Math sources (textbooks, teachers,

Math sources (textbooks, teachers, even this website) always say
subtraction and division are neither associative nor commutative. But
defined properly, they plainly are both associative and commutative.
So why does everyone say they're not?

I'll use the commutativeness of subtraction as an example; the other
situations are analogous. The expression "a - b" is defined as "a +
(-b)" for any real number. see, e.g., Keedy/Bittinger/Beecher,
"Algebra and Geometry," Sixth Ed'n, at p. 8, Theorem 2. That
expression commutates beautifully:

a + (-b) = (-b) + a
2 + (-3) = (-3) + 2

Thus, given the definition of subtraction, the statement that
subtraction is not commutative is false. The statement appears to
result solely from the obvious fact that the statements "a + (-b)" and
"b + (-a)" are different. But isn't that just being willfully sloppy
about the meaning of the "-" sign?

Are Subtraction and Division Commutative and Associative Operations?

Date: 05/15/2008 at 11:53:02
From: Uli
Subject: subtraction and division: commutative and associative?

Math sources (textbooks, teachers, even this website) always say
subtraction and division are neither associative nor commutative. But
defined properly, they plainly are both associative and commutative.
So why does everyone say they're not?

I'll use the commutativeness of subtraction as an example; the other
situations are analogous. The expression "a - b" is defined as "a +
(-b)" for any real number. see, e.g., Keedy/Bittinger/Beecher,
"Algebra and Geometry," Sixth Ed'n, at p. 8, Theorem 2. That
expression commutates beautifully:

a + (-b) = (-b) + a
2 + (-3) = (-3) + 2

Thus, given the definition of subtraction, the statement that
subtraction is not commutative is false. The statement appears to
result solely from the obvious fact that the statements "a + (-b)" and
"b + (-a)" are different. But isn't that just being willfully sloppy
about the meaning of the "-" sign?

In other words, even with a minimum of care about what the signs mean,
the alleged non-associativeness and non-commutativeness of subtraction
and division (with "a divided by b" defined as "a x 1/b", (see
Keedy/Bittinger/Beecher at p. 9, Theorem 4) vanishes. So why does
everyone insist that these operations are in fact non-commutative and
non-associative? Incomprehensibly to me, this even includes the
Keedy/Bittinger/Beecher textbook on p. 10, problems 75-78.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แหล่งคณิตศาสตร์ (หนังสือ ครู แม้แต่เว็บไซต์นี้) พูดเสมอลบและการหารไม่ใช่แบบจับคู่ หรือสลับ แต่กำหนดได้อย่างถูกต้อง เถิดจะสัมพันธ์กัน และสลับดังนั้น ทำไมไม่ทุกคนว่า พวกเขาไม่ฉันจะใช้ commutativeness ของลบเป็นตัวอย่าง อื่น ๆสถานการณ์จะคล้ายคลึง นิพจน์ที่กำหนดเป็น "a - b" "การ +(-b) "สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ดู เช่น Keedy/Bittinger/Beecher"พีชคณิตและเรขาคณิต หก Ed'n, p. 8 ทฤษฎีบท 2 ว่า นิพจน์ commutates สวยงาม:เป็น + (-b) = (-b) + เป็น2 + (-3) = (-3) + 2ดังนั้น ให้คำจำกัดความของลบ ยอดที่ลบไม่สลับเป็นเท็จ คำสั่งที่ปรากฏผลมาจากความจริงที่ชัดเจนเท่าที่งบ "เป็น + (-b) " และ" b + (-การ) " แตกต่างกัน แต่ไม่ใช่ที่เพียงเป็นเพราะจงใจเกี่ยวกับความหมายของการ "-" เข้าสู่ระบบลบและส่วนเกี่ยวข้อง และสลับการดำเนินการใดวัน: 05/15/2008 ที่ 11:53:02จาก: Uliเรื่อง: การลบและการหาร: สลับ และสัมพันธ์กันหรือไม่แหล่งคณิตศาสตร์ (หนังสือ ครู แม้แต่เว็บไซต์นี้) พูดเสมอลบและการหารไม่ใช่แบบจับคู่ หรือสลับ แต่กำหนดได้อย่างถูกต้อง เถิดจะสัมพันธ์กัน และสลับดังนั้น ทำไมไม่ทุกคนว่า พวกเขาไม่ฉันจะใช้ commutativeness ของลบเป็นตัวอย่าง อื่น ๆสถานการณ์จะคล้ายคลึง นิพจน์ที่กำหนดเป็น "a - b" "การ +(-b) "สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ดู เช่น Keedy/Bittinger/Beecher"พีชคณิตและเรขาคณิต หก Ed'n, p. 8 ทฤษฎีบท 2 ว่า นิพจน์ commutates สวยงาม:เป็น + (-b) = (-b) + เป็น2 + (-3) = (-3) + 2ดังนั้น ให้คำจำกัดความของลบ ยอดที่ลบไม่สลับเป็นเท็จ คำสั่งที่ปรากฏผลมาจากความจริงที่ชัดเจนเท่าที่งบ "เป็น + (-b) " และ" b + (-การ) " แตกต่างกัน แต่ไม่ใช่ที่เพียงเป็นเพราะจงใจเกี่ยวกับความหมายของการ "-" เข้าสู่ระบบแม้ในคำอื่น ๆ มีน้อยดูแลเกี่ยวกับสัญญาณหมายถึงอะไรถูกกล่าวหาไม่ใช่-associativeness และไม่ใช่-commutativeness ของลบและการหาร (ด้วย "ที่ถูกแบ่ง โดยบี" กำหนดเป็น "เป็น x 1/b ", (ดูKeedy/Bittinger/Beecher ที่ p. 9 ทฤษฎีบท 4) หายไป ดังนั้นทำไมไม่ทุกคนยืนยันการดำเนินการเหล่านี้จริงไม่ใช่สลับ และไม่สัมพันธ์กันหรือไม่ Incomprehensibly ฉันได้รวมถึงการหนังสือ Keedy/Bittinger/Beecher p. 10 ปัญหา 75-78

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แหล่งคณิตศาสตร์ (ตำราครูแม้กระทั่งเว็บไซต์นี้)
พูดเสมอว่าการลบและการหารจะไม่เชื่อมโยงหรือสับเปลี่ยน แต่. กำหนดไว้อย่างถูกต้องพวกเขาชัดถ้อยชัดคำมีทั้งการเชื่อมโยงและการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ทุกคนบอกว่าทำไมพวกเขาไม่ได้? ฉันจะใช้ commutativeness การลบเป็นตัวอย่างนั้น อื่น ๆสถานการณ์ที่คล้ายคลึง นิพจน์ "a - b" ถูกกำหนดให้เป็น "A + (-b)" สำหรับจำนวนจริงใด ๆ เห็นเช่น Keedy / Bittinger / บีเชอร์, "พีชคณิตเรขาคณิตและ" หก Ed'n ที่พี 8 ทฤษฎีบท 2. มีการแสดงออกอย่างสวยงามcommutates: A + (-b) = (-b) + A 2 + (-3) = (-3) + 2 จึงให้ความหมายของการลบคำสั่งที่ลบไม่ได้สับเปลี่ยนเป็นเท็จ คำสั่งที่ดูเหมือนจะส่งผล แต่เพียงผู้เดียวจากข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดว่างบ "a + (-b)" และ "B + (-a)" มีความแตกต่าง แต่ไม่ว่าเพียงแค่ความจงใจเลอะเทอะเกี่ยวกับความหมายของ "-" เข้าสู่ระบบ? Are ลบและกอง Commutative และการดำเนินงานเชื่อมโยง? วันที่: 2008/05/15 ที่ 11:53:02 จาก: Uli เรื่องการลบและการหาร: การเปลี่ยนแปลงและการเชื่อมโยง? แหล่งคณิตศาสตร์ (ตำราครูแม้กระทั่งเว็บไซต์นี้) พูดเสมอว่าการลบและการหารจะไม่เชื่อมโยงหรือสับเปลี่ยน แต่. กำหนดไว้อย่างถูกต้องพวกเขาชัดถ้อยชัดคำมีทั้งการเชื่อมโยงและการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ทุกคนบอกว่าทำไมพวกเขาไม่ได้? ฉันจะใช้ commutativeness การลบเป็นตัวอย่างนั้น อื่น ๆสถานการณ์ที่คล้ายคลึง นิพจน์ "a - b" ถูกกำหนดให้เป็น "A + (-b)" สำหรับจำนวนจริงใด ๆ เห็นเช่น Keedy / Bittinger / บีเชอร์, "พีชคณิตเรขาคณิตและ" หก Ed'n ที่พี 8 ทฤษฎีบท 2. มีการแสดงออกอย่างสวยงามcommutates: A + (-b) = (-b) + A 2 + (-3) = (-3) + 2 จึงให้ความหมายของการลบคำสั่งที่ลบไม่ได้สับเปลี่ยนเป็นเท็จ คำสั่งที่ดูเหมือนจะส่งผล แต่เพียงผู้เดียวจากข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดว่างบ "a + (-b)" และ "B + (-a)" มีความแตกต่าง แต่ไม่ว่าเพียงแค่ความจงใจเลอะเทอะเกี่ยวกับความหมายของ "-" เข้าสู่ระบบ? ในคำอื่น ๆ แม้จะมีขั้นต่ำของการดูแลเกี่ยวกับสิ่งที่หมายถึงสัญญาณที่ถูกกล่าวหาที่ไม่associativeness และไม่ commutativeness การลบและการหาร(กับ "แบ่งโดย b" หมายถึง "ขวาน 1 / b" (ดูKeedy / Bittinger / บีเชอร์ที่พี. 9 ทฤษฎีบท 4) หายไป. ดังนั้นทำไมทุกคนยืนยันว่าการดำเนินการเหล่านี้อยู่ในความเป็นจริงที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยนและที่ไม่เชื่อมโยง? ไม่มีขอบเขตกับผมนี้มากยิ่งรวมถึงKeedy / Bittinger / บีเชอร์ตำราพี. 10 ปัญหา 75-78