We must point out that with a simil

We must point out that with a similar iteration strategy the process will oscillate around the effort-fair points and the
size of this fluctuation interval depends on β. That is, a small value of β yields smaller fluctuation interval but with lower
speed of convergence, and a large value of β yields higher speed of convergence but larger fluctuation interval. To overcome
this problem we can adopt a variable β, i.e., a value of β that is function of s and of the stability of the convergence process.
We empirically, derive a suitable updating strategy for the values of β.
In the following we prove that the iterative method converges to the effort-fair points.
Proposition 1. Each ISP converges to its own Φ
∗
i
.
Proof. For the sake of readability we only present the proof for the case k = 2 (the proof for k > 2 follows the same ideas
but with the use of a cumbersome notation).
First of all, we show that the line t
∗
: Φ1Θ2 = Φ2Θ1 is a fixed line of the replicator dynamic, i.e., if the staring point of
the iteration, i.e., p
(0) = (Φ
0
1
, Φ
0
2
) is on the line t
∗
then for any other iteration step s we have that p
(s) = (Φ
s
1
, Φ
s
2
) ∈ t
∗
. If
p
(0) ∈ t
∗
then
p
(0) =

Φ
0
1
,
Θ2
Θ1
Φ
0
1

.
Now there are two cases:
• p
(0)
is in the universal streaming region and then
p
(1) = p
(0) − βp
(0) =

Φ
0
1
(1 − β),
Θ2
Θ1
Φ
0
1
(1 − β)
,
so p
(1) ∈ t
∗
.
• p
(0)
is not in the universal streaming region. In this case we have that
p
(1) = p
(0) + β(Θ1, Θ2) =

Φ
0
1 + βΘ1,
Θ2
Θ1
(Φ
0
1 + βΘ1)

,
and again p
(1) ∈ t
∗
.
We can conclude that t
∗
is a fixed line of the replicator dynamic.
We prove now that the line t
∗
is an attractor of the dynamic system. Let p = (x, y) be a generic point (see Fig. 2) in the
universal streaming region. In this case the system will move in a radial direction along the line t until it falls out of the
universal streaming region, e.g., in the point p
′ = (x
′
, y
′
). This point is not in the universal streaming region, so the system
will move along a new line, parallel to t
∗
, until it returns into the universal streaming region. Let p
′′ = (x
′′
, y
′′) be the new
point reached by the system. The system will move along a new radial line t
′
, that is closer to t
∗ with respect to the previous
line t. Going on we have that the radial line tends to t
∗
, so we can conclude that t
∗
is an attractor of the system.
Finally, we have that the system oscillates around the effort-fair point (Φ
∗
1
, Φ
∗
2
). Indeed, each Φ
s
i will oscillate into the
interval [Φ
∗
i − βΦ
∗
i
, Φ
∗
i + βΘi]. This means that using an opportune function for decreasing β we obtain for each ISP-i the
convergence to its effort-fair point Φ
∗
i
.
V. Bioglio et al. / Performance Evaluation 68 (2011) 1162–1174 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราต้องชี้ให้เห็นว่า ด้วยกลยุทธ์เกิดซ้ำเหมือนการจะ oscillate รอบจุดแรงงานและขนาดช่วงนี้ผันผวนขึ้นอยู่กับβ นั่นคือ ขนาดเล็กค่า ของβอัตราผลตอบแทนช่วงผันผวนน้อย แต่ต่ำกว่าความเร็วของลู่เข้า และค่าβขนาดใหญ่ทำให้ความเร็วสูงของบรรจบกันแต่ช่วงความผันผวน การเอาชนะปัญหานี้เราสามารถนำมาใช้เป็นตัวแปรβ เช่น ค่าβที่เป็นฟังก์ชัน ของ s และเสถียรภาพของการบรรจบกันเราได้รับกลยุทธ์การปรับปรุงที่เหมาะสมสำหรับค่าของβ empiricallyในต่อไปนี้ เราพิสูจน์ว่า วิธีซ้ำ converges จุดแรงงานข้อเสนอที่ 1 แต่ละ ISP converges เพื่อΦของตัวเอง∗ฉัน.หลักฐานการ เพื่ออ่าน เราเพียงนำหลักฐานสำหรับ k กรณี = 2 (พิสูจน์ k > 2 ตามความคิดเดียวกันแต่ มีการใช้สัญกรณ์ยุ่งยาก)ครั้งแรกของทั้งหมด เราแสดงว่าไม่บรรทัด∗: Φ1Θ2 = Φ2Θ1 เป็นถาวรสายของไดนามิกตัวทำซ้ำ เช่น ถ้าจ้องมองจุดของการเกิดซ้ำ เช่น p(0) = (Φ01Φ02) อยู่ทีบรรทัด∗สำหรับการเกิดซ้ำขั้นตอน s เราแล้วว่า p(s) = (Φs1Φs2) ∈ t∗. หากpT ∈ (0)∗แล้วp(0) =Φ01,Θ2Θ1Φ01.ตอนนี้มีอยู่สองกรณี:• p(0)ในภูมิภาคส่งกระแสข้อมูลสากลแล้วp(1) = pΒp − (0)(0) =Φ01(1 −Β),Θ2Θ1Φ01 (1 −Β),ดังนั้น p(1) ∈ t∗.• p(0)ไม่ใช่ในภูมิภาคสากลสตรีมมิ่ง ในกรณีนี้ เราได้ที่p(1) = p(0) + Β (Θ1, Θ2) =Φ01 + ΒΘ1Θ2Θ1(Φ01 + ΒΘ1),และ p อีกครั้ง(1) ∈ t∗.เราสามารถสรุป∗เป็นตัวทำซ้ำบรรทัดคงที่แบบไดนามิกเราพิสูจน์ตอนนี้ที่ทีบรรทัด∗การ attractor พลวัตได้ ให้ p = (x, y) เป็นการทั่วไปชี้ (ดู Fig. 2) ในการภูมิภาคสากลสตรีมมิ่ง ในกรณีนี้ ระบบจะย้ายในทิศทางรัศมีตามทีบรรทัดจนกว่าตรงออกมาจากการสากลภูมิภาค เช่น การสตรีมมิ่งในจุด p′ = (x′, y′). จุดนี้ไม่ส่งกระแสข้อมูลภูมิภาคสากล ดังนั้นระบบจะย้ายไปตามบรรทัดใหม่ ขนานไป t∗จนกว่าจะส่งกลับเป็นสตรีมมิ่งภูมิภาคสากล ให้ p′′ = (x′′, y′′) ได้ใหม่จุดเข้าถึง โดยระบบ ระบบจะย้ายตาม t เป็นเส้นรัศมีใหม่′ที่อยู่ใกล้ชิดกับ t∗กับก่อนหน้าบรรทัดต.เกิดขึ้นเรามีเส้นรัศมีมีแนวโน้มไป t∗ดังนั้นเราสามารถสรุป∗การ attractor ของระบบได้สุดท้าย เรามีว่า ระบบ oscillates รอบจุดพยายามแฟร์ (Φ∗1Φ∗2). แน่นอน แต่ละΦsฉันจะ oscillate เป็นช่วง [Φ∗ฉัน−βΦ∗ฉันΦ∗ผม + βΘi] หมายความ ว่า ใช้ฟังก์ชันที่เหมาะสมลดลงβที่เราได้รับในแต่ละ ISP-iบรรจบกันเพื่อความยุติธรรมความพยายามจุดΦ∗ฉัน. V. Bioglio et al. / ประเมินประสิทธิภาพ 68 (2011) 1162-1174 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราจะต้องชี้ให้เห็นว่าด้วยกลยุทธ์การทำซ้ำที่คล้ายกันกระบวนการที่จะแกว่งไปรอบ ๆ
จุดที่ความพยายามที่ยุติธรรมและขนาดของความผันผวนของช่วงเวลานี้ขึ้นอยู่กับβ นั่นคือค่าเล็ก ๆ ของβอัตราผลตอบแทนช่วงความผันผวนที่มีขนาดเล็ก
แต่มีที่ต่ำกว่าความเร็วของคอนเวอร์เจนซ์และค่าขนาดใหญ่ของอัตราผลตอบแทนβความเร็วที่สูงขึ้นของการบรรจบกันแต่ช่วงความผันผวนที่มีขนาดใหญ่ ที่จะเอาชนะปัญหานี้เราสามารถนำมาใช้เป็นβตัวแปรคือค่าของβว่าเป็นหน้าที่ของ s และความมั่นคงของกระบวนการการบรรจบกันที่. เราสังเกตุได้มาซึ่งกลยุทธ์การปรับปรุงที่เหมาะสมสำหรับค่าβได้. ในต่อไปนี้เราพิสูจน์ ว่าวิธีการซ้ำลู่ไปยังจุดความพยายามที่เป็นธรรม. โจทย์ 1. ISP แต่ละลู่ไปΦของตัวเอง* ฉัน. หลักฐาน เพื่อประโยชน์ของการอ่านเราจะนำเสนอหลักฐานสำหรับกรณี k = 2 (หลักฐานสำหรับ k> 2 ต่อไปนี้ความคิดเดียวกันแต่มีการใช้สัญกรณ์ยุ่งยาก.) ครั้งแรกของทั้งหมดที่เราแสดงให้เห็นว่าเส้นที*: Φ1Θ2 = Φ2Θ1เป็นเส้นคงที่จำลองแบบไดนามิกเช่นถ้าจุดที่จ้องมองของการทำซ้ำเช่นพี(0) = (Φ 0 1, Φ 0 2) อยู่บนเส้นที * แล้วสำหรับขั้นตอนการทำซ้ำที่อื่น ๆ ของ เรามีที่พี(s) = (Φ s 1, Φ s 2) ∈เสื้อ * ถ้าพี(0) ∈เสื้อ* แล้วพี(0) = อร0 1, Θ2Θ1อร0 1 . ขณะนี้มีสองกรณี•พี(0) ในภูมิภาคสตรีมมิ่งสากลแล้วพี(1) = พี(0) - βp (0) = อร0 1 (1 - β) Θ2Θ1อร0 1 (1 - β) , เพื่อให้พี(1) ∈เสื้อ*. •พี(0) ไม่ได้อยู่ใน ภูมิภาคสตรีมมิ่งสากล ในกรณีนี้เรามีที่พี(1) = พี(0) + β (Θ1, Θ2) = Φ 0 1 + βΘ1, Θ2Θ1 (Φ 0 1 + βΘ1) , และอีกครั้งหน้า(1) ∈เสื้อ* . เราสามารถสรุปได้ว่าเสื้อ* เป็นเส้นคงที่จำลองแบบไดนามิก. เราพิสูจน์แล้วว่าเส้นที* เป็น attractor ของระบบแบบไดนามิก ให้ p = (x, y) เป็นจุดทั่วไป (ดูรูปที่. 2) ในภูมิภาคสตรีมมิ่งสากล ในกรณีนี้ระบบจะย้ายไปในทิศทางรัศมีพร้อมเสื้อสายจนกว่าจะตกออกจากภูมิภาคสตรีมมิ่งสากลเช่นในจุดพี'= (x', y ') จุดนี้ไม่ได้อยู่ในภูมิภาคสตรีมมิ่งสากลเพื่อให้ระบบจะย้ายไปตามบรรทัดใหม่ขนานไปกับเสื้อ*, จนกว่าจะกลับเข้ามาในภูมิภาคสตรีมมิ่งสากล ให้พี'' = (x '', y '') จะใหม่จุดเข้าถึงได้โดยระบบ ระบบจะย้ายตามแนวรัศมีเสื้อใหม่', ที่อยู่ใกล้กับเสื้อ * ส่วนที่เกี่ยวกับก่อนหน้านี้เสื้อสาย ที่เกิดขึ้นเรามีสายรัศมีมีแนวโน้มที่จะ t * เพื่อให้เราสามารถสรุปได้เสื้อที่* เป็น attractor ของระบบ. สุดท้ายเรามีระบบที่ oscillates รอบจุดความพยายามที่ยุติธรรม (Φ * 1, Φ * 2) . อันที่จริงในแต่ละΦ s ฉันจะแกว่งลงในช่วง [Φ * ฉัน - βΦ * ฉัน, Φ * i + βΘi] ซึ่งหมายความว่าการใช้ฟังก์ชั่นที่เหมาะสมสำหรับการลดβเราได้รับในแต่ละ ISP-ฉันบรรจบกันไปยังจุดความพยายามยุติธรรมΦ * ฉัน. โวลต์ Bioglio et al, / ประเมินผลการปฏิบัติ 68 (2011) 1162-1174 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราก็ต้องชี้ว่า ด้วยกลยุทธ์ที่คล้ายกันซ้ำกระบวนการจะแกว่งไปมารอบ ๆจุดและความพยายามดีขนาดนี้
ช่วงเวลาขึ้นอยู่กับความผันผวนของบีตา . นั่นคือค่าขนาดเล็กของบีตาความผันผวนที่มีขนาดเล็ก แต่ผลผลิตช่วงล่าง
ความเร็วในการลู่เข้าของและมากค่าความเร็วในการลู่เข้าของบีตาผลผลิตสูงแต่มีขนาดใหญ่ขึ้น ช่วง ที่จะเอาชนะ
ปัญหานี้เราสามารถใช้ตัวแปรบีตา เช่น ค่าของบีตาที่เป็นฟังก์ชันของ S และเสถียรภาพของกระบวนการ Convergence
เราสังเกตุมาปรับปรุงกลยุทธ์ , เหมาะสำหรับค่าของบีตา .
ในต่อไปนี้เราจะพิสูจน์ว่าวิธีการหาซ้ำกับความพยายามที่ยุติธรรม
ข้อเสนอ 1 จุด . แต่ละ ISP ตัวเอง∗Φ

ผม
.
พิสูจน์เพื่อประโยชน์ของการอ่าน เราเพียงเสนอหลักฐานสำหรับกรณี k = 2 ( หลักฐานค่า K > 2 ดังนี้
ความคิดเดียวกัน แต่ด้วยการใช้สัญกรณ์ที่ยุ่งยาก ) .
ครั้งแรกของทั้งหมด เราพบว่าเส้น T
∗
: Φ 1 Θ 2 = Φ 2 Θ 1 คือ แก้ไขบรรทัดของจำลองแบบไดนามิก คือ ถ้ามองจากจุด
ซ้ำ , I , P
( 0 ) = ( Φ
0
1
, Φ
0
2
) อยู่บนเส้น T
∗
แล้วขั้นตอนการใด ๆอื่น ๆที่เรามี P
( s ) = ( Φ
s
1
, Φ
s
2
) ∈ T
∗

ถ้า
P
( 0 ) ∈ T
∗
แล้ว
P
( 0 ) =

Φ
0
1
,
2

ΦΘΘ 1
0
1

.
ตอนนี้ มีอยู่สองกรณี :
-
P
( 1 ) อยู่ใน สากลภูมิภาคสตรีมมิ่งแล้ว
P
( 1 ) = P
( 0 ) −บีตา P
( 0 ) =

Φ
0
1
( 1 −บีตา ) 2
1

ΘΘΦ
0
1
( 1 −บีตา ) 

ดังนั้น p
( 1 ) ∈ T
∗
.

- P ( 0 )
ไม่ใช่สตรีมมิ่งในสากลภูมิภาคในกรณีนี้เราได้ว่า
P
( 1 ) = P
( 0 ) บีตา ( Θ 1 , Θ 2 ) =

Φ
0
1
2
βΘ 1 ΘΘ 1
( Φ
0
1 βΘ 1 )

,
p
( และอีก 1 ) ∈ T
∗
.
เราสามารถสรุปได้ว่า T
∗
เป็นโทรศัพท์พื้นฐาน ของจำลองแบบไดนามิก .
เราพิสูจน์ตอนนี้เส้น T
∗
เป็น attractor ของระบบแบบไดนามิก ให้ P = ( x , y ) เป็น จุด ทั่วไป ( ดูรูปที่ 2 ) ใน
สากล ( ภาค