Definitions of mathematicsMain arti

Definitions of mathematics
Main article: Definitions of mathematics

Leonardo Fibonacci, the Italianmathematician who established the Hindu–Arabic numeral system to the Western World
Aristotle defined mathematics as "the science of quantity", and this definition prevailed until the 18th century. Starting in the 19th century, when the study of mathematics increased in rigor and began to address abstract topics such as group theory and projective geometry, which have no clear-cut relation to quantity and measurement, mathematicians and philosophers began to propose a variety of new definitions. Some of these definitions emphasize the deductive character of much of mathematics, some emphasize its abstractness, some emphasize certain topics within mathematics. Today, no consensus on the definition of mathematics prevails, even among professionals. There is not even consensus on whether mathematics is an art or a science. A great many professional mathematicians take no interest in a definition of mathematics, or consider it undefinable. Some just say, "Mathematics is what mathematicians do."
Three leading types of definition of mathematics are called logicist, intuitionist, and formalist, each reflecting a different philosophical school of thought. All have severe problems, none has widespread acceptance, and no reconciliation seems possible.
An early definition of mathematics in terms of logic was Benjamin Peirce's "the science that draws necessary conclusions" (1870). In the Principia Mathematica, Bertrand Russell and Alfred North Whitehead advanced the philosophical program known as logicism, and attempted to prove that all mathematical concepts, statements, and principles can be defined and proven entirely in terms of symbolic logic. A logicist definition of mathematics is Russell's "All Mathematics is Symbolic Logic" (1903).
Intuitionist definitions, developing from the philosophy of mathematician L.E.J. Brouwer, identify mathematics with certain mental phenomena. An example of an intuitionist definition is "Mathematics is the mental activity which consists in carrying out constructs one after the other."[31] A peculiarity of intuitionism is that it rejects some mathematical ideas considered valid according to other definitions. In particular, while other philosophies of mathematics allow objects that can be proven to exist even though they cannot be constructed, intuitionism allows only mathematical objects that one can actually construct.
Formalist definitions identify mathematics with its symbols and the rules for operating on them. Haskell Curry defined mathematics simply as "the science of formal systems".A formal system is a set of symbols, or tokens, and some rules telling how the tokens may be combined into formulas. In formal systems, the word axiom has a special meaning, different from the ordinary meaning of "a self-evident truth". In formal systems, an axiom is a combination of tokens that is included in a given formal system without needing to be derived using the rules of the system.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำนิยามของวิชาคณิตศาสตร์บทความหลัก: คำนิยามของวิชาคณิตศาสตร์ Leonardo Fibonacci, Italianmathematician ผู้ก่อตั้งระบบเลขฮินดูอาหรับกับโลกตะวันตกอาริสโตเติลได้แก่คณิตศาสตร์ "ศาสตร์ปริมาณ" และคำจำกัดความนี้แผ่ขยายไปจนถึงศตวรรษ 18 เริ่มต้นในศตวรรษที่ เมื่อวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นใน rigor และเริ่มหัวข้อบทคัดย่อกลุ่มทฤษฎีและ projective เรขาคณิต ซึ่งไม่มีที่แน่ชัดความสัมพันธ์ปริมาณการวัด mathematicians และปรัชญาเริ่มเสนอความหลากหลายของข้อกำหนดใหม่ บางส่วนของคำนิยามนี้เน้นอักขระ deductive ของคณิตศาสตร์มาก บางเน้นความ abstractness บางคนเน้นบางหัวข้อในวิชาคณิตศาสตร์ วันนี้ ไม่มีมติในข้อกำหนดของคณิตศาสตร์แสดง แม้ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญ ไม่มีแม้แต่มติว่าคณิตศาสตร์เป็น ศาสตร์หรือศิลปะ Mathematicians มากมืออาชีพมากขึ้นไม่สนใจในคำนิยามของวิชาคณิตศาสตร์ หรือพิจารณา undefinable บางเพียงกล่าว, "คณิตศาสตร์ mathematicians ทำ" สามชนิดนำนิยามของคณิตศาสตร์เรียกว่า logicist, intuitionist และ formalist แต่ละสะท้อนความแตกต่างกันปรัชญาโรงเรียนคิด มีปัญหารุนแรง ไม่มีการยอมรับอย่างแพร่หลาย และกระทบยอดไม่น่าเป็นไปได้ ข้อกำหนดที่ต้นของคณิตศาสตร์ในแง่ของตรรกะเบนจามิน Peirce ของ "วิทยาศาสตร์ซึ่งจำเป็นบทสรุป" (ค.ศ. 1870) ใน Principia Mathematica เบอร์ทรานด์รัสเซลล์และอัลเฟรดนอร์ธ Whitehead ขั้นสูงโปรแกรมปรัชญาที่เรียกว่า logicism และพยายามที่จะพิสูจน์ว่า แนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด คำ และหลักสามารถกำหนด และพิสูจน์ทั้งในแง่ของตรรกะ symbolic ข้อกำหนด logicist ของคณิตศาสตร์เป็นของรัสเซล "ทั้งหมดคณิตศาสตร์เป็น Symbolic ตรรกะ " (1903) ข้อกำหนด intuitionist พัฒนาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์ L.E.J. Brouwer ระบุคณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ทางจิตบางอย่าง ตัวอย่างของข้อกำหนด intuitionist เป็น "คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยในการดำเนินโครงสร้างหนึ่งหลังจากอื่นๆ" [31] การหลุดของ intuitionism เป็นว่า ปฏิเสธความคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างถือว่าถูกต้องตามข้อกำหนดอื่น ๆ โดยเฉพาะ ในขณะที่อื่น ๆ ปรัชญาคณิตศาสตร์ทำให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์ได้อยู่แม้ว่าพวกเขาไม่สามารถสร้าง intuitionism ได้วัตถุทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่หนึ่งสามารถสร้างจริงFormalist definitions identify mathematics with its symbols and the rules for operating on them. Haskell Curry defined mathematics simply as "the science of formal systems".A formal system is a set of symbols, or tokens, and some rules telling how the tokens may be combined into formulas. In formal systems, the word axiom has a special meaning, different from the ordinary meaning of "a self-evident truth". In formal systems, an axiom is a combination of tokens that is included in a given formal system without needing to be derived using the rules of the system.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความหมายของบทความหลักคณิตศาสตร์
: นิยามของคณิตศาสตร์

Leonardo Fibonacci , italianmathematician ที่สถาปนาฮินดู–ตัวเลขภาษาอาหรับระบบโลกตะวันตก
อริสโตเติลนิยามคณิตศาสตร์เป็น " วิทยาศาสตร์ของปริมาณ และความหมายนี้มีชัยจนกระทั่งศตวรรษที่ 18 เริ่มต้นในศตวรรษที่ 19 ,เมื่อศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มความเข้มงวดและเริ่มข้อที่เป็นนามธรรม เช่น ทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิตเชิงภาพฉาย ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัด นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาเริ่มเสนอความหลากหลายของนิยามใหม่ บางส่วนของคำนิยามเหล่านี้เน้นตัวแบบมาก บางอย่างเป็นนามธรรมเน้นของมัน , คณิตศาสตร์บางคนเน้นบางหัวข้อในคณิตศาสตร์ วันนี้ไม่เอกฉันท์ในความหมายของคณิตศาสตร์ มีชัย แม้แต่ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญ ไม่มีฉันทามติว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ เป็นนักคณิตศาสตร์มืออาชีพที่ดีมากไม่มีความสนใจในความหมายของคณิตศาสตร์ หรือพิจารณา undefinable . บางคนก็บอกว่า " คณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ "
3 นำประเภทของคำนิยามของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า logicist intuitionist , และ formalist แต่ละโรงเรียนแตกต่างกันสะท้อนให้เห็นถึงปรัชญาความคิด ทุกคนมีปัญหารุนแรง ไม่มีใครมีฉาวยอมรับและไม่มีการปรองดอง อาจเป็นไปได้
เป็นนิยามแรกของคณิตศาสตร์ในแง่ตรรกะคือเบนจามิน เพิร์ซ " วิทยาศาสตร์ที่วาดข้อสรุปที่จำเป็น " ( 1870 )ใน principia Mathematica , เบอร์ทรันด์รัสเซลล์และอัลเฟรด North Whitehead ปรัชญาขั้นสูงโปรแกรมที่รู้จักกันเป็นตรรก และพยายามที่จะพิสูจน์ว่า แนวคิดทางคณิตศาสตร์ งบ และหลักการที่สามารถกำหนดและได้รับการพิสูจน์ทั้งในแง่ของตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ เป็น logicist นิยามของคณิตศาสตร์คือ รัสเซล " คณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ " ( 1903 )
intuitionist คำนิยามพัฒนามาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์ l.e.j. บรูเวอร์ ระบุ คณิตศาสตร์ กับ จิตบางอย่างของปรากฏการณ์ ตัวอย่างของ intuitionist นิยามคือ " คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยในการสร้างหนึ่งหลังจากที่อื่น ๆ . " [ 31 ] ความไม่ชอบมาพากลของ intuitionism นั้นปฏิเสธบางความคิดทางคณิตศาสตร์ถือว่าถูกต้องตามข้อกำหนดอื่น ๆโดยเฉพาะในขณะที่ปรัชญาอื่น ๆของคณิตศาสตร์ให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ถึงแม้ว่าพวกเขาไม่สามารถสร้าง intuitionism อนุญาตเฉพาะวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่หนึ่งจริงสามารถสร้าง .
formalist คำจำกัดความระบุคณิตศาสตร์ด้วยสัญลักษณ์และกฎสำหรับการใช้พวกเขา แอสเค็ลล์แกงนิยามคณิตศาสตร์ก็เป็น " วิทยาศาสตร์ของระบบ " อย่างเป็นทางการระบบอย่างเป็นทางการเป็นสัญลักษณ์ หรือสัญญาณ และกฎบางอย่างบอกว่าสัญญาณจะถูกรวมไว้ในสูตร ในระบบที่เป็นทางการ คําพังเพยมีความหมายพิเศษที่แตกต่างจากความหมายธรรมดาของ " ความจริง " ตนเอง ในระบบที่เป็นทางการ เป็นสัจพจน์คือการรวมกันของโทเค็นที่ถูกรวมอยู่ในระบบ โดยไม่ต้องระบุอย่างเป็นทางการจะได้รับการใช้กฎของระบบ