2 nF capacitor
in parallel with the disk in order to increase the RC time
constant ~of the disk and the 10 MV probe! to 50 ms. The
force wave forms are reproduced reliably only if the discharge
time co

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การตีกลับลูกบอลเหล็กไขว้ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยซิดนีย์ ออสเตรเลีย 2006~ รับ 17 1998 กุมภาพันธ์ ยอมรับ 13 1998 สิงหาคมอธิบายไว้ในเอกสารนี้ ของลูกใหญ่สำหรับทั่วไปลูกบอลชนิดต่าง ๆ มีลักษณะตีกลับแตกต่างกัน มีแสดงผลสำหรับลูกเทนนิส ลูกเบสบอล ลูกกอล์ฟ การsuperball บอลแบริ่งเหล็ก ลูก plasticene และลูก putty โง่ ลูก plasticene ได้ศึกษาเป็นกรณีที่มีมากของลูกมีสัมประสิทธิ์ต่ำของ restitution ~ จริงศูนย์ เนื่องจากการชนinelastic ทั้งหมด และลูกโง่ putty ได้ศึกษาเนื่องจากมีคุณสมบัติยืดหยุ่นผิดปกติ ที่สามลูกแรก ได้ศึกษาเนื่องจากความสำคัญของพวกเขาในฟิสิกส์ของกีฬา สำหรับแต่ละลูก การมีการนำเสนอแบบไดนามิกสัมผัสโค้งเพื่อแสดงว่าพลังงานสูญเสียในระหว่าง และ หลังการชน ที่เทคนิคการประเมินค่อนข้างง่าย เหมาะสำหรับการทดลองในห้องปฏิบัติการปริญญาตรี และอาจมีประโยชน์วิธีการทดสอบ และอนุมัติลูกบอลสำหรับกีฬาสำคัญ © 1999 สหรัฐอเมริกาสมาคมครูฟิสิกส์I. บทนำของความขัดแย้งระหว่างลูกและอีกวัตถุสามารถถูกกำหนด หลัก จากเงื่อนไขเริ่มต้นและแบบฟอร์มที่ทำงานของแรงที่ทำหน้าที่ในการลูก ถ้าชนกันแบบ ยืดหยุ่น แล้วบังคับ F ทำหน้าที่ในการลูกบอลในระหว่างการชนกันจะกำหนดประมาณของ Hookeกฎหมาย F5kx การบีบลูกบอล x การชนกันแล้วถูกจำลองเป็นหนึ่งระหว่างสอง springs.1เรขาคณิตทรงกลมเกิดภาวะแทรกซ้อนที่เป็นครั้งแรกวิเคราะห์ โดย Hertz2 สำหรับกฎหมายบังคับของฟอร์ม F5kx3/2 หากชนเป็น inelastic แล้วเกี่ยวข้องบังคับใช้กฎหมายโดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักคุณสมบัติของการชนวัตถุ กฎหมายบังคับเป็น ความจริง มักจะไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากส่วนใหญ่มีโยนปัญหาชนิดนี้ในรูปแบบของการอนุรักษ์สมการที่อธิบายสภาพก่อน และ หลังการชนอย่างไรก็ตาม การวัดความแรงให้เป็นประโยชน์ข้อมูลในลักษณะการทำงานของวัตถุในระหว่างการชนในระยะเวลา ของการชนกัน และคุณสมบัติยืดหยุ่นของวัตถุการชนกันของลูกมักจะเกี่ยวข้องกับพลังงานที่สูญเสียบางตัวอย่าง ถ้าลูกบอล มวล m หลุดจากการความสูง h1 บนพื้นผิวและกระดอนไปยังความสูง h2 แล้วการสูญเสียพลังงานได้ mg(h12h2) สูญเสียพลังงานสามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์ของ restitution, e กำหนดในกรณีที่พื้นผิวแข็งโดย e5v2 /v15Ah2 /h1 ที่v1 เป็นความเร็วในการแก้ไขปัญหาของลูก และ v2 เป็นการตอบสนองความเร็วของ สัมประสิทธิ์ของ restitution ~ COR มีการวัดวัตถุมาก และพื้นผิว แต่ข้อมูลน้อยมากมีการสูญเสียพลังงานเอง หรือในการแรงที่กระทำบนลูกชน ตัวอย่าง พลังงานอาจdissipated ในลูกบอลในระหว่างการชนกันเป็นผลมาจากแรงเสียดทานภายใน หรือพลังงานอาจสูญหายได้ผลถาวรแมพของลูกหรือพื้นผิว หรือพลังงานอาจถูกเก็บไว้ในลูกเป็นผลมาจากการบีบอัดและต่อมา dissipated หลังจากการตอบสนองอย่างใดอย่างหนึ่งในภายในโหมด ของการสั่น หรือการฟื้นตัวที่ช้าของการลูกบอลรูปเดิม การตรวจสอบของตาม head-onระหว่างทรงกลมโลหะแข็งถูกเสนอเมื่อ 40 ปีที่ผ่านมาในสมุดรายวันนี้ โดย Barnes.2,3 ตั้งแต่ นั้น มีการในบทความอื่น ๆ เกี่ยวกับชนลูก 4, 5 แต่เพียง one6 รวมบังคับรูปแบบของคลื่นว่าสามารถทำนายการสูญเสียพลังงานประมาณจากวัดโค้งคงสัมผัสได้ โดยการพล็อตบีบลูกบอลเป็นฟังก์ชันใช้บังคับสำหรับการบีบอัดที่สมบูรณ์และวงจรขยาย อย่างไรก็ตาม เช่นวัดไม่อนุญาตสำหรับความจริงที่แบบไดนามิกคุณสมบัติของลูกอาจแตกต่างจากคุณสมบัติแบบคง ในกระดาษนี้ แสดงการสัมผัสแบบโค้งลูกแตกต่างใหญ่ในแนวตั้งออกเป็นองค์ประกอบของ piezoติดตั้งบนแกนทองเหลืองหนัก เส้นโค้งได้รับโดยพล็อตที่แทนของศูนย์กลางมวล rather กว่าลูกบีบ เนื่องจากเป็นการง่ายมากที่จะวัดการความเร็วของลูกใหญ่กว่าการวัด ~ หรือตี ของการบีบอัดแบบไดนามิกII. DYNAMICS ของตีกลับวิเคราะห์อย่างเข้มงวดของการตีกลับลูกบอลมีความซับซ้อนจากปัจจัยหลายอย่าง กำลังที่ในทางปฏิบัติ ค่อนข้างอ่อนลูกสามารถเดินสควอชไปขนาดเดิมครึ่งและสนามสควอช asymmetrically ในกรณีที่ความสัมพันธ์ระหว่างการบีบอัดของลูกและย้ายของจุดศูนย์กลางของมวลจะไม่ได้ถูกกำหนดขึ้น ปัจจัยอื่น complicatingที่ถูกบีบอัดลูกกับความสัมพันธ์ที่บังคับใช้ไม่เพียงไม่เชิงเส้นแต่อาจแตกต่างกันกับความถี่บังคับซึ่ง คงเมื่อเทียบกับการบีบอัดโค้งนี้ไม่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และไดนามิกโค้งสำหรับการไม่ได้ หากมีวัตถุทรงกลมได้ ที่เรียบง่ายได้ทดลองใช้มวลในของยางรัดโดย Papadakis7 เพื่อแสดงความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติแบบไดนามิก และแบบคงที่ของยาง แม้ลูกบอลเหล็กสามารถเครื่องบีบเกินขีดจำกัดความยืดหยุ่นในตัวค่อนข้างcollision.2 ความเร็วต่ำแม้เหล่านี้ complicating ปัจจัยสามารถทำวิเคราะห์การตีกลับลูกบอลที่เป็นระดับประถมศึกษาระดับใช้กลศาสตร์ระดับประถมศึกษา และทดลองข้อมูลในรูปแบบคลื่นแรงลูกปล่อยลงบนพื้นผิวแนวประสบการณ์ในแนวตั้งแรง impulsive F5m dv/dt, v5dy/dt ที่เป็นความเร็วของศูนย์กลางมวลและ y เป็นตัวแทนของการศูนย์กลางมวล F เป็นปกติ 100-1000 เท่ามากกว่ามก. ซึ่งกรณีแรงความโน้มถ่วงสามารถถูกที่ไม่มีกิจกรรมระหว่างผลกระทบ สำหรับแบบฟอร์มที่กำหนด หรือวัดแรงคลื่นสามารถรับความเร็วของลูกบอลและแทน y ด้วยโซลูชั่นเลขสมการของ d2y/dt25F/เมตร มีต้นเงื่อนไข y50 และ dy/dt5v1 ที่ t50 ไม่ว่าจะลูกอัดและรูปทรงของลูก งานที่ทำในการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของลูกเป็น * F dy และ areaenclosed โดย F กับ y สัมผัสลูปแทนสุทธิการสูญเสียพลังงาน 0.5 m (v122v22). ถ้าผิวเด้งได้อย่างสมบูรณ์แบบแข็ง รวมการทำงานทำ โดยทำหน้าที่แรง F ที่ด้านล่างลูกเป็นศูนย์ ตั้งแต่จุดของแอพลิเคชันของกองทัพยังคงอยู่ที่ส่วนที่เหลือ อย่างไรก็ตาม, * F dy แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในพลังงานจลน์ ซึ่งจะเท่ากัน และตรงข้าม กับการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ที่เกิดจากการบีบอัดของลูกบวกในdissipated พลังงานใด ๆ ในระหว่างการชนกัน พลังงานทั้งหมดพลังงานรวมทั้ง dissipated ดังนั้น จะได้รับการวิเคราะห์ของการตีกลับถ้าหนึ่งถือผิวเด้งไม่ deformed และเหลือและอัดบอล x, F52kx กำหนดที่k คือ ค่าคงสปริงของลูก ถ้าจะยังถือว่าเป็นการความเรียบง่ายที่ y5x แล้ว d2y/dt252ky/m, F ดังนั้น5F0 sin(vt) ที่ F0 เป็นคลื่นของ F และ v25k/m สามารถ deduced ว่า ลูกอยู่ในการติดต่อมีพื้นที่สำหรับการเวลา t5p/v มันกระดอนกับการความเร็วเดียวกันเป็นแบบคลื่นแรงและความเร็วในการแก้ไขปัญหาการชีพจรไซน์ครึ่งคลื่น F05mvv1 สำหรับลูกเทนนิสm50.057 กิโลกรัมและ k; 23104 Nm21ให้เวลาติดต่อt; ms 5.3 สอดคล้องกับ observations.8 สำหรับลูกบอลเหล็กมวลเดียวกัน k เป็นจำนวนมาก และเป็นเวลาติดต่อสั้น เวลาติดต่อสำหรับชนเรืองลูกบอลขนาดเล็กwith a solid surface is typically only 20–50 ms.In the case of a Hertzian impact,2,9 where F5kx3/2, or anyother impact involving a force law of the form F5kxn, thereis also no energy loss so v25v1 . In practice, it is found thatv2 is always less than v1 and that the F vs t wave form is notperfectly sinusoidal or even symmetrical. A measured forcewave form can be digitized for a numerical analysis or it canbe fitted either by a polynomial or by the first few terms of aFourier series to obtain analytical solutions. Bounce forcewave forms are typically only slightly asymmetrical, so areasonable first approximation is to consider just the fundamentaland second harmonic components. This approximationyields some interesting analytical results, but it does notprovide a good fit to experimental data. Consequently, thedigitized force wave forms were used to analyze each ballseparately, and the results are described below.III. EXPERIMENTAL TECHNIQUESThe force acting on a ball dropped on a solid surface wasmeasured using a 50 mm diam, 4 mm thick ceramic piezodisk bonded with superglue to one end of a 50 mm diambrass rod of length 100 mm, as shown in Fig. 1. A ball wasdropped or thrown at low speed directly onto the piezo disk,and the voltage output was measured, on a digital storageoscilloscope, using a310 probe connected to light leads solderedto the upper silvered surface of the piezo and to thebrass rod. The ball speeds v1 and v2 , just before and afterthe impact, were measured by allowing the ball to fallthrough two horizontal He–Ne laser beams located above theupper surface of the piezo disk and separated vertically by 10mm, as shown in Fig. 1. The beams were detected with aphotodiode and the ball velocity was calculated from thetime delays between the photodiode signals and the piezosignal. A small correction was made to the measured velocitiesto allow for the gravitational acceleration ~or deceleration!of the ball after ~or before! it crossed the two laserbeams.Using the measured F wave form, and the measured valuesof v1 and v2 , it was then possible to calculate the ydisplacement as a function of time, and to calibrate the sensitivityof the piezo. The piezo was found to generate anoutput voltage of 1.0 V per 34 N. Other design features andsome limitations of this technique are as follows.~1! The capacitance of the piezo disk was 3 nF, but it wasartificially increased to 5 nF by connecting a 2 nF capacitorin parallel with the disk in order to increase the RC timeconstant ~of the disk and the 10 MV probe! to 50 ms. Theforce wave forms are reproduced reliably only if the dischargetime co

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การตีกลับของลูกก้านข้ามภาควิชาฟิสิกส์มหาวิทยาลัยซิดนีย์ออสเตรเลีย2006 ~ ได้รับ 17 กุมภาพันธ์ 1998; ได้รับการยอมรับ 13 สิงหาคม 1998! ในบทความนี้การเปลี่ยนแปลงของลูกใหญ่อธิบายชนิดลูกพื้นฐานหลายประการที่มีลักษณะที่แตกต่างกันการตีกลับ ผลการค้นหาจะนำเสนอสำหรับลูกเทนนิส, เบสบอล, ลูกกอล์ฟเป็นSuperball เป็นลูกปืนเหล็ก plasticene ลูกและลูกฉาบโง่ ลูก plasticene ศึกษาเป็นกรณีที่รุนแรงของลูกที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่ำของการชดใช้ความเสียหาย~ ในความเป็นจริงเป็นศูนย์เนื่องจากการปะทะกันเป็นยืดหยุ่นโดยสิ้นเชิง! และลูกฉาบโง่ศึกษาเพราะมีคุณสมบัติยืดหยุ่นที่ผิดปกติ แรกสามลูกมีการศึกษาเพราะความสำคัญของพวกเขาในฟิสิกส์ของกีฬา สำหรับลูกแต่ละโค้ง hysteresis แบบไดนามิกจะนำเสนอให้แสดงให้เห็นว่าพลังงานจะสูญเสียไปในระหว่างและหลังจากการปะทะกัน เทคนิคการวัดที่ง่ายมากก็เหมาะสำหรับการทดลองในห้องปฏิบัติการในระดับปริญญาตรีและอาจจัดให้มีวิธีการที่เป็นประโยชน์ในการทดสอบและอนุมัติลูกสำหรับการแข่งขันกีฬาที่สำคัญ © 1999 อเมริกันสมาคมฟิสิกส์ครู. I. บทนำการเปลี่ยนแปลงของการปะทะกันระหว่างลูกและอื่น ๆ การให้วัตถุที่สามารถกำหนดในหลักการจากเงื่อนไขเริ่มต้นและรูปแบบการทำงานของแรงที่กระทำต่อลูก หากการปะทะกันเป็นยางยืดแล้วแรง, F, การแสดงบนลูกระหว่างการชนจะได้รับประมาณฮุคของกฎหมายF5kx ที่ x คือการบีบอัดลูก การปะทะกันนั้นจะสามารถจำลองเป็นหนึ่งระหว่างสอง springs.1 เรขาคณิตทรงกลมแนะนำภาวะแทรกซ้อนที่แรกวิเคราะห์โดย Hertz2 สำหรับกฎหมายที่ใช้บังคับของแบบฟอร์ม F5kx3 / 2 หากการปะทะกันเป็นยืดหยุ่นแล้วกฎหมายมีผลบังคับใช้ที่เกี่ยวข้องโดยทั่วไปฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักคุณสมบัติของชนที่วัตถุ กฎหมายมีผลบังคับใช้ในความเป็นจริงมักจะไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากส่วนใหญ่ปัญหาประเภทนี้ถูกโยนในรูปแบบของการอนุรักษ์สมการอธิบายสภาพก่อนและหลังการปะทะกัน. อย่างไรก็ตามการวัดแรงที่มีประโยชน์ข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุในช่วงชนกับระยะเวลาของการปะทะกันและต่อสมบัติยืดหยุ่นของวัตถุ. ความขัดแย้งของลูกมักจะเกี่ยวข้องกับการสูญเสียของพลังงานบางอย่าง. ยกตัวอย่างเช่นถ้าลูกของมวลมจะลดลงจากความสูง h1 ลงบนพื้นผิวและรีบาวน์ เพื่อ h2 สูงแล้วการสูญเสียของพลังงานที่เป็นmg (h12h2) การสูญเสียพลังงานที่สามารถแสดงในรูปของค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหายที่จที่กำหนดไว้ในกรณีของพื้นผิวที่แข็งโดยe5v2 / v15Ah2 / h1 ที่v1 เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือความเร็วของลูกและ v2 คือการตอบสนองความเร็ว ค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหาย ~ COR ของ! ได้รับการวัดสำหรับวัตถุจำนวนมากและพื้นผิวแต่ข้อมูลน้อยมากที่มีอยู่ในขั้นตอนการสูญเสียพลังงานของตัวเองหรือบนแรงที่กระทำต่อลูกชน ยกตัวอย่างเช่นพลังงานอาจจะกระจายไปในลูกในระหว่างการปะทะกันเป็นผลมาจากแรงเสียดทานภายในหรือพลังงานที่อาจจะหายไปเป็นผลมาจากถาวรความผิดปกติของลูกหรือพื้นผิว อีกวิธีหนึ่งคือการใช้พลังงานอาจจะเก็บไว้ในลูกเป็นผลมาจากการบีบอัดของมันและกระจายต่อมาหลังจากการตอบสนองทั้งในรูปแบบของการสั่นภายในหรือโดยการฟื้นตัวช้าของลูกไปแบบเดิม ตรวจสอบการชนกันบนหัวระหว่างทรงกลมโลหะแข็งถูกนำเสนอ 40 ปีที่ผ่านมาในวารสารนี้โดยBarnes.2,3 ตั้งแต่เวลานั้นมีการบทความอื่นๆ ในลูกชน, 4,5 แต่ one6 รวมแรงรูปแบบคลื่นการสูญเสียพลังงานที่สามารถคาดการณ์โดยประมาณจากการวัดของเส้นโค้ง hysteresis คงได้รับโดยการวางแผนการบีบอัดลูกเป็นหน้าที่ของการบังคับใช้สำหรับการบีบอัดที่สมบูรณ์และวงจรการขยายตัว แต่อย่างไรก็ตามยังมีการตรวจวัดไม่อนุญาตให้มีความจริงที่ว่าแบบไดนามิกคุณสมบัติของลูกอาจแตกต่างจากคุณสมบัติคงที่ ในบทความนี้เส้นโค้ง hysteresis แบบไดนามิกจะนำเสนอหลายลูกที่แตกต่างกันออกไปในแนวตั้งใหญ่องค์ประกอบแบบpiezo ติดตั้งอยู่บนก้านทองเหลืองหนัก เส้นโค้งที่ได้จากการวางแผนการเคลื่อนที่ของศูนย์มวลมากกว่าการบีบอัดลูกเพราะมันง่ายมากที่จะวัดความเร็วของลูกใหญ่กว่าในการวัดหรือตีความ~! ของการบีบอัดแบบไดนามิก. ครั้งที่สอง การเปลี่ยนแปลงของ BOUNCE การวิเคราะห์ที่เข้มงวดของการตีกลับของลูกมีความซับซ้อนจากปัจจัยหลายประการหนึ่งที่ว่าในทางปฏิบัติค่อนข้างอ่อนลูกสามารถควอชที่จะครึ่งหนึ่งของเส้นผ่าศูนย์กลางเดิมและยังสควอชแบบไม่สมมาตรซึ่งในกรณีที่ความสัมพันธ์ระหว่างการบีบอัดของลูกและการกำจัดของศูนย์ของมวลไม่ได้กำหนดได้อย่างง่ายดาย อีกหนึ่งปัจจัยแทรกซ้อนคือการบีบอัดลูกเมื่อเทียบกับความสัมพันธ์ที่มีผลบังคับใช้ไม่ได้เป็นเพียงการไม่เชิงเส้นแต่ยังอาจจะแตกต่างกันกับความถี่ในกรณีที่แรงคงที่เมื่อเทียบกับการบีบอัดโค้งไม่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะอย่างยิ่งและเส้นโค้งแบบไดนามิกสำหรับวัตถุทรงกลมจะไม่สามารถใช้ได้อย่างง่ายดายถ้าที่ทั้งหมด ง่ายทดสอบโดยใช้มวลในตอนท้ายของหนังยางจะอธิบายโดยPapadakis7 แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติแบบไดนามิกและแบบคงที่ยาง แม้ลูกเหล็กจะสามารถบีบอัดเฉพาะที่เกินขีด จำกัด ที่มีความยืดหยุ่นในการที่ค่อนข้าง collision.2 ความเร็วต่ำแม้จะมีปัจจัยแทรกซ้อนเหล่านี้ตีกลับของลูกสามารถวิเคราะห์ได้ในระดับประถมศึกษาระดับโดยใช้การรวมกันของกลศาสตร์ประถมศึกษาและทดลองข้อมูลเกี่ยวกับการบังคับรูปแบบคลื่น. ลูกลดลงในแนวตั้งลงบนพื้นผิวในแนวตั้งมีประสบการณ์แรงห่าม F5m DV / dt ที่ v5dy / dt เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลและY คือการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล F เป็นปกติ 100-1000 ครั้งใหญ่กว่ามก. ในกรณีที่แรงโน้มถ่วงที่สามารถละเลยในช่วงผลกระทบ สำหรับวัดที่กำหนดหรือบังคับใช้รูปแบบคลื่นความเร็วลูกและราง y ที่สามารถหาได้โดยวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการd2y / dt25F / m เริ่มต้นกับเงื่อนไขy50 และ DY / dt5v1 ที่ T50 โดยไม่คำนึงถึงการบีบอัดลูกและรูปร่างของลูกงานที่ทำในการเปลี่ยนพลังงานจลน์ของลูกเป็นF * DY และ areaenclosed โดย F เทียบกับวง hysteresis y ที่แสดงให้เห็นถึงสุทธิการสูญเสียพลังงาน0.5 (v1 2 2v2 2) . หากพื้นผิวเด้งเป็นอย่างดีแข็งการทำงานรวมทำโดยแรง F กระทำที่ด้านล่างของลูกเป็นศูนย์ตั้งแต่จุดของการประยุกต์ใช้แรงยังคงอยู่ในส่วนที่เหลือ อย่างไรก็ตาม * DY F แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในพลังงานจลน์ซึ่งเท่ากับและตรงข้ามกับการเปลี่ยนแปลงในการใช้พลังงานที่มีศักยภาพที่เกิดจากการบีบอัดของลูกบวกพลังงานเหือดหายไปในระหว่างการปะทะกัน พลังงานรวมทั้งพลังงานเหือดหายจึงยังคง. การวิเคราะห์ที่เรียบง่ายของการตีกลับจะได้รับหากสมมติว่าพื้นผิวการตีกลับไม่ได้ผิดปกติและยังคงอยู่ในส่วนที่เหลือและการบีบอัดบอล, x, จะได้รับจาก F52kx ที่k เป็นฤดูใบไม้ผลิอย่างต่อเนื่องของลูก หากมีการสันนิษฐานว่ายังมีความเรียบง่ายที่ y5x แล้ว d2y / dt252ky / m ดังนั้น F 5F0 บาป (VT) ซึ่ง F0 เป็นความกว้างของ F และ v2 5k / m มันสามารถอนุมานได้ว่าลูกยังคงอยู่ในรายชื่อผู้ติดต่อที่มีพื้นผิวเป็นเวลา T5P / โวลต์ก็รีบาวน์กับความเร็วเช่นเดียวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นความเร็วและรูปคลื่นแรงเป็นชีพจรครึ่งไซน์ของF05mvv1 กว้าง สำหรับลูกเทนนิส, m50.057 กิโลกรัมและ k; 23104 Nm21 ให้เวลาติดต่อที; 5.3 มิลลิวินาทีให้สอดคล้องกับ observations.8 สำหรับลูกเหล็กของมวลเดียวกันk มีขนาดใหญ่และเวลาการติดต่อมากสั้น เวลาติดต่อหาลูกเล็กแบกชนที่มีพื้นผิวที่เป็นของแข็งโดยทั่วไปจะมีเพียง 20-50 มิลลิวินาที. ในกรณีที่มีผลกระทบ Hertzian ที่ 2,9 ที่ F5kx3 / 2 หรือผลกระทบอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกฎหมายมีผลบังคับใช้ของแบบฟอร์ม F5kxn, มีนอกจากนี้ยังไม่มีการสูญเสียพลังงานเพื่อv25v1 ในทางปฏิบัติพบว่าv2 อยู่เสมอน้อยกว่า v1 และที่ F เทียบกับรูปคลื่นทีไม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบซายน์หรือแม้กระทั่งสมมาตร แรงที่วัดรูปคลื่นสามารถดิจิทัลสำหรับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขหรือสามารถติดตั้งได้ทั้งโดยการพหุนามหรือตามเงื่อนไขไม่กี่ครั้งแรกของซีรีส์ฟูริเยร์ที่จะได้รับการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ ตีกลับแรงรูปแบบคลื่นโดยทั่วไปจะมีเพียงเล็กน้อยไม่สมดุลดังนั้นครั้งแรกประมาณที่เหมาะสมคือการพิจารณาเพียงพื้นฐานส่วนประกอบฮาร์โมนิและครั้งที่สอง ประมาณนี้อัตราผลตอบแทนบางส่วนผลการวิเคราะห์ที่น่าสนใจแต่ก็ไม่ได้ให้เป็นแบบที่ดีให้กับข้อมูลการทดลอง ดังนั้นรูปแบบคลื่นแรงดิจิตอลถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์แต่ละลูกแยกกันและผลที่อธิบายไว้ด้านล่าง. III เทคนิคการทดลองแรงที่กระทำต่อลูกลดลงบนพื้นผิวที่เป็นของแข็งถูกวัดโดยใช้50 มมเส้นผ่าศูนย์กลาง 4 มมไพอีโซเซรามิกดิส%