A partition of a set N of n distinc

A partition of a set N of n distinct numbers is called nested if four numbers $a < b < c < d$ in N such that a and c are in one part while b and d in another do not exist. A partition is called a p-partition if the number of parts is specified at p and a shape-partition if the sizes of the p parts are also specified. There are exponentially many p-partitions but only polynomially many nested p-partitions. In this paper we consider these notions in d-dimensional Euclidean spaces and give a general condition on the cost structure for which an optimal shape-partition is always nested. We illustrate applications of our results to some clustering problems, generalize some known results in this way, and propose some open problems.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พาร์ติชันของชุด N จำนวน n แตกต่างกันคือซ้อนถ้าสี่หมายเลข $a < b < c < d$ ใน N ให้เป็น และ c อยู่ในส่วนหนึ่งในขณะที่ b และ d อีกไม่มีอยู่ พาร์ติชันคือ p-พาร์ติชันถ้ามีระบุหมายเลขชิ้นที่ p และรูปร่างพาร์ติชันถ้ายังระบุขนาดส่วน p มีสร้างหลาย p-กั้นแต่เพียง polynomially หลายซ้อน p-พาร์ติชัน ในเอกสารนี้ เราพิจารณาความเข้าใจเหล่านี้ในพื้นที่ d มิติ Euclidean และให้เงื่อนไขทั่วไปเกี่ยวกับโครงสร้างต้นทุนที่เหมาะสมรูปพาร์ติชันเป็นเสมอซ้อน เราแสดงโปรแกรมผลลัพธ์ของปัญหาระบบคลัสเตอร์ เมผลลัพธ์บางอย่างรู้จักวิธีนี้ และเสนอปัญหาที่เปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พาร์ติชันของการตั้งค่ายังไม่มีข้อความที่แตกต่างกันของตัวเลข n ให้บริการจะเรียกซ้อนกันถ้าตัวเลขสี่ $ a <b <ค <d $ ในดังกล่าวที่ยังไม่มีและคอยู่ในส่วนหนึ่งขณะที่ขงและในอีกไม่อยู่ พาร์ติชันที่เรียกว่าพีพาร์ทิชันถ้าจำนวนของชิ้นส่วนที่ระบุไว้ที่หน้าและรูปร่างพาร์ทิชันถ้าขนาดของชิ้นส่วนพีที่ระบุไว้ยัง มีหลายชี้แจงพีพาร์ทิชัน แต่เพียง polynomially หลายซ้อนพีพาร์ทิชัน ในบทความนี้เราจะพิจารณาความคิดเหล่านี้ใน d มิติช่องว่างแบบยุคลิดและให้สภาพทั่วไปเกี่ยวกับโครงสร้างต้นทุนที่รูปร่างพาร์ทิชันที่ดีที่สุดเสมอซ้อน เราแสดงให้เห็นถึงการใช้งานของผลลัพธ์ของเราที่จะมีปัญหาการจัดกลุ่มพูดคุยผลการค้นหาที่รู้จักกันในลักษณะนี้และนำเสนอปัญหาเปิดบางส่วน