1.3.4 Numerical solution of simple

1.3.4 Numerical solution of simple harmonic motion3
When solving the equation of motion for an oscillating pendulum we made use of
the small-angle approximation, sin θ θ when θ is small. This made the equation
of motion much easier to solve. However an alternative way, without resorting to
the small-angle approximation, is to solve the equation numerically. The essential
idea is that if we know the position and velocity of the mass at time t and we know
the force acting on it then we can use this knowledge to obtain good estimates of
these parameters at time (t + δt). We then repeat this process, step by step, over
the full period of the oscillation to trace out the displacement of the mass with
time. We can make these calculations as accurate as we like by making the time
interval δt sufficiently small. To demonstrate this approach we apply it to the simple
pendulum. Figure 1.18 shows a simple pendulum and the angular position of the
mass at three instants of time each separated by δt, i.e. at t, (t + δt) and (t + 2δt).
Using the notation ˙ θ(t) and ¨ θ(t) for dθ(t)/dt and d2θ(t)/dt2, respectively, we can
write the equation of motion of the mass, Equation (1.29)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.3.4 แก้ปัญหาตัวเลขของ motion3 ฮาร์โมนิกอย่างง่ายเมื่อแก้สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับการสั่น ลูกตุ้มที่เราทำใช้มุมเล็กประมาณ ค่า sin ค่าθθเมื่อค่าθมีขนาดเล็ก นี้ทำให้สมการการเคลื่อนไหวที่ง่ายมากที่จะแก้ อย่างไรก็ตามทาง โดยไม่ต้อง resorting การประมาณมุมเล็ก การ แก้สมการตัวเลขได้ จำเป็นความคิดคือถ้าเรารู้ตำแหน่งและความเร็วเวลา t และเราทราบว่าแรงที่กระทำไว้ แล้วเราสามารถใช้ความรู้เพื่อขอรับดีประเมินของพารามิเตอร์เหล่านี้ในเวลา (t + δt) เราทำซ้ำกระบวนการนี้ ขั้น ผ่านระยะเวลาเต็มของการสั่นในการติดตามหาที่ย้ายของมวลกับครั้ง เราสามารถทำการคำนวณเหล่านี้ถูกต้อง ตามที่เราต้องทำเวลาช่วง δt เล็กพอ แสดงให้เห็นถึงวิธีการนี้ เรานำมาใช้งานอย่างง่ายเพนดูลัม รูปที่ 1.18 แสดงลูกตุ้มอย่างง่ายและตำแหน่งเชิงมุมของการมวล ในบะหมี่กึ่งสำเร็จรูปสามเวลาแต่ละแยกจากกัน โดย δt เช่น ที่ t, (t + δt) และ (อาหาร + 2δt t)ใช้สัญกรณ์˙ θ(t) และ θ(t) จดหมาย /dt dθ (t) และ d2θ (t) / dt2 ตามลำดับ เราสามารถเขียนสมการของการเคลื่อนที่ของมวล สมการ (1.29)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.3.4 การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของฮาร์โมนิ motion3 ง่ายเมื่อการแก้สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับลูกตุ้มสั่นเราทำให้การใช้ประมาณมุมเล็กบาปθθθเมื่อมีขนาดเล็ก นี่เองที่ทำให้สมการของการเคลื่อนไหวง่ายมากที่จะแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามทางเลือกโดยไม่ต้องหันไปประมาณมุมเล็ก ๆ คือการแก้สมการตัวเลข สำคัญความคิดก็คือว่าถ้าเรารู้ตำแหน่งและความเร็วของมวลที่เวลา t และเรารู้ว่ากำลังทำหน้าที่เกี่ยวกับมันแล้วเราสามารถใช้ความรู้นี้จะได้รับการประมาณการที่ดีของพารามิเตอร์เหล่านี้ในเวลา(t + δt) จากนั้นเราจะทำซ้ำขั้นตอนนี้ขั้นตอนโดยขั้นตอนในช่วงระยะเวลาทั้งหมดของการสั่นที่จะติดตามจากการกำจัดของมวลกับที่เวลา เราสามารถทำให้การคำนวณเหล่านี้เป็นความถูกต้องที่เราชอบโดยการทำเวลาช่วงδtขนาดเล็กเพียงพอ แสดงให้เห็นถึงวิธีการนี้เราใช้มันเพื่อง่ายลูกตุ้ม รูปที่ 1.18 แสดงให้เห็นลูกตุ้มที่เรียบง่ายและตำแหน่งเชิงมุมของมวลที่สามinstants ของเวลาในแต่ละแยกจากกันโดยδtเช่นที่ t (T + δt) และ (T + 2δt). การใช้สัญกรณ์˙θ (t) และ¨θ (t) สำหรับdθ (t) / dt และd2θ (t) / dt2 ตามลำดับเราสามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวล, สมการ (1.29)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผลเฉลยเชิงตัวเลขของไ motion3 แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเมื่อแก้สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับการกวัดแกว่งลูกตุ้มที่เราได้ใช้ของการประมาณมุมเล็ก บาปθθเมื่อθเล็ก ซึ่งทำให้สมการการเคลื่อนที่มากง่ายต่อการแก้ไข อย่างไรก็ตามทางเลือกโดยไม่ต้อง resorting เพื่อการประมาณมุมเล็กๆ คือ การแก้สมการตัวเลข ที่สำคัญความคิดคือว่าถ้าเรารู้ตำแหน่งและความเร็วของมวลที่เวลา t และเรารู้บังคับให้ทำมัน แล้วเราสามารถใช้ความรู้นี้เพื่อขอรับการประเมินที่ดีพารามิเตอร์เหล่านี้ที่เวลา ( t + δ t ) เราก็ทำซ้ำขั้นตอนนี้ขั้นตอนโดยขั้นตอนมากกว่าช่วงเต็มของการแกว่งเพื่อติดตามการเคลื่อนที่ของมวลกับเวลา เราสามารถทำให้การคำนวณเหล่านี้ถูกต้องตามที่เราต้องการ โดยให้เวลาช่วงδ t เล็กพอสมควร เพื่อแสดงให้เห็นถึงวิธีการนี้เราใช้ไปง่าย ๆลูกตุ้ม รูปที่ 1.18 แสดงการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่ายและตำแหน่งของมวลของเวลาแต่ละสาม instants โดยแยกδ T คือที่ t ( t + δ t ) ( t + 2 δ t )การใช้สัญกรณ์˙θ ( T ) และตั้งθ ( T ) ( T ) D θ / DT และ D2 θ ( T ) / dt2 ตามลำดับ เราสามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวล ( 1.29 ) สมการ