We introduce the following problem:

We introduce the following problem: How many ways are there
to arrange n children around a circular table, if two arrangements are
considered the same if and only if any child’s left and right neighbors
are the same?
For example, these two arrangements are considered the same:
A B
B D C A
C D
Notice that although the number of ways to arrange n children in
a line is n!, the same does not apply to n children in the above
situation.
In fact, there are (n-1)! distinct arrangements. To see why,
consider any arrangement of n children.
Consider the following linear arrangements of children:
a1, a2, … an
a2, a3, … a1,
a3, a4, … a2
…
…
…
an, a1, … an-1
If the last child of each line were to walk around and stand in
front of the first child of each line, then each line would become a
circular arrangement, all of which are identical.
It follows that there are exactly n linear arrangements for each
circular arrangement. Therefore, we divide the number of possible
linear arrangements of n children by n, resulting in
n!/n = (n-1)!

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราแนะนำปัญหาดังต่อไปนี้:
วิธีการหลายวิธีที่จะจัดให้มีn เด็ก ๆ
ทั่วตารางวงกลมถ้าสองคนเตรียมการจะถือว่าเดียวกันถ้าหากเด็กเพื่อนบ้านซ้ายและขวาใดๆจะเหมือนกันหรือไม่ตัวอย่างเช่นทั้งสองเตรียมการได้รับการพิจารณาเหมือนกัน: AB BDCA ซีดีสังเกตว่าแม้ว่าหลายวิธีที่จะจัด n เด็กเส้นเป็นn !, เดียวกันไม่ได้ผลกับเด็ก n ในข้างต้นสถานการณ์. ในความเป็นจริงมี (n-1)! การเตรียมการที่แตกต่างกัน เพื่อดูว่าทำไมพิจารณาการจัดเรียงของเด็ก n ใด ๆ . พิจารณาการเตรียมการเชิงเส้นต่อไปนี้ของลูก: a1, a2, ... a2, a3, ... a1, a3, a4 ... a2 ... ... ... ที่ a1 ... AN-1 ถ้า เด็กที่ผ่านมาของแต่ละบรรทัดจะเดินไปรอบ ๆ และยืนอยู่ในด้านหน้าของลูกคนแรกของแต่ละบรรทัดแล้วแต่ละบรรทัดจะกลายเป็นจัดวงกลมทั้งหมดที่มีเหมือนกัน. มันตามที่มีว่า n การเตรียมการเชิงเส้นสำหรับแต่ละการจัดเรียงเป็นวงกลม. ดังนั้นเราจึงแบ่งจำนวนที่เป็นไปได้ของการเตรียมการเชิงเส้นของเด็ก n โดย n ผลใน n! / n = (n-1)!

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราขอแนะนำต่อไปนี้ปัญหา : วิธีการหลายวิธีมีการจัดให้เด็ก
n รอบวงกลมตาราง ถ้าสองจัดเรียง
ถือว่าเดียวกันถ้าและเพียงถ้าซ้ายเด็กขวาเพื่อนบ้าน
เป็นเหมือนกันเหรอ
ตัวอย่างทั้งสองจัดเป็นเดียวกัน :

B D C A B C D

สังเกตว่าแม้ว่าจำนวนวิธีในการจัดเด็กในบรรทัดเป็น n
n ! ,เดียวกันใช้ไม่ได้กับเด็กในสถานการณ์ข้างต้น
.
ในความเป็นจริง มี ( N - 1 ) การจัดเรียงที่แตกต่างกัน ดูทำไม พิจารณาการจัดเรียงใด ๆของเด็ก ๆ
.
พิจารณาต่อไปโดยการจัดเรียงของเด็ก :
A1 , A2 , A3 , A2 . . .
,
. . . . . . . A1 , A3 , A4 , A2


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
, A1 . . . . . . . an-1
ถ้าลูกสุดท้ายของแต่ละบรรทัด ไปเดินรอบ ๆและยืนอยู่ในด้านหน้าของเด็ก
แรกของแต่ละบรรทัดจากนั้นแต่ละสายจะกลายเป็น
จัดเป็นวงกลม ซึ่งทั้งหมดจะเหมือนกัน .
มันต่อไปนี้ว่ามีการเตรียมการเชิงเส้นสำหรับแต่ละ
n ตรงวงกลม การจัดวาง ดังนั้นเราจึงแบ่งจำนวนที่เป็นไปได้การจัดเรียงของเด็กโดยตรง

n ( n ! / n = ( N - 1 )