Theorem 2.14. All positive integer

Theorem 2.14. All positive integer solutions of the equation x2 − xy − y
2 + 5x = 0 are given by (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n−1) with
n ≥ 1 or (x, y) = (L
2
2n+1
, L2n+1L2n) with n ≥ 0.
Proof. Assume that x
2 − xy − y
2 + 5x = 0 for some positive integers x and y. If 5|x, then x = 5a and y = 5b for some
positive integers a and b. Then a
2 − ab − b
2 + a = 0. Thus by Corollary 2.4, (a, b) = (F
2
2n
, F2nF2n−1) for some n ≥ 1. This
shows that (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n−1) with n ≥ 1. Now assume that 5 - x. Then by Theorem 2.13, x = u
2
and y = uv for
some positive integers u and v. Since x
2 −xy−y
2 +5x = 0, it follows that u
2 −uv −v
2 +5 = 0. Then by Theorem 2.10, we
get (u, v) = (L2n+1, L2n) for some n ≥ 0. This implies that (x, y) = (L
2
2n+1
, L2n+1L2n). Conversely if (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n−1)
or (x, y) = (L
2
2n+1
, L2n+1L2n), then by Corollary 2.4 or Theorem 2.10, we get x
2 − xy − y
2 + 5x = 0.
2228 R. Keskin / Computers and Mathematics with Applications 60 (2010) 2225–2230
The following theorem and corollaries can be given easily.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 2.14 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − xy − yx 2 + 5 = 0 ได้โดย (x, y) = (5F22n, 5F2nF2n−1) ด้วยn ≥ 1 หรือ (x, y) = (L22n + 1, L2n + 1L2n) กับ n ≥ 0หลักฐาน สมมติว่า x2 − xy − yx 2 + 5 = 0 สำหรับบางจำนวนเต็มบวก x และ y ถ้า 5|x แล้ว x = y และ 5a = 5b บางจำนวนเต็มบวก และ b แล้ว2 − ab − b2 + การ = 0 โดย Corollary 2.4 ดังนั้น (a, b) = (F22n, F2nF2n−1) สำหรับบาง n ≥ 1 นี้แสดงว่า (x, y) = (5F22n, 5F2nF2n−1) ด้วย n ≥ 1 ตอนนี้ สมมติว่า x 5 - โดยทฤษฎีบทที่ 2.13, x = u2และ y = uv สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง u และ v ตั้งแต่ x2 −xy−y+ 5 2 x = 0, u ที่ดังนั้น2 −uv −v2 + 5 = 0 โดยทฤษฎีบท 2.10 เรารับ (u, v) = (L2n + 1, L2n) สำหรับบาง n ≥ 0 บ่งชี้ที่ (x, y) = (L22n + 1, L2n + 1L2n) ในทางกลับกันถ้า (x, y) = (5F22n, 5F2nF2n−1)หรือ (x, y) = (L22n + 1, L2n + 1L2n), แล้ว โดย Corollary 2.4 หรือทฤษฎีบท 2.10 เราได้รับ x2 − xy − yx 2 + 5 = 0 Keskin r. 2228 / คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์กับการใช้งาน 60 (2010) 2225-2230ทฤษฎีบทต่อไปและ corollaries สามารถได้อย่างง่ายดาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.14 ทั้งหมดโซลูชั่นจำนวนเต็มบวกของ X2 สม - XY - Y
2 + 5x = 0 จะได้รับจาก (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n-1) กับ
n ≥ 1 หรือ (x, y) = (L
2
2n 1
, L2n + 1L2n) กับ n ≥ 0.
หลักฐาน สมมติว่า x
2 - XY - Y
2 + 5x = 0 สำหรับบางจำนวนเต็ม x บวกและ Y ถ้า 5 | x แล้ว x = 5A และ Y = 5b สำหรับบาง
จำนวนเต็มบวก A และ B จากนั้น
2 - AB - B
2 + A = 0 ดังนั้นโดยควันหลง 2.4 (A, B) = (F
2
2n
, F2nF2n-1) สำหรับบาง n ≥ 1 นี้
แสดงให้เห็นว่า (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n-1) กับ n ≥ 1 ตอนนี้คิดว่า 5 - x แล้วตามด้วยทฤษฎีบท 2.13 x = U
2
และ y = UV สำหรับ
จำนวนเต็มบวกและ U v. ตั้งแต่ x
2 -xy-Y
2 + 5x = 0 มันตามที่ U
2 -uv -v
2 5 = 0 แล้ว โดยทฤษฎีบท 2.10 เรา
ได้รับ (U, V) = (L2n + 1, L2n) สำหรับบาง n ≥ 0. นี่ก็หมายความว่า (x, y) = (L
2
2n + 1
, L2n + 1L2n) ตรงกันข้ามถ้า (x, y) = (5F
2
2n
, 5F2nF2n-1)
หรือ (x, y) = (L
2
2n + 1
, L2n + 1L2n) แล้วโดยควันหลง 2.4 หรือทฤษฎีบท 2.10 เราได้รับ x
2 - XY - Y
2 + 5x = 0
2228 อาร์ Keskin / คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ด้วยโปรแกรม 60 (2010) 2225-2230
ทฤษฎีบทและผลกระทบต่อไปนี้จะได้รับได้อย่างง่ายดาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

所有的解决方案。2.14定理的整数规划和积极的XY - y−x2因为2 + 5x = 0是由（x，y）=（5F22n5F2nF2n−1），与或n≥1（x，y）=（L22n+1与L2n+1L2n），n≥0。这证明Assume x。2−−y XY2 + 5x = 0的整数x和y for some阳性。如果x = x，然后5 | 5a和5b for some y =然后整数a和b阳性A。2 ab−−b2 + A = 0。因此，由Corollary 2.4（A，B）=（F22n一些F2nF2n−1），n≥1。这这是凝集（x，y）=（5F22n5F2nF2n−1），n≥1。现在与那5 assume定理。然后由2.13 X，X = u2和Y =外，一些整数u和v阳性。自X2−−y XY2 + 5x = 0，U它是如下。2−−V外2 + 5 = 0。然后，我们通过2.10定理get（u，v）=（n），L2n L2n+1≥0。这就是一些这样的（x，y）=（L22n+1Conversely，L2n+1L2n）。if（x，y）=（5F22n5F2nF2n−1），或（x，y）=（L22n+1然后，L2n+1L2n），或由Corollary 2.4定理，我们得到2.10 x2−−y XY2 + 5x = 0。2228 / R .应用数学与计算机和Keskin 60 2010 2225 2230（——）以下是theorem），因为可以和corollaries easily。