the transfer function is negative,

the transfer function is negative, and the maximum pendulum displacement is now
smaller than the top’s maximum displacement. At very high driving frequencies
(
 !0), the limit of the transfer function is zero, and the angular amplitude of
the pendulum motion is X0/l: the pendulum mass stays near the equilibrium point,
while the top moves back and forth.
The energy (for small oscillations) is
E =
1
2ml2˙2 +
1
2mgl2 + ml ˙  ˙X +
1
2mV 2
=
1
2ml(l
2 + g)2
0 cos2(
t) + ml
20X0 sin2(
t) +
1
2m
2X2
0 cos2(
t)
=
1
2mX2
0

cos2(
t)

(
2 + !2
0)

2
!2
0 −
2 +
2

+ sin2(
2t)
2
2
!2
0 −
2

and the power absorbed by the system is
dE
dt
= mlV ¨ + m˙R · ¨R
= mlX00
2 sin
t cos
t + mX2
0
2 sin
t cos
t
=
1
2mX2
0
2


2
!2
0 −
2 + 1

sin 2
t
=
1
2mX2
0

2!2
0
!2
0 −
2 sin 2
t
Since dE/dt is periodic with frequency 2
, the system absorbs energy during half of
the cycle of the top motion, and “returns” the energy in the other half. Which half is
which depends on the driving frequency being larger or smaller than the pendulum
energy, i.e., the pendulum moving in phase or out of phase with the support. The peak
power is proportional to a factor X2
0!2
0
2/(!2
0−
2): this is very large near resonance;
small and proportional to X0
2 at low driving frequencies; and independent of driving
frequency at large driving frequencies, / X2
0!2
0.
• Vertical periodic motion: Y = Y0 cos(
t), X = 0.
The equation of motion is −l¨ = l(g− ¨ Y ) sin  = l(g+
2Y0 cos
t) sin . The motion
of the support adds an oscillating component to the gravitational acceleration. This
is not a driven oscillator like the previous case, because the oscillatory driving force
is vertical but the natural oscillatory pendulum motion is horizontal. If Y0
2  g,
we can use a perturbative approach to find a solution starting with the pendulum
solution; if Y0
2  g, we can also use a perturbative approach to find a solution
starting with the driven pendulum solution.
5

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันโอนย้ายเป็นค่าลบ และแทนลูกตุ้มสูงสุดขณะนี้มีขนาดเล็กกว่าด้านบนสูงสุดแทน ที่ความถี่ในการขับขี่สูงมาก( ! 0), จำนวนฟังก์ชันโอนย้ายมาศูนย์ คลื่นแองกูลาร์ของX 0/l:ลูกตุ้มมีการเคลื่อนไหวของลูกตุ้มมวลอยู่ใกล้กับจุดสมดุลในขณะที่ด้านบนเลื่อนไปมาพลังงาน (สำหรับแกว่งเล็ก) เป็นE =12ml 2 ˙2 +12mgl 2 + ml ˙ ˙X +12mV 2=12ml (l2 + g) 2(0 cos2t) + ml2 0X0 sin2 (t) +12 เมตร2 X 2(0 cos2t)=12mX20cos2 (t)(2 + ! 20)2! 20 − 4 เมตร 2+ sin2 (2t)2 2! 20 − 2และพลังงานที่เข้าระบบเดอdt= m˙R + mlV เลขจด· ¨R= mlX0 02 บาปt cost + mX202 บาปt cost=12mX2022! 20 − 2 + 1บาป 2t=12mX202 ! 20! 20 − 2 บาป 2tเนื่องจากเป็นครั้งคราว ด้วยความถี่ 2 dE/dtระบบดูดซับพลังงานในช่วงครึ่งรอบของการเคลื่อนไหวด้านบน และ "กลับ" พลังงานในอีกครึ่งหนึ่ง ครึ่งซึ่งเป็นซึ่งขึ้นอยู่กับความถี่ของการขับจะใหญ่ หรือเล็กกว่าลูกตุ้มพลังงาน เช่น ลูกตุ้มเคลื่อนย้าย ในระยะ หรือขั้นตอนกับการสนับสนุน จุดสูงสุดพลังงานเป็นสัดส่วนกับตัว X 20 ! 202 /(!20−2): นี้มีขนาดใหญ่มากใกล้สั่นพ้องขนาดและสัดส่วน X 02 ที่ความถี่ต่ำขับ อิสระของการขับรถความถี่ที่ความถี่ขับรถขนาดใหญ่, / X 20 ! 20•เคลื่อนไหวเป็นระยะแนวตั้ง: Y = Y0 cos (t) X = 0สมการของการเคลื่อนไหวคือ −l¨ = l (เลขจด g− Y) บาป = l (g +2Y0 cost) ความบาป การเคลื่อนไหวสนับสนุนการเพิ่มคอมโพเนนต์ที่สั่นได้เพื่อเร่งความโน้มถ่วง นี้ไม่ oscillator ซึ่งเหมือนกรณีก่อนหน้านี้ เนื่องจากบังคับยังไง oscillatoryเป็นแนวตั้งแต่ธรรมชาติ oscillatory ลูกตุ้มเคลื่อนไหวเป็นแนวนอน ถ้า Y02 gเราสามารถใช้วิธี perturbative หาทางออกกับลูกตุ้มโซลูชั่น ถ้า Y02 g เรายังสามารถใช้วิธีการ perturbative หาทางออกเริ่มต้น ด้วยโซลูชั่นซึ่งลูกตุ้ม5

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โอนหน้าที่เป็นลบ และการกระจัดสูงสุดตอนนี้ลูกตุ้ม
เล็กกว่าด้านบนสูงสุดของการกระจัด ที่ทำให้ความถี่สูงมาก

 ! 0 ) , ขีด จำกัด ของฟังก์ชันถ่ายโอน คือ ศูนย์ และความกว้างเชิงมุมของ
ลูกตุ้มเคลื่อนไหวเป็น x0 / L : ลูกตุ้มมวลอยู่ใกล้จุดสมดุล ในขณะที่ด้านบน

ย้ายไปมา พลังงาน ( วัดน้อย )
E =
1
2ml2  ˙ 2
1
2mgl  2 ml ˙  ˙ x
1
2mv 2
=
1
2ml ( l
2 g )  2
0 cos2 (
T )
2 +  0x0 sin2+cos2 ( ไซน์ (
t )
1
2
2
0 cos2 (
t )
=
1
2mx2
0

cos2 (
t )

(
2 2
0
2 )

! ! 2
0
− 2
2

 sin2+cos2 ( ไซน์ (
2t )
2
2
! 2
0
2

 −และพลังดูดซึมโดยระบบ


= mlv เดอ DT ตั้ง  M R ด้วย˙ตั้ง R
= mlx0  0
2
t
t cos บาป mx2
0
2 T
T cos บาป

=
1
0
2mx2 
2


2
! 2
0
1
 − 2 = 2
t

บาป 2mx2
0
1

2 2
0
! 2
0
2
− 2 บาปT
ตั้งแต่เดอ / DT เป็นธาตุที่มีความถี่ 2
, ระบบดูดซับพลังงานในช่วงครึ่ง
วงจรของการเคลื่อนไหวด้านบน และ " ผลตอบแทน " พลังงานในครึ่งอื่น ๆ ครึ่งที่
ซึ่งขึ้นอยู่กับความถี่เป็นรถขนาดใหญ่หรือขนาดเล็กกว่าลูกตุ้ม
พลังงาน เช่น ลูกตุ้มเคลื่อนที่ในเฟสหรือระยะที่มีการสนับสนุน ยอด
พลังงานเป็นสัดส่วนกับปัจจัย x2
0 2
0
2 / ( ! − 2
0
2 )นี้เป็นขนาดใหญ่มากใกล้เรโซแนนซ์ ;
ขนาดเล็กและสัดส่วน x0
2 ที่ขับความถี่ต่ำ และความถี่ในการขับรถอิสระ
ความถี่ขนาดใหญ่ / X2
0 2
0
A4 แนวตั้งแบบเคลื่อนไหว : y = y0 cos (
t ) , x = 0
สมการของการเคลื่อนไหวคือ− l ตั้ง  = L ( G −ตั้ง Y ) บาป  = L ( g
2y0 cos
t ) บาป  . การเคลื่อนไหว
ของการสนับสนุนเพิ่มสั่นประกอบกับความเร่งโน้มถ่วง . นี้
ไม่ใช่ขับเคลื่อน Oscillator เหมือนกรณีก่อนหน้านี้ เนื่องจาก
แรงผลักดันลังเลเป็นแนวตั้ง แต่ธรรมชาติเคลื่อนไหวลูกตุ้มลังเลเป็นแนวนอน ถ้า y0
2  G ,
เราสามารถใช้วิธีการ perturbative หาทางเริ่มต้นด้วยลูกตุ้ม
ทางออก ถ้า y0
2  กรัม นอกจากนี้เรายังสามารถใช้วิธีการ perturbative หาทาง
เริ่มต้นด้วยการขับเคลื่อนของลูกตุ้ม
5 โซลูชั่น