7. Random sampling of sparse trigon

7. Random sampling of sparse trigonometric polynomials January 2007
Abstract
We study the problem of reconstructing a multivariate trigonometric polynomial having only few non-zero coefficients from few random samples. Inspired by recent work of Candes, Romberg and Tao we propose to recover the polynomial by Basis Pursuit, i.e., by ℓ1-minimization. In contrast to their work, where the sampling points are restricted to a grid, we model the random sampling points by a continuous uniform distribution on the cube, i.e., we allow them to have arbitrary position. Numerical experiments show that with high probability the trigonometric polynomial can be recovered exactly provided the number N of samples is high enough compared to the “sparsity”—the number of non-vanishing coefficients. However, N can be chosen small compared to the assumed maximal degree of the trigonometric polynomial. We present two theorems that explain this observation. One of them provides the analogue of the result of Candes, Romberg and Tao. The other one is a result toward an average case analysis and, unexpectedly connects to an interesting combinatorial problem concerning set partitions, which seemingly has not yet been considered before. Although our proofs follow ideas of Candes et al. they are simpler.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

7. สุ่มสุ่มตัวอย่างของ polynomials ตรีโกณมิติเป็นบ่อ 2007 มกราคมบทคัดย่อเราศึกษาปัญหาของการบูรณะพหุนามตรีโกณมิติเป็นตัวแปรพหุมีเฉพาะบางศูนย์ไม่ใช่สัมประสิทธิ์จากบางตัวอย่างที่สุ่ม แรงบันดาลใจ โดยผลงานล่าสุดของ Candes, Romberg และเต่าที่เราเสนอการกู้คืนพหุนาม โดยพื้นฐานแสวงหา เช่น โดยการลด ℓ1 ตรงข้ามงานของพวกเขา ที่จุดสุ่มถูกจำกัดให้กับกริด เรารุ่นจุดสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม โดยการกระจายสม่ำเสมออย่างต่อเนื่องบน cube เช่น เราอนุญาตให้มีการกำหนดตำแหน่ง ทดลองเป็นตัวเลขแสดงว่า มีความน่าเป็นสูงที่พหุนามตรีโกณมิติเป็นสามารถกู้คืนมาจำนวน N ตัวอย่างแน่นอน จะสูงพอเมื่อเทียบกับ "sparsity" — จำนวนสัมประสิทธิ์ไม่หายสาบสูญ อย่างไรก็ตาม N สามารถเลือกขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระดับสูงสุดสันนิษฐานของพหุนามตรีโกณมิติเป็นการ เรานำเสนอสองทฤษฎีที่อธิบายการสังเกตนี้ หนึ่งในนั้นมีอนาล็อกผล Candes, Romberg และเต่า หนึ่งมีผลต่อการวิเคราะห์กรณีเฉลี่ย ก เชื่อมต่อโดยไม่คาดคิดกับปัญหาปัญหาที่น่าสนใจเกี่ยวกับพาร์ติชันการตั้งค่า ซึ่งดูเหมือนว่าได้ไม่ได้รับการพิจารณาก่อน แม้ว่าหลักฐานของเราตามความคิดของ Candes และ al. พวกเขาได้ง่ายกว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

7. การสุ่มตัวอย่างของพหุนามตรีโกณมิติเบาบางมกราคม 2007 บทคัดย่อเราศึกษาปัญหาของการฟื้นฟูพหุนามตรีโกณมิติหลายตัวแปรที่มีเพียงไม่กี่สัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์จากตัวอย่างสุ่มไม่กี่คน แรงบันดาลใจจากการทำงานที่ผ่านมาของ Candes, Romberg และเต่าเรานำเสนอในการกู้คืนพหุนามโดยเกณฑ์ในการแสวงหาคือโดยℓ1-ลด ในทางตรงกันข้ามกับการทำงานของพวกเขาที่จุดเก็บตัวอย่างจะถูก จำกัด ไปยังตารางที่เราจำลองจุดสุ่มตัวอย่างโดยการกระจายชุดอย่างต่อเนื่องในก้อนคือเราช่วยให้พวกเขามีตำแหน่งโดยพลการ ตัวเลขการทดลองแสดงให้เห็นว่ามีโอกาสสูงพหุนามตรีโกณมิติสามารถกู้คืนได้ว่ายังไม่มีให้จำนวนของกลุ่มตัวอย่างอยู่ในระดับสูงมากพอเมื่อเทียบกับ "sparsity" จำนวนของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่หายไป -the อย่างไรก็ตามยังไม่มีสามารถเลือกขนาดเล็กเมื่อเทียบกับการศึกษาระดับปริญญาสูงสุดสันนิษฐานของพหุนามตรีโกณมิติ เรานำเสนอสองทฤษฎีที่อธิบายข้อสังเกตนี้ หนึ่งของพวกเขาให้อะนาล็อกผลของ Candes, Romberg และเต่า ส่วนอีกคนหนึ่งเป็นผลต่อการวิเคราะห์กรณีเฉลี่ยและโดยไม่คาดคิดเชื่อมต่อกับปัญหาที่น่าสนใจเกี่ยวกับการ combinatorial พาร์ทิชันชุดซึ่งดูเหมือนจะยังไม่ได้รับการพิจารณาก่อน แม้ว่าหลักฐานของเราทำตามความคิดของ Candes et al, พวกเขามีความเรียบง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

7 . สุ่มหร็อมแหร็มพหุนามตรีโกณมิติมกราคม 2550 บทคัดย่อ

เราจะศึกษาปัญหาของการสร้างแบบหลายตัวแปรตรีโกณมิติฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จากตัวอย่างสุ่มบางไม่เป็นบาง ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากงานล่าสุดของ candes รอมแบร์ก , เต๋า เราขอกู้และพหุนาม โดยพื้นฐานของการแสวงหา คือ โดยℓ 1-minimization . ในทางตรงกันข้าม งานของพวกเขาที่คนจุดจะถูก จำกัด ไปยังตารางเราแบบสุ่มจุด โดยกระจายอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอในก้อน เช่น เราอนุญาตให้มีตำแหน่งโดยพลการการทดลองเชิงตัวเลขแสดงให้เห็นว่ามีความเป็นไปได้สูงที่พหุนามตรีโกณมิติสามารถกู้คืนตรงให้หมายเลขของตัวอย่างสูงพอเมื่อเทียบกับ " sparsity " - จำนวนไม่เท่ากับหายไป อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีสามารถเลือกเล็กเมื่อเทียบกับถือว่าระดับสูงสุดของพหุนามตรีโกณมิติ เรานำเสนอสองทฤษฎีที่อธิบายการสังเกตนี้หนึ่งของพวกเขาให้เลียนแบบผลของ candes รอมเบิร์ก , และ เทา อีกหนึ่งคือผลต่อการวิเคราะห์กรณีเฉลี่ย และ บังเอิญ เชื่อมต่อกับการตั้งค่าพาร์ทิชันที่น่าสนใจเกี่ยวกับปัญหาที่ดูเหมือนจะยังไม่ได้รับการพิจารณาก่อน แม้ว่าหลักฐานของเราตามความคิดของ candes et al . พวกเขาจะง่ายกว่า