My initial response was to think th

My initial response was to think that this was not differentiable,
since it is not a continuous function (this assumption, I believe, is
wrong). I then generated a table of the (x,y) values for x!, and it
seems that the slope always comes out to (x*x!). (I'm not sure if this
is right). To try to prove myself right, I tried to prove the
derivative using the derivative rules (no luck), then with the
algebraic definition of the derivative (I got quite stuck). My current
plan is to try a set-up using series, but I believe that there must be
an easier way.

Date: 05/28/2003 at 13:57:19
From: Doctor Schwa
Subject: Re: Derivative of x!

>My initial response was to think that this was not differentiable,
>since it is not a continuous function (this assumption, I believe, is
>wrong).

Actually, I think you're right. SOMEHOW you're going to have to decide
how to fill in between the "dots" of the factorial function.

>I then generated a table of the (x,y) values for x!, and it seems
>that the slope always comes out to (x*x!). (I'm not sure if this is
>right).

This is a slope for DIFFERENCES: that is, ((x+h)! - x!) / h
when h = 1, not in the limit as h -> 0, as you would need for a
derivative.

Finite differences (like what you talk about), for functions defined
on the integers, are quite interesting: but not, I think, quite what
you were looking for here.

Nonetheless, this is a great discovery you've made, and if you're
curious to explore it further, searching for the phrase "finite
difference" should find you some useful stuff. Or let me know and
I'll send you some good references.

In order to take a true derivative, you have to make x! continuous
somehow. Maybe this discussion from the Dr. Math archives will help:

The Gamma Function and Its Derivative
http://mathforum.org/library/drmath/view/53664.html

Let me know if there's anything more I can do for you. I
admire your hard work on this problem, and your creative
ideas as well!

- Doctor Schwa, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การตอบสนองครั้งแรกของฉันคือการคิดว่านี่ไม่ใช่อนุพันธ์ได้,
เพราะมันไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง
(สมมติฐานนี้ผมเชื่อว่าเป็นผิด) จากนั้นผมก็สร้างตาราง (x, y) ค่า x !,
และมันดูเหมือนว่าลาดเสมอออกมา(x * x!) (ฉันไม่แน่ใจว่านี้เป็นขวา)
เพื่อพยายามที่จะพิสูจน์ตัวเองที่ถูกต้องผมพยายามที่จะพิสูจน์อนุพันธ์โดยใช้กฎอนุพันธ์ (โชค) แล้วมีความหมายเกี่ยวกับพีชคณิตของอนุพันธ์(ผมได้ติดค่อนข้าง) ปัจจุบันของฉันแผนคือการลองตั้งค่าโดยใช้ชุดแต่ผมเชื่อว่าจะต้องมีวิธีที่ง่ายขึ้น. วันที่: 2003/05/28 ที่ 13:57:19 จาก: หมอปานกลางเรื่อง: Re: อนุพันธ์ของ x> การตอบสนองครั้งแรกของฉันคือการคิดว่านี่ไม่ใช่อนุพันธ์,> เพราะมันไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง (สมมติฐานนี้ผมเชื่อว่าเป็น> ผิด). ที่จริงผมคิดว่าคุณขวา อย่างใดที่คุณจะต้องตัดสินใจว่าวิธีการกรอกข้อมูลในระหว่าง "จุด" ของฟังก์ชั่นแฟกทอ.> ฉันแล้วสร้างตาราง (x, y) ค่า x !, และดูเหมือนว่า> ที่ลาดชันเสมอมา ออกไป (x * x!) (ฉันไม่แน่ใจว่านี้เป็น> ขวา). นี่คือความลาดชันสำหรับความแตกต่าง: (! (x + เอช) - x) นั่นคือ / ชั่วโมงเมื่อชั่วโมง= 1 ไม่ได้อยู่ในข้อ จำกัด เป็นชั่วโมง -> 0 ในขณะที่คุณจะต้องสำหรับตราสารอนุพันธ์. ความแตกต่างแน่นอน (เช่นสิ่งที่คุณพูดคุยเกี่ยว) สำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในจำนวนเต็มที่มีความน่าสนใจมากแต่ไม่ได้ผมคิดว่ามากสิ่งที่คุณกำลังหาที่นี่. อย่างไรก็ตามนี้เป็นที่ดี การค้นพบที่คุณได้ทำและถ้าคุณอยากรู้อยากเห็นในการสำรวจได้ต่อไปการค้นหาคำว่า"แน่นอนความแตกต่าง" ควรจะหาบางสิ่งที่มีประโยชน์ หรือแจ้งให้เราทราบและฉันจะส่งคุณมีอ้างอิงที่ดี. เพื่อที่จะใช้อนุพันธ์จริงคุณจะต้องทำ x! อย่างต่อเนื่องอย่างใด บางทีการสนทนานี้จากคลังดร. คณิตศาสตร์จะช่วยให้: ฟังก์ชั่นแกมมาและอนุพันธ์ของมันhttp://mathforum.org/library/drmath/view/53664.html แจ้งให้เราทราบว่ามีอะไรที่ฉันสามารถทำเพื่อคุณ ผมชื่นชมการทำงานของคุณเกี่ยวกับปัญหานี้และความคิดสร้างสรรค์ของคุณความคิดเช่นกัน! - หมอปานกลาง, ฟอรั่มคณิตศาสตร์http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การตอบสนองแรกของฉันคิดว่า นี่ไม่ใช่หาอนุพันธ์ได้
เนื่องจากไม่ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ( สมมุติฐานนี้ผมเชื่อว่าคือ
ผิด ) ฉันแล้วสร้างตารางของค่า ( x , y ) x ! และมัน
ดูเหมือนว่าลาดเสมอออกมา ( x * x ! ) ( ผมไม่แน่ใจว่า
ถูกต้อง ) ต้องลองไปพิสูจน์เองนะ ฉันพยายามพิสูจน์
อนุพันธ์โดยใช้กฎอนุพันธ์ ( โชค )แล้วกับ
นิยามพีชคณิตอนุพันธ์ ( ผมค่อนข้างติด ) แผนปัจจุบัน
ของฉันคือการพยายามสร้างสถานการณ์โดยใช้ชุด แต่ผมเชื่อว่า มันต้องเป็นวิธีที่ง่ายขึ้น


วันที่ : 05 / 28 / 2546 ที่ 13:57:19
จากเรื่องเสียงสระที่ไม่เน้นเสียงในภาษาอังกฤษ
หมอ : Re : อนุพันธ์ของเอ็กซ์

> เริ่มต้นการตอบสนองของฉันคิดว่า นี่ไม่ใช่หาอนุพันธ์ได้
> เนื่องจากไม่ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ( แค่นี้ผมเชื่อว่าคือ
> ผิด )

ที่จริง , ฉันคิดว่าคุณพูดถูก บางครั้งคุณก็ต้องตัดสินใจ
วิธีการกรอกระหว่าง " จุด " ของการทำงานแบบ

> จากนั้นผมสร้างตารางของค่า ( x , y ) x ! และดูเหมือนว่า
> ที่ความลาดชันมักจะออกมา ( x * x ! ) ( ผมไม่แน่ใจว่านี่คือ
> ขวา )

นี่คือความชันที่แตกต่างกัน : นั่นคือ ( X ( H ) - x ! ) / H
เมื่อ H = 1 , ไม่มีขีด จำกัด เป็น h - > 0ตามที่คุณต้องการสำหรับ
+

มีความแตกต่าง ( อย่างที่คุณพูดถึง ) สำหรับฟังก์ชันที่นิยาม
บนจำนวนเต็มค่อนข้างน่าสนใจ แต่ไม่ใช่ ฉันคิดว่าค่อนข้างที่คุณกำลังมองหาที่นี่


อย่างไรก็ตาม นี่คือการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่คุณทำ , และถ้าคุณ กำลัง
ขี้สงสัยสำรวจมันต่อไป ค้นหาวลี " แน่นอน
ความแตกต่าง " ควรจะหาสิ่งที่มีประโยชน์หรือแจ้งให้เราทราบและ
ฉันจะส่งคุณบางดีอ้างอิง

เพื่อที่ใช้อนุพันธ์จริง คุณต้องทำให้ X ! อย่างต่อเนื่อง
ก็ตามที บางทีเรื่องนี้จาก ดร. คณิต หอจดหมายเหตุจะช่วย :

และฟังก์ชันแกมมาอนุ http://mathforum.org/library/drmath/view/53664.html

แจ้งให้เราทราบว่ามีอะไรอีกที่ฉันสามารถทำเพื่อคุณ ผมชื่นชมการทำงานของคุณ
ในปัญหานี้และความคิดสร้างสรรค์
ของคุณเช่นกัน !

- หมอเสียงสระที่ไม่เน้นเสียงในภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์
http://mathforum.org/dr.math/ ฟอรั่ม