Suppose the numbers x1; x2; x3 are

Suppose the numbers x1; x2; x3 are not known but b1; b2; b3 are known. Then Ax D b becomes an
equation for x, not an equation for b. We start with the differences (the bs) and ask which xs have those
differences. This is a new viewpoint of Ax D b, and linear algebra is always interested first in b D 0:


For this matrix, the only solution to Ax D 0 is x D 0. That may seem automatic but it’s not. A key word
in linear algebra (we are foreshadowing its importance) describes this situation. These column vectors a1,
a2, a3 are independent. Their combination x1a1 C x2a2 C x3a3 is Ax D 0 only when all the xs are zero.
Move now to nonzero differences b1 D 1, b2 D 3, b3 D 5. Is there a choice of x1, x2, x3 that produces
those differences 1; 3; 5? Solving the three equations in forward order, the xs are 1; 4; 9:


This case x D 1; 4; 9 has special interest. When the bs are the odd numbers in order, the xs are the perfect
squares in order. But linear algebra is not number theory—forget that special case ! For any b1, b2, b3


there is a neat formula for x1, x2, x3:


This general solution includes the examples with b D 0; 0; 0 (when x D 0; 0; 0) and
b D 1; 3; 5 (when x D 1; 4; 9). One more insight will complete the example.
We started with a linear combination of a1, a2, a3 to get b. Now b is given and equation (5) goes
backward to find x. Write that solution with three new vectors whose combination gives x:


This is beautiful, to see a sum matrix S in the formula for x. The equation Ax D b is solved by x D Sb.
The matrix S is the “inverse” of the matrix A. The difference matrix is inverted by the sum matrix. Where
A took differences of x1; x2; x3, the new matrix S takes sums of b1; b2; b3.


Note 4 I believe there is value in naming these matrices. The words “difference matrix” and “sum
matrix” tell how they act. It is the action of matrices, when we form Ax and Cx and Sb, that makes linear
algebra such a dynamic and beautiful subject.
The linear algebra symbol for the inverse matrix is A1
(not 1=A). Thus S D A1 finds x from b.
This example shows how linear algebra goes in parallel with calculus. Sums are the inverse of differences,
and integration is the inverse of differentiation:
The integral starts at x.0/ D 0, exactly as the sum started at x0 D 0.


The second example This example begins with almost the same three vectors—only one component is changed:


The combination x1c1 C x2c2 C x3c3 is again a matrix multiplication Cx:


With the new vector in the third column, C is a “cyclic” difference matrix. Instead of x1 0 we have
x1 x3. The differences of xs “wrap around” to give the new bs. The inverse direction begins with
b1; b2; b3 and asks for x1; x2; x3.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมมติหมายเลข x 1 x 2 ไม่ทราบว่า x 3 แต่ b1 b2 b3 รู้จักกัน แล้ว b Ax D จะมีสมการหา x ไม่มีสมการ b เราเริ่ม มีความแตกต่าง (bs) และขอ xs ใดได้ความแตกต่าง นี่เป็นมุมมองใหม่ของ Ax D b และพีชคณิตเชิงเส้นอยู่เสมอ first สนใจใน b D 0:สำหรับเมทริกซ์นี้ เป็นทางออกเดียวกับ Ax D 0 x D 0 ที่อาจดูเหมือนอัตโนมัติ แต่ไม่ คีย์เวิดในพีชคณิตเชิงเส้น (เรามี foreshadowing ความสำคัญ) อธิบายสถานการณ์นี้ เหล่านี้คอลัมน์เวกเตอร์ a1a2, a3 เป็นอิสระ ของชุด x1a1 C x2a2 C x3a3 เป็น Ax D 0 เมื่อ xs ทั้งหมดเป็นศูนย์ย้ายตอนนี้การ nonzero ผลต่าง b1 D 1, b2 D 3, b3 D 5 มี x 1, x 2, x 3 ที่ผลิตหลากหลายความแตกต่าง 1 3 5 แก้สมการ 3 เพื่อไปข้างหน้า xs มี 1 4 9:กรณีนี้ x D 1 4 9 ได้รับดอกเบี้ยพิเศษ Bs มีหมายเลขคี่ตามลำดับ xs จะสมบูรณ์แบบสี่เหลี่ยมตามลำดับ แต่พีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่ทฤษฎีจำนวนเช่นลืมว่ากรณีพิเศษ ใด ๆ b1, b2, b3มีสูตรเรียบร้อยสำหรับ x 1, x 2, x 3:แก้ไขปัญหาทั่วไปนี้เป็นตัวอย่างกับ b D 0 0 0 (เมื่อ x D 0; 0; 0) และบี D 1 3 5 (เมื่อ x D 1; 4; 9) หนึ่งความเข้าใจที่มากขึ้นจะทำอย่างเราเริ่มต้น ด้วยการรวมกันเชิงเส้น a1, a2, a3 รับบี ตอนนี้ บีได้ และสมการ (5) ไปย้อนหลังไป find ไฟร์เขียน ว่า โซลูชันกับสามใหม่ vectors ชุดที่ให้ x:นี่คือความสวยงาม หาผลรวมเมทริกซ์ S ในสูตรสำหรับ x สมการ b Ax D จะแก้ไขได้ ด้วย x D Sbเมทริกซ์ S จะ "ผกผัน" เมทริกซ์อ. เมตริกซ์ความแตกต่างจะกลับ โดยเมตริกซ์ของผลรวม ซึ่งA เอาผลต่างของ x 1 x 2 ผลรวมของ b1, x 3 ใช้เวลาเมตริกซ์ใหม่ S b2 b3หมายเหตุ 4 ผมเชื่อว่า มีมูลค่าในการตั้งชื่อเมทริกซ์นี้ คำ "ต่างเมทริกซ์" และ "ผลรวมเมทริกซ์"บอกการกระทำ เป็นการดำเนินการของเมทริกซ์ เมื่อเรามีรูปแบบ Ax และ Cx และ Sb ที่ทำเส้นพีชคณิตเช่นหัวเรื่องเป็นแบบไดนามิก และสวยงามสัญลักษณ์การพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์ผกผันเป็น A1(ไม่ 1 = A) ดังนั้น S D A1 finds x จาก bตัวอย่างนี้แสดงว่าพีชคณิตเชิงเส้นไปขนานกับแคลคูลัส ผลรวมมีค่าผกผันของความแตกต่างและรวมเป็นค่าผกผันของการสร้างความแตกต่าง:ทฤษฎีบูรณาการการเริ่มต้นที่ x.0/ D 0 ตรงตามผลเริ่มต้นที่ 0 x D 0ตัวอย่างสองตัวอย่างนี้เริ่มต้น ด้วยเกือบจะเดียวกันสามเวกเตอร์ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงส่วนประกอบหนึ่งเท่านั้น:ชุด x1c1 C x2c2 C x3c3 เป็นอีกคูณเมตริกซ์ Cx:เวกเตอร์ใหม่ในคอลัมน์สาม C เป็นเมทริกซ์ "วัฏจักร" แตกต่างกัน แทน x 1 0 เราได้x 1 x 3 ความแตกต่างของ xs "ตัดรอบ" ให้ bs ใหม่ ทิศทางผกผันเริ่มต้นด้วยb1 b2 b3 และถามสำหรับ x 1 x 2 x 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมมติว่าหมายเลข x1; x2; x3 จะไม่เป็นที่รู้จัก แต่ b1; b2; b3 เป็นที่รู้จัก จากนั้นขวาน D ขกลายเป็น
สมการ x ไม่สมการข เราเริ่มต้นด้วยความแตกต่าง (BS) และขอ XS ซึ่งมีผู้ที่
แตกต่าง นี่คือมุมมองใหม่ของขวาน D ขและพีชคณิตเชิงเส้นเป็นไฟสนใจเสมอแรกในข D 0: สำหรับเมทริกซ์นี้ทางออกเดียวที่จะขวาน D เป็น 0 x ลึก 0 ที่อาจดูเหมือนอัตโนมัติ แต่ก็ไม่ได้ คำสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น (เรามีแววความสำคัญของมัน) อธิบายสถานการณ์นี้ เหล่านี้เวกเตอร์คอลัมน์ a1, a2, a3 มีความเป็นอิสระ การรวมกันของพวกเขา x1a1 C x2a2 C x3a3 เป็นขวาน D 0 เฉพาะเมื่อ XS ทั้งหมดเป็นศูนย์. ย้ายตอนนี้ความแตกต่างภัณฑ์ b1 D 1, D 3 b2, b3 D 5. มีทางเลือกของ x1, x2, x3 ที่ก่อให้เกิดความแตกต่างเหล่านั้น 1; 3; 5? การแก้สมการสามเพื่อไปข้างหน้า XS เป็น 1; 4; 9: กรณีนี้ x ลึก 1; 4; 9 มีความสนใจเป็นพิเศษ เมื่อ BS เป็นเลขคี่ในการสั่งซื้อ XS มีความสมบูรณ์แบบสี่เหลี่ยมในการสั่งซื้อ แต่พีชคณิตเชิงเส้นไม่ได้จำนวนทฤษฎีลืมว่ากรณีพิเศษ! สำหรับ b1 ใด ๆ , B2, B3 มีสูตรเรียบร้อยสำหรับ x1, x2, x3: นี้แก้ปัญหาทั่วไปรวมถึงตัวอย่างด้วย b D 0; 0; 0 (เมื่อ x ลึก 0; 0; 0) และข D 1; 3; 5 (เมื่อ x ลึก 1; 4; 9) หนึ่งความเข้าใจมากขึ้นจะเสร็จสมบูรณ์ตัวอย่างเช่น. เราเริ่มต้นด้วยการรวมเชิงเส้นของ a1, a2, a3 จะได้รับการข ตอนนี้ขจะได้รับและสมการ (5) ไปย้อนกลับไป Fi ครั้ง x เขียนวิธีการแก้ปัญหาที่มีสามเวกเตอร์ใหม่ที่มีการรวมกันให้ x: นี้เป็นสิ่งที่สวยงามเพื่อที่จะเห็นผลรวมเมทริกซ์ S ในสูตรสำหรับ x สมขวาน D ขจะแก้ไขได้โดยการ x ลึก Sb. เมทริกซ์ S คือ "ผกผัน" ของเมทริกซ์เอเมทริกซ์ที่แตกต่างกันจะกลับเมทริกซ์โดยรวม ที่เอาความแตกต่างของ x1; x2; x3, เมทริกซ์ใหม่ S จะเกิดผลบวกของ b1; b2; b3. หมายเหตุ 4 ผมเชื่อว่ามีค่าในการตั้งชื่อการฝึกอบรมเหล่านี้ คำว่า "ความแตกต่างเมทริกซ์" และ "ผลรวมเมทริกซ์ "บอกว่าพวกเขาทำหน้าที่ มันคือการกระทำของการฝึกอบรมเมื่อเราฟอร์มขวานและ Cx และ Sb ที่ทำให้เชิงเส้นพีชคณิตเช่นเรื่องแบบไดนามิกและสวยงาม. สัญลักษณ์พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์ผกผันเป็น A1 (ไม่ = 1) ดังนั้น SD A1 Fi x nds จากข. ตัวอย่างนี้แสดงวิธีพีชคณิตเชิงเส้นไปในแบบคู่ขนานกับแคลคูลัส ผลรวมเป็นผกผันของความแตกต่างและบูรณาการเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของความแตกต่าง: เริ่มต้นหนึ่งที่ x.0 / D 0, ตรงตามผลรวมเริ่มต้นที่ x0 D 0. ตัวอย่างที่สองตัวอย่างนี้เริ่มต้นด้วยเกือบจะเหมือนกันสามเวกเตอร์เท่านั้น องค์ประกอบหนึ่งที่มีการเปลี่ยนแปลง: การรวมกัน X1C1 C x2c2 C x3c3 เป็นอีกครั้งคูณเมทริกซ์ Cx: ด้วยเวกเตอร์ใหม่ในคอลัมน์ที่สามซีเป็น "วงกลม" เมทริกซ์ที่แตกต่างกัน แทนที่จะ x1 0 เรามีx1 x3 ความแตกต่างของ XS "ห่อรอบ" เพื่อให้ BS ใหม่ ทิศทางผกผันเริ่มต้นด้วยb1; b2; b3 และขอให้ x1; x2; x3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมมติว่าหมายเลข x1 ; x2 ; X3 ไม่ทราบแต่ B1 B2 B3 ; ; เป็นที่รู้จักกัน แล้วขวาน D B กลายเป็นสมการ x
ไม่ใช่สมการสำหรับ B . เราเริ่มมีความแตกต่าง ( BS ) และถามว่า XS มีความแตกต่างเหล่านั้น

นี่เป็นทัศนะใหม่ของขวาน D B และพีชคณิตเชิงเส้นมักจะ RST จึงสนใจ B D 0 :


สำหรับเมทริกซ์ ทางออกเดียวที่จะขวาน D 0 X D 0 ที่อาจดูเหมือนอัตโนมัติ แต่มันไม่ใช่a
คำสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น ( เราจะบอกให้รู้ล่วงหน้าถึงความสำคัญของมัน ) อธิบายสถานการณ์นี้ เหล่านี้คอลัมน์เวกเตอร์ A1
A2 , A3 เป็นอิสระ ของพวกเขาการรวมกัน x1a1 C x2a2 C x3a3 เป็นขวาน D 0 เมื่อ x ทุกศูนย์
ย้ายตอนนี้ 0 ความแตกต่าง B1 D 1 B2 D 3 B3 D 5 มีตัวเลือกของ x1 , x2 , x3
ผู้ที่ก่อให้เกิดความแตกต่าง 1 ; 3 ; 5 การแก้สมการทั้งสามเพื่อไปข้างหน้าx 1 ; 4 ; 9 :


ในกรณีนี้ x D 1 ; 4 ; 9 มีความสนใจพิเศษ เมื่อ BS เป็นหมายเลขคี่เพื่อ , XS เป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ
ในการสั่งซื้อ แต่ไม่ได้เป็นทฤษฎีจำนวนพีชคณิตลืมกรณีพิเศษ ! สำหรับ B1 B2 , B3 ,


มีเรียบร้อยสูตรสำหรับ x1 , x2 , x3 :


เฉลยทั่วไปซึ่งรวมถึงตัวอย่างกับ B D 0 ; 0 ; 0 ( เมื่อ x D 0 ; 0 ; 0 )
b D 1 ; 3 ; 5 ( เมื่อ x D 1 ; 4 ; 9 )อีกหนึ่งความเข้าใจจะให้ตัวอย่าง .
เราเริ่มต้นกับรวมกันเชิงเส้นของ A1 , A2 , A3 B แล้ว B จะได้รับประทานและสมการ ( 5 ) ไป
ย้อนหลังจึง ND X เขียนโซลูชั่นที่ 3 ใหม่เวกเตอร์ที่มีการรวมกันให้ X :


อันนี้สวยเพื่อดูผลรวมเมทริกซ์ ในสูตร X สมการ Ax D B แล้ว SB x D .
เมทริกซ์ S " ตรงกันข้าม " ของเมทริกซ์ Aเมทริกซ์แตกต่างคือกลับโดยผลรวมของเมทริกซ์ ซึ่งการเอาความแตกต่างของ X1 ; x2 ; x3 ใหม่เมทริกซ์ S ใช้ผลรวมของ B1 ; B2 ; B3


หมายเหตุ 4 ผมเชื่อว่ามีมูลค่าในการตั้งชื่อเหล่านี้เมทริกซ์ คำว่า " ความแตกต่าง Matrix " และ " ผลรวม
Matrix " บอกวิธีที่พวกเขาทำ มันคือการกระทำของเมทริกซ์ เมื่อเราสร้างและ SB ราคาถูก ขวานและนั่นทำให้พีชคณิตเชิงเส้น
เป็นแบบไดนามิกและสวยงาม
เรื่อง .สัญลักษณ์พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์ผกผันคือ A1
( 1 = ) ดังนั้น S D A1 จึง NDS x จาก B .
ตัวอย่างนี้แสดงวิธีพีชคณิตเชิงเส้นจะขนานกับแคลคูลัส ผลรวมเป็นผกผันของความแตกต่าง การรวม
และผกผันของความแตกต่าง :
หนึ่งเริ่มต้นที่ x.0/ D 0 เหมือนผลรวมเริ่มต้นที่ x0 D

0ตัวอย่าง 2 ตัวอย่างนี้เริ่มต้นด้วยเกือบเดียวกันสามเวกเตอร์เพียงองค์ประกอบหนึ่งที่มีการเปลี่ยนแปลง :


รวมกัน x1c1 C x2c2 C x3c3 อีกครั้งเมทริกซ์การคูณ CX :


กับเวกเตอร์ใหม่ในปีที่สาม คอลัมน์ C เป็นเมทริกซ์แตกต่างเป็นวงกลม " แทน X1 0 เรามี
X1 X3 . ความแตกต่างของ XS " ห่อ " เพื่อให้มาตรฐานใหม่ ทิศทางตรงกันข้าม เริ่มต้นด้วย
B1 B2 ; ;B3 และขอ x1 ; x2 ; x3
.