5 Stabilization and Tracking of Gli

5 Stabilization and Tracking of Glider
Dynamics
The gliding equilibria for the system described by
(4.6)-(4.11) are the same as those for the original set of
equations of motion since the equilibria are not altered
by the feedback law. For a given choice of rP1d, rP3d
and mbd, the equilibria correspond to (ζ, η) = (0, ηd)
and w = 0. Linearization shows that the same steady
glide equilibria that were unstable before the feedback
(4.4)-(4.5) are now stable for the feedback controlled
system as expected. The equilibria of interest that are
unstable for the feedback controlled system are the ones
in which there is insufficient bottom heaviness, i.e., it
is a requirement for stability that the center of gravity
at the equilibrium be sufficiently far below the center
of buoyancy.
The zero dynamics of the controlled system are
η ˙ = q(η, 0, 0). (5.1)
Since these zero dynamics are exponentially stable
for sufficiently bottom-heavy equilibria of interest, the
feedback linearized system (4.12)-(4.13) is minimum
phase. Accordingly, we can use standard results, presented in [6] for example, for stabilizing the full dynamics of minimum phase systems to choose a control
law w = (w1, w3, w4). In particular, a linear choice
w = Kζ where (A + BK) is Hurwitz will yield exponential stability for the complete dynamics.
Proposition 5.1 Consider the feedback-linearized dynamics (4.12)-(4.13). For any ηd which is a locally
exponentially stable equilibrium of (5.1), let w = Kζ
where (A + BK) is Hurwitz. Then, (η, ζ) = (ηd, 0)
is a locally exponentially stable equilibrium point for the
closed-loop dynamics.
Proof: Linearizing equations (4.12)-(4.13) about (ηd, 0)
we get
” η ζ ˙˙ • = "  ∂ ∂η q 0 ‘d A +∗BK #
Due to the upper block triangular structure of the linearization of the closed-loop dynamics, the eigenvalues
of the (linearized) glider system are the eigenvalues of
 ∂ ∂η q ‘d and those of (A + BK). Thus, under the assumptions of the theorem, (ηd, 0) is a locally exponentially stable equilibrium point for the closed-loop
dynamics. ✷
We consider the following control law for w which
uses Proportional-Derivative (PD) control for the shifting mass and a Proportional (P) control law for the
buoyancy mass
w1 = −kp1(rP1 − rP1d) − kd1r ˙P1
w3 = −kp3(rP3 − rP3d) − kd3r ˙P3
w4 = −km(mb − mbd) (5.2)
where k
p1, kp3, km, kd1, kd3 are positive constant gains.
Simulations of the corresponding controlled system suggest a very large region of attraction. For example, this
control system can be used to stably switch between
upward and downward equilibrium glides. This is illustrated by simulating a switch from a downward 45◦
glide to an upward 45◦ glide. The downward glide is
the initial condition and the control law for the upward
glide is implemented. Note that this is an example of a
maneuver that was not stable using a linear control law
for u as in [8]. Figure 5.1 shows the MATLAB simulation results for a model of ROGUE. The model parameter values used in the simulation are those derived in
p. 4
−10 −8 −6 −4 −2 0
8 6 4 2
10
−x (m)
−z (m)
Path traced by glider CB
0 10 20 30 40
−60
−40
−20
0
20
40
60
t (s)
ξ (deg)
Glide angle
0 10 20 30 40
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
t (s)
w
1 (m/s2)
Shifting mass control action
0 10 20 30 40
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
t (s)
w
4 (kg/s)
Buoyancy mass control action
Figure 5.1: Single glider simulation.
[8]. In the simulation the desired speed of the glider is
0.3 m/s during both downward and upward glides. We
fix rP3 at 0.04 m and control the glider using w1 and
w4 only. The control gains are kp1 = kd1 = km = 1.
The glider is commanded to make the switch at t = 10
s.
Since asymptotic stabilization of minimum phase
systems can be extended to asymptotic tracking, we
can expect that our controlled underwater glider will
be able to track desired output trajectories. That is,
we could use the control formulation to drive y(t) =
(rP1 −rP1d, rP3 −rP3d, mb −mbd) to zero where the desired path of the shifting mass and the desired variable
mass are time-varying rP1d(t), rP3d(t), mbd(t). A detailed proof and analysis of tracking in this framework
will follow in a future paper. A simulation of a tracked
trajectory is shown in Figure 5.2. The plots show desired and actual (rP1, mb) trajectories as well as the
actual path traced by the glider in the x-z plane. In
this simulation rP3 = rP3d was held fixed at its initial
value.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (s)
r
P1 (m)
actual
desired
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
1
1.1
1.2
1.3
t (s)
m
b (kg)
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−10
−5
0
−x (m)
−z (m)
Figure 5.2: Simulation of trajectory tracking.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

5 เสถียรภาพและติดตามเครื่องร่อนDynamicsEquilibria ร่อนสำหรับระบบโดย(4.6)-(4.11) จะเหมือนกับการตั้งค่าเดิมของสมการของการเคลื่อนไหวเนื่องจากไม่มีการเปลี่ยนแปลง equilibriaกฎหมายคำติชม เลือกกำหนดของ rP1d, rP3dและ mbd, equilibria สอดคล้องกับ (ζ η) = (0, ηd)และ w = 0 Linearization แสดงว่าคงเหมือนกันequilibria เหินที่ไม่เสถียรก่อนคำติชม(4.4)-(4.5) อยู่ในขณะนี้มีเสถียรภาพสำหรับการควบคุมระบบตามที่คาดไว้ Equilibria น่าสนใจที่ไม่เสถียรสำหรับผลป้อนกลับระบบควบคุมกำลังคนที่มีหัวใจล่างพอ กล่าวคือ มันมีความต้องการความมั่นคงที่ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงที่สมดุลจะพอไกลด้านล่างตรงกลางการลอยตัวแปลงเป็นศูนย์ของระบบการควบคุมกำลังΗ˙ = q (η 0, 0) (5.1)ตั้งแต่แปลงศูนย์เหล่านี้กำลังมั่นคงชี้แจงสำหรับ equilibria พอหนักล่างน่าสนใจ การความคิดเห็น linearized ระบบ (4.12)-(4.13) เป็นขั้นต่ำขั้นตอนการ ดังนั้น เราสามารถใช้ผลการมาตรฐาน นำเสนอใน [6] เช่น สำหรับเสถียรภาพ dynamics ของเฟสต่ำสุดระบบจะเลือกตัวควบคุมแบบเต็มกฎหมาย w = (w1, w3, w4) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แบบเชิงเส้นw = Kζ ซึ่ง (A + BK) เป็น Hurwitz จะได้เสถียรภาพเนนสำหรับ dynamics สมบูรณ์เรื่องที่ 5.1 พิจารณา dynamics linearized ติชม (4.12)-(4.13) สำหรับ ηd ซึ่งเป็นการภายในชี้แจงอย่างสมดุล (5.1) ให้ w = Kζซึ่ง (A + BK) เป็น Hurwitz นั้น (η,, ζ) = (ηd, 0)เป็นจุดสมดุลมีเสถียรภาพภายในชี้แจงการวงปิด dynamicsหลักฐาน: Linearizing สมการ (4.12)-(4.13) เกี่ยวกับ (ηd, 0)เราได้รับΗζ˙˙ = " q ∂η∂ 0 d A + ∗BK #เนื่องจากโครงสร้างสามเหลี่ยมด้านบนบล็อกของ linearization ของ dynamics วงปิด ค่าลักษณะเฉพาะระบบเครื่องร่อน (linearized) มีค่าลักษณะเฉพาะของ∂∂η q d และของ (A + BK) ภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีบท ดังนั้น (ηd, 0) เป็นจุดสมดุลมีเสถียรภาพภายในชี้แจงวงปิดdynamics ✷เราพิจารณากฎหมายควบคุมต่อไปนี้สำหรับ w ซึ่งใช้ควบคุมสัดส่วนอนุพันธ์ (PD) สำหรับการเปลี่ยนมวลและควบคุมสัดส่วน (P) กฎหมายสำหรับการแรงมวลw1 = −kp1 (rP1 − rP1d) − kd1r ˙P1w3 = −kp3 (rP3 − rP3d) − kd3r ˙P3w4 = −km (mb − mbd) (5.2)ที่ kp1, kp3 กม. kd1, kd3 เป็นกำไรคงที่บวกแบบจำลองของระบบควบคุมที่เกี่ยวข้องแนะนำภูมิภาคมีขนาดใหญ่มากที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่น นี้ควบคุมระบบสามารถใช้จับสลับทาสมดุลขึ้น และลง นี้จะแสดง โดยการจำลองการสวิตช์จาก 45◦ ลงร่อนร่อนการ 45◦ ขึ้น จะร่อนลงเงื่อนไขเริ่มต้นและกฎหมายควบคุมสำหรับชี้ขึ้นดำเนินการร่อน หมายเหตุว่า นี่คือตัวอย่างของการวิธีการที่ไม่มีเสถียรภาพโดยใช้กฎหมายควบคุมเชิงเส้นสำหรับคุณใน [8] รูปที่ 5.1 แสดงผลการจำลองของ MATLAB สำหรับรูปแบบของปลอม คือค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองที่ใช้ในการจำลองมาในหนา 4−10 −8 −6 4 −2 08 6 4 210−x (m)−z (m)เส้นทางติดตาม ด้วยเครื่องร่อน CB0 10 20 30 40−60−40−200204060t (s)Ξ (องศา)มุมเหิน0 10 20 30 40−0.06−0.04−0.0200.02t (s)w1 (m/s2)เลื่อนการดำเนินการควบคุมโดยรวม0 10 20 30 40−0.5−0.4−0.3−0.2−0.100.1t (s)w4 (kg/s)ดำเนินการควบคุมมวลแรงรูปที่ 5.1: เดียวจำลองเครื่องร่อน[8] . ในการจำลอง ความเร็วของเครื่องร่อนที่เป็น0.3 m/s ในทั้งลง และขึ้นทา เราแก้ไข rP3 0.04 เมตร และควบคุม glider ใช้ w1 และw4 ควบคุมกำไรมี kp1 = kd1 = km = 1เครื่องร่อนที่ได้รับคำสั่งให้สวิตช์ที่ t = 10sตั้งแต่ asymptotic เสถียรภาพของเฟสต่ำสุดสามารถขยายระบบการติดตาม asymptotic เราสามารถคาดหวังว่า เครื่องร่อนของเราน้ำควบคุมจะสามารถติดตามทีมที่ต้องการออก นั่นก็คือเราสามารถใช้สูตรควบคุมขับ y(t) =(rP1 −rP1d, rP3 −rP3d, mb −mbd) เพื่อเป็นศูนย์เส้นทางที่ต้องการของการเปลี่ยนมวลและตัวแปรที่ต้องการมวลแตกต่างกันเวลา rP1d(t), rP3d(t), mbd(t) รายละเอียดหลักฐานและการวิเคราะห์ของการติดตามในกรอบนี้จะทำตามในกระดาษในอนาคต การจำลองของการติดตามวิถีลูกจะแสดงในรูปที่ 5.2 แปลงแสดงที่ต้องการ และเกิดขึ้นจริง (rP1, mb) ทีมรวมเส้นทางจริงที่ติดตาม ด้วยเครื่องร่อนในระนาบ x z ในนี้จำลอง rP3 = rP3d จัดขึ้นคงที่ของการเริ่มต้นค่า0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.100.10.20.3t (s)rP1 (m)จริงที่ต้องการ0 5 10 15 20 25 30 35 40 4511.11.21.3t (s)mb (กก.)−7 −6 −5 4 −3 −2 − 1 0−10−50−x (m)−z (m)รูปที่ 5.2: การจำลองของการติดตาม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5 การรักษาเสถียรภาพและการติดตามของเครื่องร่อน
Dynamics
ร่อนสมดุลของระบบการอธิบายโดย
(4.6) - (4.11) เป็นเช่นเดียวกับเหล่านั้นสำหรับชุดเดิมของ
สมการการเคลื่อนที่ตั้งแต่สมดุลจะไม่แก้ไข
ตามกฎหมายข้อเสนอแนะ สำหรับทางเลือกที่กำหนดของ rP1d, rP3d
และ MBD สมดุลสอดคล้องกับ (ζ, η) = (0, ηd)
และ W = 0 Linearization แสดงให้เห็นว่าเหมือนกันคง
สมดุลร่อนที่มีความไม่แน่นอนก่อนที่ความคิดเห็น
(4.4) - ( 4.5) ขณะนี้มีเสถียรภาพสำหรับความคิดเห็นควบคุม
ระบบตามที่คาดไว้ สมดุลที่น่าสนใจที่มีความ
เสถียรของระบบข้อเสนอแนะควบคุมจะเป็นคน
ที่มีความทุกข์อยู่ด้านล่างไม่เพียงพอคือมัน
เป็นความต้องการเพื่อความมั่นคงที่ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง
ที่สมดุลจะเพียงพอที่ต่ำกว่าศูนย์
ของทุ่นลอยน้ำ.
ศูนย์ การเปลี่ยนแปลงของระบบการควบคุมที่มี
η˙ = Q (η, 0, 0) (5.1)
ตั้งแต่นี้ศูนย์มีการเปลี่ยนแปลงชี้แจงเสถียรภาพ
สำหรับสมดุลเพียงพอด้านล่างหนักที่น่าสนใจที่
ความคิดเห็นของระบบเชิงเส้น (4.12) - (4.13) เป็นขั้นต่ำ
ขั้นตอน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ผลการมาตรฐานที่นำเสนอใน [6] ตัวอย่างเช่นสำหรับการรักษาเสถียรภาพพลวัตเต็มรูปแบบของระบบขั้นต่ำขั้นตอนในการเลือกการควบคุม
กฎหมาย W = (W1, W3, W4) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นทางเลือกเชิงเส้น
W = Kζที่ (A + BK) เป็น Hurwitz จะให้ความมั่นคงชี้แจงสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่สมบูรณ์.
ข้อเสนอ 5.1 พิจารณาการเปลี่ยนแปลงข้อเสนอแนะเชิงเส้น (4.12) - (4.13) สำหรับηdใด ๆ ที่เป็นคนในท้องถิ่น
สมดุลชี้แจงของ (5.1) ให้ W = Kζ
ที่ (A + BK) เป็น Hurwitz จากนั้น (η, ζ) = (ηd, 0)
เป็นจุดสมดุลในประเทศที่มีเสถียรภาพชี้แจงสำหรับ
การเปลี่ยนแปลงวงปิด.
พิสูจน์: สมการเส้นตรง (4.12) - (4.13) เกี่ยวกับ (ηd, 0)
เราได้รับ
?? ηζ˙˙ ?? = "?? ∂∂η Q 0 ?? D A + * BK #
เนื่องจากบนบล็อกโครงสร้างสามเหลี่ยมเชิงเส้นของการเปลี่ยนแปลงในวงปิดที่ค่าลักษณะเฉพาะ
ของ (เชิงเส้น) ระบบร่อนเป็นลักษณะเฉพาะของ
?? ∂ ∂η Q ?? D และบรรดา (A + BK). ดังนั้นภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีบท (ηd, 0) เป็นจุดสมดุลในประเทศที่มีเสถียรภาพชี้แจงสำหรับวงปิด
Dynamics. ✷
เราพิจารณากฎหมายควบคุมต่อไปนี้ สำหรับ W ซึ่ง
ใช้สัดส่วนตราสารอนุพันธ์ (PD) การควบคุมมวลขยับและกฎหมายปกติ (P) การควบคุมสำหรับ
มวลพยุง
W1 = -kp1 (RP1 - rP1d) - kd1r P1
W3 = -kp3 (RP3 - rP3d) - kd3r P3
W4 = กม (MB - MBD) (5.2)
ที่ K
P1, KP3, กม., KD1, Kd3 มีกำไรอย่างต่อเนื่องในเชิงบวก.
จำลองของระบบควบคุมให้เหมาะสมแนะนำภูมิภาคขนาดใหญ่มากของสถานที่น่าสนใจตัวอย่างเช่นนี้.
ควบคุม ระบบสามารถใช้ในการสลับไปมาระหว่างเสถียร
ขึ้นและสมดุลลดลงติดทนนาน. นี้แสดงโดยจำลองการเปลี่ยนจากลง45◦
เหินขึ้นไปยัง45◦เหิน. เหินลงเป็น
เงื่อนไขเบื้องต้นและกฎหมายควบคุมสำหรับขึ้น
เหินคือ การดำเนินการ โปรดทราบว่านี่คือตัวอย่างของหนึ่ง
การซ้อมรบที่ไม่มั่นคงโดยใช้กฎหมายควบคุมเชิงเส้น
สำหรับ U ใน [8] รูปที่ 5.1 แสดงให้เห็นถึงผลการจำลอง MATLAB สำหรับรูปแบบของการโกง ค่าพารามิเตอร์แบบที่ใช้ในการจำลองเป็นผู้ที่ได้รับมาใน
P 4
-10 -8 -6 -4 -2 0
8 6 4 2
10
-x
(M) -z (M)
เส้นทางตรวจสอบโดยเครื่องร่อน CB
0 10 20 30 40
-60
-40
-20
0
20
40
60
T (s )
ξ (องศา)
ฉุยฉายมุม
0 10 20 30 40
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
T (s)
W
1 (m / s2)
เลื่อนลอยการดำเนินการควบคุมมวล
0 10 20 30 40
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
T (s)
W
4 (กก. / วินาที)
ลอยตัวควบคุมมวลกระทำ
รูปที่ 5.1:. จำลองเครื่องร่อนเดี่ยว
[8] ในการจำลองความเร็วที่ต้องการของเครื่องร่อนเป็น
0.3 m / s ระหว่างทั้งซิกแซกขึ้นลง เรา
แก้ไข RP3 ที่ 0.04 เมตรและควบคุมเครื่องร่อนใช้ W1 และ
W4 เท่านั้น กำไรควบคุม KP1 = KD1 = = กม. 1.
เครื่องร่อนได้รับคำสั่งให้สลับที่ t = 10
s.
ตั้งแต่การรักษาเสถียรภาพ asymptotic เฟสขั้นต่ำ
ระบบสามารถขยายไปยังติดตาม asymptotic เรา
สามารถคาดหวังว่าเครื่องร่อนใต้น้ำของเราควบคุมจะ
เป็น สามารถติดตามการส่งออกที่ต้องการไบร์ท นั่นคือ
เราสามารถใช้สูตรการควบคุมที่จะขับรถ Y (t) =
(RP1 -rP1d, RP3 -rP3d, MB -mbd) ให้เป็นศูนย์ที่เส้นทางที่ต้องการของมวลขยับและตัวแปรที่ต้องการ
มวลเวลาที่แตกต่าง rP1d ( t) rP3d (t) MBD (T) หลักฐานรายละเอียดและการวิเคราะห์ของการติดตามในกรอบนี้
จะตามมาในอนาคตกระดาษ จำลองของการติดตาม
เส้นทางการเคลื่อนที่แสดงในรูปที่ 5.2 แปลงที่ต้องการและแสดงจริง (RP1, MB) ไบร์ทเช่นเดียวกับ
เส้นทางจริงตรวจสอบโดยร่อนในระนาบ XZ ที่ ใน
RP3 จำลองนี้ = rP3d ถูกจัดขึ้นคงที่เริ่มต้นของมัน
คุ้มค่า.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
T (s)
R
P1 (M)
ที่เกิดขึ้นจริง
ที่ต้องการ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
1
1.1
1.2
1.3
T (s)
M
B
(กก.) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-10
-5
0
-x
(M) -z (M)
รูปที่ 5.2: การจำลองวิถี การติดตาม