has also been studied on many graph

has also been studied on many graph classes, like chordal graphs and AT-free graphs [1,18], and several positive results
exist. This is not yet the case for Subset Feedback Vertex Set, and no algorithm with a running time of O(cn) such that
c < 1.8638 is known for any significant graph class. Interestingly, whereas both the weighted and the unweighted versions
of Feedback Vertex Set are solvable in polynomial time on chordal graphs [1,22], even the unweighted version of Subset
Feedback Vertex Set is NP-complete on chordal graphs; in fact on their more restricted subclass split graphs, by a standard
reduction from Vertex Cover [8].
In this paper we give an algorithm with running time O(1.6708n) that enumerates all minimal subset feedback vertex
sets when the input graph is chordal. As a consequence, Subset Feedback Vertex Set can be solved in time O(1.6708n) on
chordal graphs, both in the weighted and in the unweighted cases. Our algorithm differs completely from the O(1.8638n)
time algorithm of [8] for the general case, and it heavily uses the structure of chordal graphs. Chordal graphs form one of the
most studied graph classes; they have extensive practical applications in Sparse Matrix Computations [14], Computational
Biology and Phylogenetics [21], and several other fields [16], and they are crucial in characterizing and understanding
fundamental algorithmic tools, like treewidth.
Enumeration algorithms are central in the field of Exact Exponential Algorithms, as the running times of many exact
exponential-time algorithms rely on the maximum number of various objects in graphs [9]. A classical example is the widely
used result of Moon and Moser [19], showing that the maximum number of maximal cliques or maximal independent sets
in an n-vertex graph is 3n/3. More recently, the maximum numbers and enumeration of objects like minimal dominating
sets, minimal feedback vertex sets, minimal subset feedback vertex sets, minimal separators, and potential maximal cliques,
have been studied; see, e.g., [6–8,10,13,17,20]. The maximum number of such objects in graphs have traditionally found
independent interest also in graph theory and combinatorics.
The results we present in this paper give an upper bound of 1.6708n on the maximum number of minimal subset
feedback vertex sets a chordal graph can have. A tight bound on the maximum number of minimal feedback vertex sets
on chordal graphs is known to be 10n/5 ≈ 1.5848n [2], and this thus gives a lower bound on the maximum number of
minimal subset feedback vertex sets on chordal graphs. Consequently, our results tighten the gap between the upper and
lower bounds on the maximum number of subset feedback vertex sets on chordal graphs. The corresponding gap is much
larger on general graphs. There, the maximum numbers of minimal feedback and subset feedback vertex sets are both
1.8638n [6,8], but no examples of graphs having 1.5927n or more minimal feedback or subset feedback vertex sets are
known [6]. Note that the maximum number of minimal subset feedback vertex sets can be dramatically different from the
maximum number of minimal feedback vertex sets. Split graphs, which form a subclass of chordal graphs, have at most n2
minimal feedback vertex sets, whereas they can have 3n/3 ≈ 1.4422n minimal subset feedback vertex sets [8]. These upper
and lower bounds are summarized in Table 1.
In the next section we give the necessary background and notation. Our main results are presented in Section 3. We end
the paper with a concluding section containing open questions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ยังได้เรียนในชั้นเรียนกราฟหลาย เช่น chordal กราฟ และกราฟฟรี [1,18], และผลบวกหลาย
อยู่ นี้ไม่ได้กรณีย่อยผลป้อนกลับจุดตั้ง และอัลกอริทึมไม่ มีเวลาทำงานของ O(cn) ที่
c < 1.8638 มีชื่อเสียงคลาสกราฟสำคัญใด ๆ เป็นเรื่องน่าสนใจ ในขณะที่การถ่วงน้ำหนักและรุ่น unweighted
ของผลป้อนกลับชุดจุดสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามบนกราฟ chordal [1,22], แม้ unweighted รุ่นย่อย
ติชมจุดตั้งอยู่ทำ NP กราฟ chordal ในความเป็นจริงในการย่อยจำกัดเพิ่มเติมแบ่งกราฟ ตามมาตรฐาน
ลดจากจุดครอบคลุม [8] .
ในเอกสารนี้ เราได้ให้อัลกอริทึมที่ มีการเรียกใช้เวลา O(1.6708n) ที่ระบุจุดผลป้อนกลับน้อยย่อยทั้งหมด
ชุดเมื่อกราฟเข้า chordal ผล ผลป้อนกลับย่อยจุดตั้งสามารถแก้ไขเวลา O(1.6708n) บน
chordal กราฟ ในการถ่วงน้ำหนัก ทั้ง ในกรณี unweighted อัลกอริทึมของเราแตกต่างโดยสิ้นเชิงจาก O (1.8638n)
อัลกอริทึมเวลา [8] ในกรณีทั่วไป และใช้โครงสร้างของกราฟ chordal มาก กราฟ chordal ฟอร์มหนึ่ง
ศึกษาเรียนกราฟ มากที่สุด มีการประยุกต์ใช้งานจริงอย่างละเอียดในหนึ่งบ่อเมตริกซ์ [14], Computational
ชีววิทยา และวงศ์วานวิวัฒนาการ [21], และหลายฟิลด์อื่น ๆ [16], และพวกเขาเป็นสิ่งสำคัญในการกำหนดลักษณะของ ความเข้าใจ
พื้นฐาน algorithmic เครื่องมือ เช่น treewidth.
ระบุอัลกอริทึมเป็นกลางแน่นอนเนนอัลกอริทึม ในเวลาทำงานของหลายแน่นอน
อัลกอริทึมเวลาเนนอาศัยจำนวนของวัตถุต่าง ๆ ในกราฟ [9] ตัวอย่างคลาสสิกอย่างกว้างขวาง
ใช้ผลของดวงจันทร์และโม [19], แสดงสูงสุด cliques หรือชุดสูงสุดขึ้นอยู่กับจำนวนที่
กราฟจุด n เป็น 3 คืน/3 เมื่อเร็ว ๆ นี้ จำนวนสูงสุดและการแจงนับวัตถุเช่นอำนาจเหนือน้อย
ชุด ผลป้อนกลับน้อยจุดชุด ชุดจุดผลป้อนกลับน้อยย่อย แยกน้อยที่สุด และมีศักยภาพสูงสุด cliques,
มีการศึกษา ดู เช่น, [6-8,10,13,17,20] ซึ่งพบจำนวนสูงสุดของวัตถุเช่นในกราฟ
สนใจอิสระนอกจากนี้ในทฤษฎีกราฟและคณิตศาสตร์เชิงการจัด
ผลที่เรานำเสนอในเอกสารนี้ให้เป็นขอบเขตบนของ 1.6708n จำนวนย่อยน้อย
ความคิดเห็นจุดชุด chordal กราฟได้ ผูกแน่นเป็นจำนวนสูงสุดของผลป้อนกลับน้อยจุดชุด
บนกราฟ chordal เป็นที่รู้จักกันได้ 10n/5 ≈ 1.5848n [2], และนี้จึงให้ขอบล่างสูงสุดจำนวน
ชุดย่อยน้อยข้อเสนอแนะจุดบนกราฟ chordal ดังนั้น ผลของเรากระชับช่องว่างระหว่างส่วนบน และ
ขอบเขตล่างบนจำนวนของจุดยอดของความคิดเห็นย่อยตั้งค่าบนกราฟ chordal ช่องว่างที่สอดคล้องกันเป็น
ใหญ่บนกราฟทั่วไป หมายเลขสูงสุดของชุดจุดการข้อเสนอแนะคำติชมและย่อยน้อยมีทั้ง
1.8638n [6,8], แต่ไม่มีตัวอย่างของกราฟที่มี 1.5927n หรืออย่างน้อยที่สุดผลป้อนกลับหรือการย่อยผลป้อนกลับจุดชุดมี
รู้จัก [6] โปรดสังเกตว่า จำนวนน้อยย่อยผลป้อนกลับจุดชุดจะแตกต่างอย่างมากจากการ
จำนวนชุดจุดความคิดเห็นน้อยที่สุด มากที่สุดได้แบ่งกราฟ ซึ่งรูปแบบย่อยของกราฟ chordal, n2
ผลป้อนกลับน้อยจุดกำหนด ในขณะที่พวกเขาได้ 3 คืน/3 ≈ 1.4422n น้อยจุดย่อยผลป้อนกลับชุด [8] เหล่านี้ด้านบน
และขอบเขตล่างได้สรุปไว้ในตารางที่ 1.
ในส่วนถัดไป เราให้จำเป็นพื้นหลังและสัญลักษณ์ มีแสดงผลหลักของเราใน 3 ส่วน เราจบ
กระดาษประกอบด้วยคำถามเปิดส่วนสรุป

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นอกจากนี้ยังได้รับการศึกษาในชั้นเรียนกราฟมากเช่นกราฟคอร์ดัและ AT-ฟรีกราฟ [1,18] และผลในเชิงบวกหลาย
อยู่ นี้ยังไม่กรณีที่กลุ่มย่อยสำหรับข้อเสนอแนะเวอร์เท็กซ์ชุดและอัลกอริทึมที่มีเวลาการทำงานของ O (cn) ไม่เช่นนั้น
ค <1.8638 เป็นที่รู้จักกันสำหรับการเรียนของกราฟที่มีความสำคัญ ที่น่าสนใจในขณะที่ทั้งหนักและรุ่นชั่ง
ของความคิดเห็นของเวอร์เท็กซ์ชุดจะแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในกราฟคอร์ดั [1,22] แม้รุ่นชั่งของกลุ่มย่อย
เสนอแนะเวอร์เท็กซ์ชุดเป็น NP-สมบูรณ์ในกราฟคอร์ดั; ในความเป็นจริงที่มีข้อ จำกัด มากขึ้นกราฟของพวกเขาแยกย่อยตามมาตรฐาน
การลดลงจากเวอร์เท็กซ์ปก [8]
ในบทความนี้เราจะให้อัลกอริทึมกับการทำงานเวลา O (1.6708n) ที่ระบุความคิดเห็นย่อยน้อยที่สุดทุกจุดสุดยอด
ชุดเมื่อกราฟเข้าเป็นคอร์ดั . เป็นผลให้ข้อเสนอแนะกลุ่มย่อย Vertex ชุดจะสามารถแก้ไขได้ในเวลา O (1.6708n) ใน
กราฟคอร์ดัทั้งในน้ำหนักและในกรณีชั่ง อัลกอริทึมของเรามีความแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจาก O (1.8638n)
อัลกอริทึมเวลา [8] สำหรับกรณีทั่วไปและมันหนักใช้โครงสร้างของกราฟคอร์ดั กราฟคอร์ดัรูปแบบหนึ่งของ
การเรียนกราฟศึกษามากที่สุด; พวกเขามีการใช้งานอย่างกว้างขวางในทางปฏิบัติในการคำนวณเบาบางเมทริกซ์ [14] คำนวณ
ชีววิทยาและวงศ์วานวิวัฒนาการ [21], และสาขาอื่น ๆ หลาย [16] และพวกเขามีความสำคัญในการพัฒนาการและความเข้าใจใน
ขั้นตอนวิธีการเครื่องมือพื้นฐานเช่น treewidth
ขั้นตอนวิธีการแจงนับเป็นศูนย์กลางใน สาขาที่ต้องการชี้แจงขั้นตอนวิธีเป็นเวลาทำงานของหลาย ๆ ที่แน่นอน
ขั้นตอนวิธีชี้แจงเวลาพึ่งพาจำนวนสูงสุดของวัตถุต่างๆในกราฟ [9] ตัวอย่างคลาสสิกเป็นอย่างกว้างขวาง
ใช้ผลของดวงจันทร์และโมเซอร์ [19] แสดงให้เห็นว่าจำนวนสูงสุดของชมรมสูงสุดหรือสูงสุดอิสระชุด
ในกราฟ n-จุดสุดยอดเป็น 3N / 3 เมื่อเร็ว ๆ นี้ตัวเลขสูงสุดและนับของวัตถุเช่นน้อยที่สุดครอบครอง
ชุดน้อยที่สุดข้อเสนอแนะชุดจุดสุดยอดน้อยที่สุดข้อเสนอแนะย่อยชุดจุดสุดยอดแยกน้อยที่สุดและชมรมสูงสุดที่อาจเกิดขึ้น
ได้รับการศึกษา; เห็นเช่น [6-8,10,13,17,20] จำนวนสูงสุดของวัตถุดังกล่าวในกราฟได้พบประเพณี
ที่น่าสนใจที่เป็นอิสระยังอยู่ในทฤษฎีกราฟและ combinatorics
ผลที่เรานำเสนอในบทความนี้ให้บนปกของ 1.6708n ในจำนวนสูงสุดของน้อยที่สุดส่วน
จุดสุดยอดข้อเสนอแนะกำหนดกราฟคอร์ดัสามารถมี ผูกพันแน่นในจำนวนสูงสุดของน้อยที่สุดข้อเสนอแนะชุดจุดสุดยอด
ในกราฟคอร์ดัเป็นที่รู้จักกัน 10N / 5 ≈ 1.5848n [2] และนี่จึงให้ต่ำกว่าผูกพันกับจำนวนสูงสุดของ
ข้อเสนอแนะส่วนน้อยที่สุดจุดสุดยอดชุดกราฟคอร์ดั ดังนั้นผลของเรากระชับช่องว่างระหว่างส่วนบนและ
ขอบเขตที่ลดลงจำนวนสูงสุดของส่วนข้อเสนอแนะที่ชุดจุดสุดยอดในกราฟคอร์ดั ช่องว่างที่สอดคล้องกันมาก
ขนาดใหญ่ในกราฟทั่วไป มีตัวเลขสูงสุดของการตอบรับน้อยที่สุดและย่อยข้อเสนอแนะจุดสุดยอดชุดมีทั้ง
1.8638n [6,8] แต่ตัวอย่างของกราฟมี 1.5927n หรือข้อเสนอแนะที่น้อยมากหรือข้อเสนอแนะส่วนจุดสุดยอดชุดไม่มี
ที่รู้จักกัน [6] โปรดทราบว่าจำนวนสูงสุดของน้อยที่สุดข้อเสนอแนะย่อยชุดจุดสุดยอดได้อย่างมากแตกต่างจาก
จำนวนสูงสุดของความคิดเห็นน้อยที่สุดชุดจุดสุดยอด กราฟแยกซึ่งรูปแบบของกราฟรองคอร์ดัมีที่ n2 ส่วนใหญ่
น้อยที่สุดชุดจุดสุดยอดข้อเสนอแนะในขณะที่พวกเขาสามารถมี 3n / 3 ≈ 1.4422n ความคิดเห็นย่อยน้อยที่สุดจุดสุดยอดชุด [8] เหล่านี้บน
ขอบเขตและล่างมีรายละเอียดในตารางที่ 1
ในส่วนถัดไปเราจะให้พื้นหลังที่จำเป็นและสัญกรณ์ ผลหลักของเราจะนำเสนอในมาตรา 3 เราจบ
กระดาษด้วยส่วนสุดท้ายที่มีคำถามเปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นอกจากนี้ยังได้ศึกษาเรียนกราฟหลาย เช่นกราฟและกราฟที่ chordal ฟรี [ 1,18 ] และหลายผลลัพธ์ที่เป็นบวก
อยู่ นี่ไม่ใช่กรณีย่อยความคิดเห็น ยอดตั้ง และไม่มีวิธีวิ่งเวลา O ( CN ) เช่น
c < 1.8638 เป็นที่รู้จักสำหรับคลาสกราฟใด ๆที่สำคัญ น่าสนใจ ในขณะที่ทั้งหนักและรุ่น
ถ่วงน้ำหนักความคิดเห็นที่เวอร์เท็กซ์ชุดแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามใน chordal กราฟถ่วงน้ำหนัก [ 1,22 ] แม้รุ่นย่อย
ติชมเพื่อตั้งเป็น NP สมบูรณ์กราฟ chordal ; ในความเป็นจริงพวกเขาเพิ่มเติม จำกัด ซับแยกกราฟโดยการลดมาตรฐาน
จากยอดครอบคลุม [ 8 ] .
ในกระดาษนี้เราให้อัลกอริทึมกับ ใช้เวลา O ( 1.6708n ) ที่ระบุทั้งหมดน้อยที่สุดย่อยติชม
จุดสุดยอดชุดเมื่อใส่กราฟเป็น chordal . ผลที่ตามมา , ย่อยความคิดเห็น VERTEX ชุดสามารถแก้ไขได้ในเวลา O ( 1.6708n )
กราฟ chordal ทั้งในถ่วงน้ำหนักและในกรณีถ่วงน้ำหนัก . ขั้นตอนวิธีของเราแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจาก O ( 1.8638n )
เวลาขั้นตอนวิธี [ 8 ] สำหรับกรณีทั่วไป และหนักใช้โครงสร้างของกราฟ chordal . กราฟ chordal รูปแบบหนึ่งของ
ส่วนใหญ่การศึกษากราฟเรียน ;พวกเขากว้างขวาง ประโยชน์ในเมทริกซ์มากเลขศูนย์การคำนวณ [ 14 ] การคำนวณ
ชีววิทยาและไฟโลเจเนติก [ 21 ] และหลายสาขาอื่น ๆ [ 16 ] และพวกเขามีความสําคัญในการพัฒนาและความเข้าใจ
เครื่องมือพื้นฐานขั้นตอนวิธี ขั้นตอนวิธีการ เช่น treewidth .
ศูนย์กลางในสาขาที่แน่นอนแบบเป็นรอบของขั้นตอนวิธี
ที่แน่นอนมากขั้นตอนวิธีเวลาแบบเลขชี้กำลังพึ่งพาจำนวนสูงสุดของวัตถุต่าง ๆ ในกราฟ [ 9 ] ตัวอย่างคลาสสิกเป็นอย่างกว้างขวางใช้ผล
พระจันทร์และ โมเซอร์ [ 19 ] , แสดงจำนวนสูงสุดของ cliques สูงสุดหรือสูงสุดชุดอิสระ
ใน n-vertex กราฟเป็น 3N / 3 เมื่อเร็วๆ นี้ แจงตัวเลขสูงสุดและวัตถุเช่นน้อยที่สุด dominating
ชุดความคิดเห็นน้อยที่สุดเซตจุดยอดความคิดเห็นที่น้อยที่สุดย่อยยอดชุดแยกน้อยที่สุดและ cliques สูงสุดที่มีศักยภาพ
ได้รับการศึกษา ; ดูเช่น [ 6 – 8,10,13,17,20 ] จำนวนสูงสุดของวัตถุดังกล่าวในกราฟมีประเพณีที่น่าสนใจพบ
อิสระในทฤษฎีกราฟและ คณิตศาสตร์เชิงการจัด .
ผลที่เรานำเสนอในบทความนี้ให้ขอบเขตบนของ 1.6708n เกี่ยวกับจำนวนสูงสุดของ
ย่อยน้อยที่สุดความคิดเห็นที่เวอร์เท็กซ์ชุดกราฟ chordal สามารถมี แน่น ผูกกับจำนวนสูงสุดของจุดยอดความคิดเห็นน้อยที่สุดชุด
กราฟ chordal เป็นที่รู้จักกันเป็น 10n / 5 ≈ 1.5848n [ 2 ] และนี้จึงให้ขอบเขตล่างบนจำนวนสูงสุดของ
น้อยที่สุดย่อยความคิดเห็น VERTEX ชุดบนกราฟ chordal . ดังนั้น ผลลัพธ์ของเรากระชับช่องว่างระหว่างด้านบนและ
ลดขอบเขตเกี่ยวกับจำนวนสูงสุดของจุดยอดในกราฟย่อยข้อมูลชุด chordal . ช่องว่างที่สอดคล้องกันมาก
ขนาดใหญ่บนกราฟทั่วไป มีตัวเลขสูงสุดของจุดยอดความคิดเห็นน้อยที่สุดและย่อยความคิดเห็นชุดทั้งคู่
1.8638n [ 6,8 ] แต่ไม่มีตัวอย่างของกราฟมี 1.5927n หรือเพิ่มเติมความคิดเห็นน้อยที่สุดหรือย่อยความคิดเห็น VERTEX ชุด
รู้จัก [ 6 ]โปรดทราบว่าจำนวนสูงสุดของชุดข้อมูลย่อย ยอดน้อยที่สุดสามารถเป็นอย่างมากแตกต่างจาก
จำนวนสูงสุดของชุดข้อมูลที่น้อยที่สุดจุดสุดยอด แยกกราฟซึ่งสร้าง subclass ของกราฟ chordal ใน N2
ที่สุดยอดชุดข้อมูลน้อยที่สุด ในขณะที่พวกเขาสามารถมี 3N / 3 ≈ 1.4422n น้อยที่สุดย่อยความคิดเห็น VERTEX ชุด [ 8 ] เหล่านี้บนและขอบเขตล่าง
สรุปได้ในตารางที่ 1 .
ในตอนต่อไปเราจะให้พื้นหลังเป็นสัญกรณ์ ผลลัพธ์หลักของเราจะนำเสนอในส่วนที่ 3 เราจบ
กระดาษด้วยการสรุปส่วนที่มีคำถามที่เปิดอยู่