is a norm on the vector space M but

is a norm on the vector space M but is not a matrix norm. Consider the matrix J and compute J . It is not the case that , and hence is not a submultiplicative norm. However , if we define

then we have


Thus , only a minor modification of the vector norm || is required to make it a matrix norm.

Associated with each vector norm
\ on C is a natural matrix norm \ that is “induced” by \ on M . The norm \ is constructed from \ , and this construction adds to the list of methods for producing one norm from another.

The max in the above definition (rather than sup)
Is justified since || is a continuous function of x and the unit ball B is a compact set (see Appendix E).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป็นปกติในเวกเตอร์ M แต่ไม่ปกติเมตริกซ์ พิจารณาเมทริกซ์ J และคำนวณ J ไม่ใช่กรณีที่ และไม่เพราะ ปกติ submultiplicative อย่างไรก็ตาม ถ้าเรากำหนด

แล้วเรามี


ดังนี้ เพียงปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของเวกเตอร์ปกติ || จะต้องทำ norm. เมตริกซ์

เกี่ยวข้องกับแต่ละเวกเตอร์ปกติ
\ C เป็นปกติธรรมชาติเมตริกซ์ \ ที่จะ "เกิดจาก" \ ใน M ปกติ \ สร้างจาก \, และก่อสร้างเพิ่มไปยังรายการของวิธีการผลิตปกติหนึ่งจากอีก

สูงสุดในการกล่าวคำนิยาม (ดื่ม)
ชิดตั้งแต่ || เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x และลูกหน่วย B เป็นคอมแพคที่กำหนด (ดูภาคผนวก E) .

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป็นบรรทัดฐานในปริภูมิเวกเตอร์ M แต่เป็นบรรทัดฐานที่ไม่เมทริกซ์ พิจารณา J เมทริกซ์และคำนวณ J มันไม่ได้เป็นกรณีที่และด้วยเหตุนี้ไม่ได้เป็นบรรทัดฐาน submultiplicative แต่ถ้าเรากำหนดนั้นเราได้จึงมีเพียงการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยจากบรรทัดฐานเวกเตอร์ || จะต้องทำให้มันเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละเวกเตอร์บรรทัดฐาน\ ในซีเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ธรรมชาติ \ ที่ "เทพ" โดย \ ใน M บรรทัดฐาน \ ถูกสร้างจาก \ และการก่อสร้างนี้จะเพิ่มรายการของวิธีการในการผลิตหนึ่งบรรทัดฐานจากอีกสูงสุดในนิยามข้างต้น (แทนที่จะจีบ) เป็นธรรมตั้งแต่ || เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x และ หน่วยบอล B เป็นชุดที่มีขนาดกะทัดรัด (ดูภาคผนวก E)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นบรรทัดฐานในปริภูมิเวกเตอร์เมตริกซ์ M แต่ไม่ได้เป็นบรรทัดฐาน พิจารณาและคิดคำนวณเมทริกซ์ J J . มันไม่ได้เป็นแบบนั้น ดังนั้น ไม่ใช่บรรทัดฐาน submultiplicative . แต่ถ้าเรากำหนด

แล้วเรา


แต่การปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของเวกเตอร์บรรทัดฐาน | | จะต้องทำให้ค่าประจำเมทริกซ์


ปกติที่เกี่ยวข้องกับแต่ละเวกเตอร์ ใน C เป็นเมทริกซ์ธรรมชาติปกติ นั่นคือ " นำ " โดย m . บรรทัดฐาน และถูกสร้างจาก , สร้างนี้เพิ่มในรายการของวิธีการผลิตบรรทัดฐานจากอีก

สูงสุดในคำนิยามข้างต้น ( มากกว่า sup )
เป็นธรรมตั้งแต่ | | เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x และลูกหน่วย B เป็นชุดขนาดเล็ก ( ดูภาคผนวกและ

)