2.2. Achievable Families of Normali

2.2. Achievable Families of Normalizations
The first idea is to compare families of normalizations that can be “achieved” by an estimation
procedure.
Definition 1. A family of normalizations Ψ = {ψε (κ)}κ∈K is called achievable if there exists an
ˆΨ
estimation procedure fε which satisfies the following adaptive upper bound
(q) ˆΨ
lim sup Rε (fε , Σκ , ψε (κ)) < +∞,
ε→0
∀κ ∈ K.
(AUB)
ˆΨ
In words, fε achieves the normalization ψε (κ) simultaneously over each space Σ(κ) in the collection.
Let us notice that, for such a family, we have the inequality ψε (κ) Nε (κ) for all κ ∈ K (here uε vε
stands for lim inf ε→0 uε (κ)/vε (κ) > 0). Moreover, if the minimax rate of convergence is not achievable
(see Lepski (1990), Tsybakov (1998) or Corollary 2 for instance), there exists a nuisance parameter κ0
such that
−1−→Nε (κ0 )ψε (κ0 ) − − +∞.
ε→0
In such a situation, the family Ψ can be “improved” at least at point κ0 using the minimax on Σ(κ0 )
estimator for all values of the nuisance parameter κ.
With this in mind we will use the following principle in order to give our notion of optimality: the
“optimal” achievable family of normalizations should have “small number” of points where it
can be improved.
2.3. Adaptive Rate of Convergence
In order to compare two achievable families of normalizations, namely Ψ and Φ, we introduce two
subsets of K, K(ΨΦ) and K(Ψ ≫ Φ) defined by
K(Ψ
Φ) =
κ ∈ K:
κ ∈ K:
Ψε (κ)
−− 0−→
Φε(κ) ε→0
Ψε (κ) Ψε ( )
− − +∞,−→
Φε(κ) Φε ( ) ε→0
K(Ψ ≫ Φ) =
∀ ∈ K(Ψ
Φ) .
In other words, K(ΨΦ) consists of all nuisance parameters, where Φ can be outperformed by Ψ,
whereas K(Ψ ≫ Φ) consists of all points κ, where Φ is better than Ψ and, moreover, where the loss of Φ
with respect to Ψ on K(ΨΦ) is “compensated”.
Our principle of the choice between two achievable families is to compare the “massiveness” of these
two sets. This leads to the following definition.
Definition 2. Assume that K ⊆ Rm contains an open set. A family of normalizations Φ is called
adaptive (or the adaptive rate of convergence) if:
• It is an achievable family.
• If Ψ is another achievable family of normalizations then K(Ψ
manifold and K(Ψ ≫ Φ) contains an open set of Rm .

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2.2 การทำได้ครอบครัวของ Normalizations ความคิด first เป็นการ เปรียบเทียบครอบครัวของ normalizations ที่สามารถ "ทำได้" โดยการประเมินขั้นตอนการDefinition 1 ครอบครัวของ normalizations Ψ = {ψε (κ) } κ∈K เรียกว่าทำได้ถ้ามีการ ˆΨการประเมินขั้นตอน fε satisfies ที่ผูกบนเหมาะสมต่อไปนี้ (q) ˆΨริมทรัพย์ Rε (fε Σκ ψε (κ)) < + ∞Ε→0คุณ∀Κ∈(AUB) ˆΨ คำ fε ได้รับψεฟื้นฟู (κ) กันไปแต่ละพื้นที่Σ(κ)ในคอลเลกชันให้เราสังเกตว่า เช่นครอบครัว เรามีψεความไม่เท่าเทียมกัน (κ) Nε (κ) สำหรับทั้งหมดκ∈ K (ที่นี่ uε vεถึงริม inf ε→0 uε (κ) / vε (κ) > 0) นอกจากนี้ ถ้าอัตรา minimax บรรจบกันจะไม่สามารถทำได้(ดู Lepski (1990), Tsybakov (1998) หรือ Corollary 2 ตัวอย่าง), มีการรบกวนที่พารามิเตอร์ κ0เช่นว่า −1−→NΕ (Κ0) ΨΕ (Κ0) −− + ∞Ε→0เช่นสถานการณ์ Ψครอบครัวสามารถ "ปรับปรุง" น้อยที่จุด κ0 ใช้แบบ minimax ในΣ (κ0)การประมาณค่าทั้งหมดของκพารามิเตอร์การรบกวน สบาย เราจะใช้หลักการต่อไปนี้เพื่อที่จะให้เราคิด optimality: การครอบครัวทำได้ "สูงสุด" ของ normalizations ควรมี "จำนวนน้อย" ของสถานที่นั้นสามารถปรับปรุง2.3 การปรับอัตราการลู่เข้า เพื่อเปรียบเทียบ 2 ครอบครัวทำได้ของ normalizations ΨและΦ คือเราแนะนำสองsubsets of K, K(ΨΦ) and K(Ψ ≫ Φ) defined byK(ΨΦ) =κ ∈ K:κ ∈ K:Ψε (κ) −− 0−→Φε(κ) ε→0Ψε (κ) Ψε ( ) − − +∞,−→Φε(κ) Φε ( ) ε→0K(Ψ ≫ Φ) =∀ ∈ K(ΨΦ) . In other words, K(ΨΦ) consists of all nuisance parameters, where Φ can be outperformed by Ψ,whereas K(Ψ ≫ Φ) consists of all points κ, where Φ is better than Ψ and, moreover, where the loss of Φwith respect to Ψ on K(ΨΦ) is “compensated”. Our principle of the choice between two achievable families is to compare the “massiveness” of thesetwo sets. This leads to the following definition.Definition 2. Assume that K ⊆ Rm contains an open set. A family of normalizations Φ is calledadaptive (or the adaptive rate of convergence) if:• It is an achievable family.• If Ψ is another achievable family of normalizations then K(Ψ manifold and K(Ψ ≫ Φ) contains an open set of Rm .

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.2 ครอบครัวที่ประสบความสำเร็จของ normalizations
ไฟความคิดแรกคือการเปรียบเทียบครอบครัว normalizations ที่สามารถ "ประสบความสำเร็จ"
โดยการประมาณขั้นตอน.
De ไฟ nition 1. ครอบครัวของ normalizations Ψ = {ψε (κ)}
κ∈Kเรียกว่าทำได้ถ้ามีอยู่Ψ
ขั้นตอนการประมาณค่าfεซึ่ง Satis สายเอต่อไปนี้การปรับตัวบนปก
(ด)
Ψลิ้มจีบRε (fε, Σκ, ψε (κ)) <+ ∞,
ε→ 0
∀κ∈เค
(AUB)
Ψในคำfεประสบความสำเร็จในการฟื้นฟู
ψε (κ) พร้อมกันไปในแต่ละพื้นที่Σ (κ) ในการเก็บรวบรวม.
ขอให้เราสังเกตเห็นว่าสำหรับเช่นครอบครัวเรามีψεอสมการ (κ) Nε (κ) สำหรับκทั้งหมด∈ K
(ที่นี่uεvεย่อมาลิ้มINF ε→ 0 uε (κ) / vε (κ)> 0) นอกจากนี้หากอัตรามินิแมกซ์ของการบรรจบกันไม่ได้ประสบความสำเร็จ
(ดู Lepski (1990), Tsybakov (1998) หรือข้อพิสูจน์ 2 เป็นต้น)
มีอยู่พารามิเตอร์รำคาญκ0ดังกล่าวที่
-1- →Nε (κ0) ψε (κ0) - -. +
∞ε→การ0
ในสถานการณ์ดังกล่าวΨครอบครัวสามารถที่จะ "ดีขึ้น" อย่างน้อยที่จุดκ0ใช้มินิแมกซ์ในΣ
(κ0). ประมาณการค่าทั้งหมดของκพารามิเตอร์รำคาญกับในใจเราจะใช้ หลักการดังต่อไปนี้เพื่อที่จะให้ความคิดของเราในการ optimality ที่: "ที่ดีที่สุด" ครอบครัวของ normalizations ทำได้ควรจะมี "จำนวนน้อย" ของจุดที่มันจะดีขึ้น. 2.3 อัตราการปรับตัวของการบรรจบกันเพื่อที่จะเปรียบเทียบทั้งสองครอบครัวประสบความสำเร็จของ normalizations คือΨและΦเราแนะนำสองส่วนย่อยของK, K (ΨΦ) และ K (Ψ»Φ) นิยามโดยK (ΨΦ) = κ∈ K: κ ∈ K: Ψε (κ) - 0- →การΦε (κ) ε→ 0 Ψε (κ) Ψε () - - + ∞ - →การΦε (κ) Φε () ε→ 0 K (Ψ»Φ) = ∀∈ K (ΨΦ). ในคำอื่น ๆ K (ΨΦ) ประกอบด้วยพารามิเตอร์รำคาญทั้งหมดที่Φสามารถทำได้ดีกว่าโดยΨ, ในขณะที่ K (Ψ»Φ) ประกอบด้วยทุกจุดκที่Φดีกว่าΨและ ยิ่งไปกว่านั้นที่สูญเสียของΦด้วยความเคารพในΨ K (ΨΦ) คือ "ชดเชย". หลักการของเราในการเลือกระหว่างสองครอบครัวที่ประสบความสำเร็จคือการเปรียบเทียบ "หนักแน่น" ของทั้งสองชุด นี้นำไปสู่ไฟเดอต่อไปนี้ nition. De ไฟ nition 2. สมมติว่า K ⊆ Rm มีชุดเปิด ครอบครัว normalizations Φจะเรียกว่าการปรับตัว(หรืออัตราการปรับตัวของการบรรจบกัน) ในกรณีที่: •เป็นครอบครัวที่ประสบความสำเร็จ. •หากΨเป็นครอบครัวที่ประสบความสำเร็จอีก normalizations แล้ว K (ΨนานาและK (Ψ»Φ) มีชุดเปิด ของ Rm

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2.2 . ครอบครัวของ normalizations
ได้จึงตัดสินใจเดินทางความคิดคือการเปรียบเทียบครอบครัวของ normalizations ที่สามารถ " รับ " โดยการประมาณค่า

de ขั้นตอน จึง nition 1 ครอบครัวของ normalizations Ψ = { ψε ( κ ) } κ∈เคเรียกได้ว่ามีˆΨ

ประมาณขั้นตอน F εซึ่งพอจึง ES ดังต่อไปนี้การปรับตัวบนผูกพัน
( q ) ˆΨ
ลิม sup R ε ( F εΣκψε , , ( κ ) ) < ∞
ε→ 0 ,
∀κ∈ K .
( อ็อบ )

ˆΨพูด , f εบรรลุการฟื้นฟูψε ( κ ) พร้อมกันไปแต่ละพื้นที่Σ ( κ ) ในคอลเลกชัน .
ให้เราสังเกตุเห็นว่า เช่นครอบครัว เรามีความψε ( κ ) n ε ( κ ) ทุกκ∈เค ที่นี่คุณε V ε
หมายถึงลิม inf ε→ 0 u ε ( κ ) / V ε ( κ ) > 0 ) นอกจากนี้ ถ้าบริการอัตราการลู่เข้าเป็น achievable
( ดู lepski ( 1990 )tsybakov ( 1998 ) หรือข้อพิสูจน์ที่ 2 ตัวอย่าง ) มีอยู่ตัวพารามิเตอร์κ 0

−→ n − 1 เช่น ε ( κ 0 ) ψε ( κ 0 ) −−∞ .
0
ε→ในสถานการณ์ดังกล่าว Ψครอบครัวสามารถ " ปรับปรุง " อย่างน้อยκจุด 0 โดยใช้ ส่วนบริการบนΣ ( κ 0 )
ประมาณการสำหรับทุกค่าของพารามิเตอร์κ
รบกวนกับนี้ในใจ เราจะใช้หลักการดังต่อไปนี้เพื่อให้ความคิดของเราคุณภาพ :
" ที่สุด " ได้ครอบครัวของ normalizations ควรมี " ตัวเลข " ขนาดเล็กของจุดที่สามารถปรับปรุงได้
.
2.3 อัตราการปรับตัวของการลู่เข้า
เพื่อเปรียบเทียบสองครอบครัวได้ของ normalizations ) และΨΦ เราแนะนำ 2
ย่อยของ K , K ( ΨΦ ) และ K ( Ψ≫Φ ) เดอ ถ่ายทอดโดย
เน็ดK ( Ψ
Φ ) =
κ∈ K :
κ∈ K :
Ψε ( κ )
0
−−−→Φε ( κ ) ε→ 0
Ψε ( κ ) Ψε ( −−∞−→ )
,
Φε ( κ ) Φε ( ) ε→ 0
K ( Ψ≫Φ ) =
∀∈ K ( Ψ

Φ ) ในคำอื่น ๆ , K ( ΨΦ ) ประกอบด้วยตัวแปรรบกวนที่Φสามารถเพิ่มขึ้นโดยΨ
( K ( , Ψ≫Φ ) ประกอบด้วยจุดκที่Φดีกว่าΨและ นอกจากนี้ ที่สูญเสียΦ
ด้วยความเคารพΨบน K ( ΨΦ ) คือ " ชดเชย " .
หลักการของเราทางเลือกระหว่างสองครอบครัวได้เพื่อเปรียบเทียบ " ความหนาแน่น " เหล่านี้
2 ชุด นี้นำไปสู่ เดอ จึง nition ต่อไปนี้ จึง nition
เด 2 สมมติว่า K ⊆ RM มีกำหนดเปิด ครอบครัวของ normalizations Φเรียกว่า
ปรับตัว ( หรือปรับอัตราการลู่เข้า ) ถ้า :
-
มันเป็นครอบครัวที่ประสบผลสำเร็จ- ถ้าΨเป็นอีกได้ ครอบครัวของ normalizations แล้ว K ( Ψ
อเนกและ K ( Ψ≫Φ ) มีกำหนดเปิดของ RM .