For more details on this topic, see

For more details on this topic, see functional notation.
A function f with domain X and codomain Y is commonly denoted by

fcolon X
ightarrow Y
or

X stackrel f
ightarrow Y.
In this context, the elements of X are called arguments of f. For each argument x, the corresponding unique y in the codomain is called the function value at x or the image of x under f. It is written as f(x). One says that f associates y with x or maps x to y. This is abbreviated by

y = f(x).
A general function is often denoted by f. Special functions have names, for example, the signum function is denoted by sgn. Given a real number x, its image under the signum function is then written as sgn(x). Here, the argument is denoted by the symbol x, but different symbols may be used in other contexts. For example, in physics, the velocity of some body, depending on the time, is denoted v(t). The parentheses around the argument may be omitted when there is little chance of confusion, thus: sin x; this is known as prefix notation.

In order to denote a specific function, the notation mapsto (an arrow with a bar at its tail) is used. For example, the above function reads

egin{align}
fcolon mathbb{N} & o mathbb{Z} \
x &mapsto 4-x.
end{align}
The first part can be read as:

"f is a function from ℕ (the set of natural numbers) to ℤ (the set of integers)" or
"f is a ℤ-valued function of an ℕ-valued variable".
The second part is read:

"x maps to 4−x."
In other words, this function has the natural numbers as domain, the integers as codomain. Strictly speaking, a function is properly defined only when the domain and codomain are specified. For example, the formula f(x) = 4 − x alone (without specifying the codomain and domain) is not a properly defined function. Moreover, the function

egin{align}
gcolon mathbb{Z} & o mathbb{Z} \
x &mapsto 4-x.
end{align}
(with different domain) is not considered the same function, even though the formulas defining f and g agree, and similarly with a different codomain. Despite that, many authors drop the specification of the domain and codomain, especially if these are clear from the context. So in this example many just write f(x) = 4 − x. Sometimes, the maximal possible domain is also understood implicitly: a formula such as scriptstyle f(x)=sqrt{x^2-5x+6} may mean that the domain of f is the set of real numbers x where the square root is defined (in this case x ≤ 2 or x ≥ 3).[5]

To define a function, sometimes a dot notation is used in order to emphasize the functional nature of an expression without assigning a special symbol to the variable. For instance, scriptstyle a(cdot)^2 stands for the function extstyle xmapsto ax^2, scriptstyle int_a^{, cdot} f(u)du stands for the integral function scriptstyle xmapsto int_a^x f(u)du, and so on.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สำหรับรายละเอียดในหัวข้อนี้ ดูเครื่องทำงานF เป็นฟังก์ชันโดเมน X และ codomain Y จะเขียนแทนด้วยกัน
ightarrow fcolon X YหรือX stackrel f
ightarrow Yในบริบทนี้ องค์ประกอบของ X จะเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของ f สำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ x, y เฉพาะที่สอดคล้องกันใน codomain ที่เรียกว่าค่าฟังก์ชันที่ x หรือภาพของ x ภายใต้ f จะเขียนเป็น f(x) หนึ่งกล่าวว่า f ที่ร่วม y กับ x หรือแผนที่ x กับ y นี้คือย่อโดยy = f(x)มักจะมีการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไป ด้วย f. ฟังก์ชันพิเศษมีชื่อ เช่น ระบุฟังก์ชันซิกนุ่มราง โดย sgn กำหนดจำนวนจริง x รูปใต้ซิกนุ่มรางการ ฟังก์ชันแล้วเขียนเป็น sgn(x) ที่นี่ อาร์กิวเมนต์จะเขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ x แต่แตกต่างกันอาจใช้สัญลักษณ์ในบริบทอื่น ๆ ได้ เช่น ฟิสิกส์ ความเร็วของร่างกายบางอย่าง ขึ้นอยู่กับเวลา เป็น v(t) เขียนแทน วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์อาจถูกตัดออกเมื่อมีโอกาสน้อยสับสน ดังนั้น: sin x นี้เรียกว่าเครื่องหมายนำหน้าใช้เครื่องหมาย mapsto (ลูกศรกับบาร์ที่หางของมัน) เพื่อแสดงฟังก์ชันเฉพาะ เช่น ฟังก์ชันข้างต้นอ่านegin{align } fcolon mathbb{N } & o mathbb{Z } \ x และ mapsto 4 xend{align }ส่วนแรกสามารถอ่านได้เป็น:"f จะเป็นฟังก์ชันจากℕ (ชุดตัวเลขธรรมชาติ) ℤ (ชุดเต็ม)" หรือ"f เป็นฟังก์ชันของตัวแปรมูลค่าℕมูลค่าℤ"ส่วนที่สองจะอ่าน:"x แผนที่เพื่อ 4−x นี้"ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชันนี้มีหมายเลขธรรมชาติเป็นโดเมน จำนวนเต็มเป็น codomain อย่างเคร่งครัดพูด ฟังก์ชันจะถูกกำหนดเมื่อโดเมนและ codomain ระบุไว้เท่านั้น เช่น f(x) สูตร = 4 − x เพียงอย่างเดียว (ไม่ระบุ codomain และโดเมน) ไม่ใช่ฟังก์ชันที่กำหนดได้อย่างถูกต้อง นอกจากนี้ การทำงานegin{align } gcolon mathbb{Z } & o mathbb{Z } \ x และ mapsto 4 xend{align }(มีโดเมนแตกต่างกัน) ไม่ถือว่าฟังก์ชันเดียวกัน แม้ ว่าตกลงที่สูตรกำหนด f และ g และในทำนองเดียวกัน กับ codomain แตกต่างกัน ถึงแม้ว่า ผู้เขียนหลายปล่อยของโดเมนและ codomain โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามีล้างจากบริบท ดังนั้นในตัวอย่างนี้ หลายคนเพียงแค่เขียน f(x) = 4 − x บางครั้ง โดเมนเป็นไปได้สูงสุดจะยังเข้าใจนัย: สูตร scriptstyle f (x) = sqrt { x ^ 2-5 x + 6 } อาจหมายความ ว่า โดเมนของ f เป็นจำนวนจริง x ซึ่งกำหนดค่ารากที่สอง (ในกรณี x ≤ 2 หรือ x ≥ 3) [5]การกำหนดฟังก์ชัน บางที่แมปไว้เพื่อเน้นธรรมชาติการทำงานของนิพจน์โดยไม่ได้กำหนดเป็นสัญลักษณ์พิเศษให้กับตัวแปร เช่น scriptstyle (cdot) ^ 2 ยืนสำหรับ ax extstyle xmapsto ฟังก์ชัน ^ 2, scriptstyle int_a^{, cdot } du f (u) หมายถึงฟังก์ชันหนึ่ง scriptstyle xmapsto int_a^x f (u) du และอื่น ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้เห็นสัญกรณ์การทำงาน.
ฟังก์ชัน f กับโดเมนของ X และ Y โคโดเมนคือเข็มทิศโดยทั่วไปF ลำไส้ใหญ่ X rightarrow Y หรือX stackrel F rightarrow วายในบริบทนี้องค์ประกอบของ X จะเรียกว่า การขัดแย้งของ F สำหรับแต่ละ x อาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกัน Y ไม่ซ้ำกันในโคโดเมนที่เรียกว่าค่าฟังก์ชั่นที่ X หรือภาพของ X ภายใต้ฉ มันเป็นเรื่องที่เขียนเป็น f (x) หนึ่งกล่าวว่า บริษัท ร่วมกับ F Y X หรือแผนที่ X เป็น Y นี้จะย่อโดยการ y = f (x). ฟังก์ชั่นทั่วไปมักจะแสดงโดย f ฟังก์ชั่นพิเศษมีชื่อเช่นฟังก์ชั่น Signum จะแสดงโดย SGN รับจำนวนจริง x ภาพของตนภายใต้ฟังก์ชั่น Signum เป็นลายลักษณ์อักษรแล้วเป็น SGN (x) นี่อาร์กิวเมนต์ที่ถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ X แต่สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันอาจจะใช้ในบริบทอื่น ๆ ยกตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์ความเร็วของร่างกายบางอย่างขึ้นอยู่กับเวลาที่จะเขียนแทน V (t) วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์อาจถูกมองข้ามเมื่อมีโอกาสเพียงน้อยนิดของความสับสนจึง: บาป x; นี้เรียกว่าสัญกรณ์คำนำหน้า. เพื่อแสดงว่าเป็นฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจงสัญกรณ์ mapsto (ลูกศรที่มีบาร์ที่หางของมัน) จะนำมาใช้ ยกตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นข้างต้นอ่าน begin {align} F ลำไส้ใหญ่ mathbb {N} & to mathbb {Z} \ x & mapsto 4 x. end {} จัดส่วนแรกสามารถอ่านได้ : "F เป็นฟังก์ชันจากℕ (ชุดของตัวเลขธรรมชาติ) เพื่อℤ (ชุดของจำนวนเต็ม)" หรือ"F เป็นฟังก์ชันℤมูลค่าของตัวแปรℕมูลค่า". ส่วนที่สองคือการอ่าน: "x แผนที่ 4-x. " ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชั่นนี้มีจำนวนธรรมชาติเป็นโดเมนจำนวนเต็มเป็นโคโดเมน พูดอย่างเคร่งครัด, ฟังก์ชั่นที่มีการกำหนดอย่างถูกต้องเฉพาะเมื่อโดเมนและโคโดเมนที่ระบุไว้ ยกตัวอย่างเช่น F สูตร (x) = 4 - X เพียงอย่างเดียว (ไม่ระบุโคโดเมนและโดเมน) ไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้อย่างถูกต้อง นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่น begin {align} G ลำไส้ใหญ่ mathbb {Z} & to mathbb {Z} \ x & mapsto 4 x. end {align} (ที่มีประสิทธิภาพที่แตกต่างกัน) ไม่ได้รับการพิจารณาเช่นเดียวกัน ฟังก์ชั่นแม้ว่าสูตรการกำหนด F และ G เห็นด้วยและในทำนองเดียวกันกับโคโดเมนที่แตกต่างกัน แม้จะมีที่เขียนหลายคนวางสเปคของโดเมนและโคโดเมนโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าสิ่งเหล่านี้มีความชัดเจนจากบริบท ดังนั้นในตัวอย่างนี้จำนวนมากเพียงแค่เขียน f (x) = 4 - X บางครั้งโดเมนที่เป็นไปได้สูงสุดยังเป็นที่เข้าใจโดยปริยายสูตรเช่น scriptstyle f (x) = sqrt {x ^ 2-5x + 6} อาจหมายความว่าโดเมนของ f คือชุดของตัวเลขจริง x ที่ตาราง รากจะถูกกำหนด (ในกรณีนี้ x ≤ 2 หรือ x ≥ 3). [5] เพื่อกำหนดฟังก์ชั่นบางครั้งจุดสัญกรณ์ถูกนำมาใช้ในการสั่งซื้อที่จะเน้นลักษณะการทำงานของการแสดงออกโดยไม่ต้องกำหนดสัญลักษณ์พิเศษให้กับตัวแปร ยกตัวอย่างเช่น scriptstyle A ( cdot) ^ 2 หมายถึงฟังก์ชั่น textstyle x mapsto ขวาน ^ 2 scriptstyle int_a ^ {, cdot} f (U) du ย่อมาจากฟังก์ชั่นหนึ่ง scriptstyle x mapsto ^ int_a XF (U) dU, และอื่น ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ เห็นโน้ตการทํางานฟังก์ชัน f ที่มีโดเมน X และ Y เป็นโจโคโบะแทน โดยทั่วไปfcolon xightarrow Yหรือstackrel f xightarrow Yในบริบทนี้ องค์ประกอบของ x จะเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของ F . สำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ x , y ที่สอดคล้องกันในโคโดเมนเรียกว่าค่าฟังก์ชันที่ x หรือภาพ X ได้ที่ F มันเขียนว่า F ( x ) บอกว่า F สมาคม Y กับ X หรือ X Y นี่ย่อแผนที่โดยy = f ( x )ฟังก์ชันทั่วไปมักเขียนแทนด้วย f ฟังก์ชันพิเศษ มี ชื่อ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซิกนัมเขียนโดย SGN . ได้รับจริงจำนวน X ของภาพภายใต้ฟังก์ชันซิกนั่มแล้วเขียนเป็น SGN ( X ) ที่นี่ อาร์กิวเมนต์จะถูกเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X แต่สัญลักษณ์อื่นที่อาจจะใช้ในบริบทอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น ฟิสิกส์ , ความเร็วของร่างบาง ขึ้นอยู่กับ เวลา เขียน V ( t ) วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์อาจจะถูกตัดออกเมื่อมีโอกาสสับสนเล็กน้อยดังนี้ บาป  x ; นี้เป็นที่รู้จักกันเป็นคำนำหน้าสัญกรณ์เพื่อแสดงถึงการทำงานที่เฉพาะเจาะจง mapsto ( สัญกรณ์ลูกศรกับแถบที่หางของมัน ) จะใช้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันข้างต้น อ่านegin { จัด }fcolon mathbb { n } & O mathbb { Z } mapsto 4-x. & xจบ { จัด }ส่วนแรกสามารถอ่านเป็น :" f เป็นฟังก์ชันจากℕ ( เซตของจำนวนธรรมชาติ ) ℤ ( เซตของจำนวนเต็ม ) ”หรือ" F เป็นℤ - มูลค่าฟังก์ชันของℕ - มูลค่าตัวแปร "ส่วนที่สอง คือ อ่าน :" x แผนที่ 4 − X "ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชั่นนี้มีธรรมชาติเป็นโดเมนจำนวนเต็มเป็นโจโคโบะ . อย่างเคร่งครัดพูด หน้าที่ถูกกำหนดเมื่อโดเมนและโจโคโบะจะระบุ ตัวอย่างเช่น สูตร f ( x ) = 4 − x คนเดียว ( โดยไม่ต้องระบุโคโดเมนและโดเมน ) ไม่ได้ถูกกำหนดฟังก์ชัน นอกจากนี้ ฟังก์ชันegin { จัด }gcolon mathbb { Z } & O mathbb { Z } mapsto 4-x. & xจบ { จัด }( ที่มีโดเมน ) ไม่ถือว่าฟังก์ชันเดียวกัน แม้ว่าสูตรกำหนด F และ G เห็นด้วยและในทำนองเดียวกันกับโจโคโบะที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามผู้เขียนหลายคนวางสเปคของโดเมนและโจโคโบะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเหล่านี้มีความชัดเจนจากบริบท ดังนั้นในตัวอย่างนี้มีแค่เขียน f ( x ) = − 4 X . บางครั้ง โดเมนที่เป็นไปได้สูงสุดคือยังเข้าใจโดยปริยาย : สูตร เช่น scriptstyle f ( x ) = x ^ 2-5x SQRT { + 6 } อาจหมายถึงว่าโดเมนของ f คือเซตของจำนวนจริง x ที่รูตา ( ในกรณีนี้ x x ≥≤ 2 หรือ 3 ) . [ 5 ]ที่จะกำหนดฟังก์ชัน บางครั้งจุดสัญกรณ์ที่ใช้เพื่อเน้นธรรมชาติการทำงานของการแสดงออกโดยไม่ต้องกําหนดสัญลักษณ์พิเศษให้กับตัวแปร ตัวอย่าง scriptstyle ( cdot ) ^ 2 หมายถึงฟังก์ชัน extstyle xmapsto ax ^ 2 scriptstyle int_a ^ { cdot } , F ( U ) ดูหมายถึงปริพันธ์ฟังก์ชัน scriptstyle xmapsto int_a ^ x F ( U ) ดู และอื่น ๆ