4. Relevance of stochastic viabilit

4. Relevance of stochastic viability in time-variant reliability
The relevance of stochastic viability to solve design and main- tenance problems in time-variant reliability is now demonstrated. We use closed-loop feedbacks, so that the control u at date t also depends on information about the system. We will explore how this changes the general design and maintenance problem of
Section 3.2, first in the full information case in Section 4.1, and then in the more general partial information case in Section 4.2. Following that, Section 4.3 presents stochastic viability and the associated stochastic viability kernel, which it relates to the reliability kernel of the problem of Section 4.2. This relationship enables the introduction of dynamic programming to solve that problem, as detailed in Section 4.4. This method also leads to approximations of the outcrossing rate as in Section 4.5.
4.1. Closed-loop feedbacks with full information
Full information means that at date t, we have access to complete knowledge of the state xðt;πÞ, which is a realization of the randomvariable Xðt;πÞ. The existence of closed-loop feedbacks means that the choice of u at date t depends on the state xðt;πÞ. Within a closed-loop formulation, a strategy uðÞ (as introduced in Section 3.2) associates a maintenance decision uðt;xðt;πÞÞ to each date t and state y. Since we are working with realizations rather than with the random vector Xðt;πÞ itself, Eq. (11) becomes xðtþ1;πÞ¼fðt;π;xðt;πÞ;uðt;xðt;πÞÞ;wðtÞÞ ð15Þ where w(t) represents the realization of WðtÞ in Eq. (15). It represents the randomness in updating the state from date t to tþ1, and we also call scenario the sequence wðÞ¼ðwð0Þ; wð1Þ;…;wðT
1ÞÞ. Let us now introduce yðtÞ¼ðxðt;πÞ;πÞ, a vector which aggre- gates the state and design vectors. The framework of so-called stochastic viability theory3 [34,1] focuses on the dynamic of y(t) instead of that of xðt;πÞ. The dynamic (15) becomes yðtþ1Þ¼fðt;yðtÞ;uðt;yðtÞÞ;wðtÞÞ ð16Þ Stochastic viability then calls y(t) the state vector, and closed-loop feedbacks are determined by y(t). Yet, if neither x nor f depend on the design, setting yðtÞ¼xðtÞ puts Eq. (15) under the form of Eq. (16) (see Section 5).
4.2. Closed-loop feedback with partial information In many cases, there is no direct access to the realization xðt;πÞ. In this paper, we assume that this partial information is a realization zðt;πÞ of a known random variable Zðxðt;πÞ;πÞ. Under this assumption, the dynamics of this realization zðt;πÞ can be deduced from that of Xðt;πÞ: zðtþ1;πÞ¼fðt;π;zðt;πÞ;uðt;zðt;πÞÞ;wðtÞÞ ð17Þ where u depends on the vector zðt;πÞ because we still are in the closed-loop feedback case. The full information case of Section 4.1 corresponds to the case P½Zðxðt;πÞ;πÞ¼xðt;πÞ¼1, Then, setting yðtÞ¼ðzðt;πÞ;πÞ yields the same equation as (16): yðtþ1Þ¼fðt;yðtÞ;uðt;yðtÞÞ;wðtÞÞ ð18Þ where y(t) is again called the state of the system from a stochastic viability perspective. Yet again, if z and f do not explicitly depend on π, then using yðtÞ¼zðtÞ turns equation (17) into (16). Working with the dynamics of Eq. (16) only makes sense if the knowledge of yðtÞ¼ðzðt;πÞ;πÞ helps in assessing the reliability of the system. Therefore, in the remainder of this article, we also assume that it is possible to compute the conditional probability PðXðt;πÞASðtÞjyðtÞÞ. This assumption holds in the full information case because then, PðXðt;πÞASðtÞjyðtÞÞ¼1 ifyðtÞ¼ðxðt;πÞ;πÞ where xðt;πÞ is the realization of Xðt;πÞ, and 0 otherwise

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4. ความสำคัญของชีวิตแบบเฟ้นสุ่มในตัวแปรเวลาความน่าเชื่อถือขณะนี้มีแสดงความสำคัญของชีวิตสโทแคสติกการแก้ปัญหาออกแบบและ main tenance ในเวลาแปรความน่าเชื่อถือ เราใช้ปิดรู้สึก ให้ u ควบคุมที่ t วันยังขึ้นอยู่กับรายละเอียดเกี่ยวกับระบบ เราจะสำรวจวิธีนี้เปลี่ยนแปลงทั่วไปออกแบบและบำรุงรักษาปัญหาของส่วนที่ 3.2, first ในกรณีข้อมูลทั้ง ในส่วน 4.1 และ ในกรณีข้อมูลบางส่วนเพิ่มเติมในหัวข้อ 4.2 ต่อที่ ส่วน 4.3 แสดงชีวิตสโทแคสติกและเคอร์เนลชีวิตสัมพันธ์สโทแคสติก ซึ่งเกี่ยวข้องกับเคอร์เนลความน่าเชื่อถือของปัญหาส่วน 4.2 ความสัมพันธ์นี้ช่วยให้การแนะนำของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อแก้ไขปัญหานั้น เป็นรายละเอียดในหัวข้อ 4.4 วิธีการนี้ยังนำไปเพียงการประมาณอัตรา outcrossing ในหัวข้อ 4.54.1 การลูปปิดรู้สึกข้อมูลเต็มข้อมูลทั้งหมดหมายความ ว่า ในวัน t เรามีเข้าไปทำความรู้ xðt รัฐ πÞ ซึ่งเป็นสำนึกของ randomvariable Xðt πÞ มีผลตอบสนองวงปิดหมายความว่าตัวเลือกของคุณในวัน t ขึ้นอยู่กับ xðt รัฐ πÞ ภายในกำหนดเป็นวงปิด Þการ uð กลยุทธ์ (ตามที่แนะนำในหัวข้อ 3.2) ร่วมการบำรุงรักษาการตัดสินใจ uðt; xðt πÞÞไปแต่ละวัน t และสถานะ y เนื่องจากเราทำงานกับ realizations แทนที่ มีการสุ่มเวกเตอร์ Xðt πÞ เอง Eq. (11) กลายเป็น xðtþ1; πÞ¼fðt π xðt πÞ uðt; xðt πÞÞ ð15Þ wðtÞÞ ที่ w(t) แสดงถึงความสำนึกของ WðtÞ ใน Eq. (15) แสดง randomness ในการปรับปรุงสถานะจากวัน t กับ tþ1 และเรายังเรียกสถานการณ์ Þ¼ðwð0Þ wð ลำดับ wð1Þ; ...;wðT 1ÞÞ เราตอนนี้แนะนำ yðtÞ¼ðxðt πÞ πÞ เวกเตอร์ประตู aggre ซึ่งเวกเตอร์รัฐและออกแบบ กรอบของชีวิตเรียกว่าสโทแคสติก theory3 [34,1] เน้นไดนามิกของ y(t) แทนของ xðt πÞ ไดนามิก (15) กลายเป็น yðtþ1Þ¼fðt; yðtÞ; uðt; yðtÞÞ; wðtÞÞ ð16Þ ชีวิตแบบเฟ้นสุ่มแล้วเรียก y(t) เวกเตอร์รัฐ และปิดรู้สึกจะถูกกำหนด โดย y(t) ยัง ถ้าไม่ x หรือ f ขึ้นอยู่กับการออกแบบ การตั้งค่า yðtÞ¼xðtÞ ทำให้ Eq. (15) ภายใต้รูปแบบของ Eq. (16) (ดูหมวดที่ 5)4.2 การลูปปิดผลป้อนกลับข้อมูลบางส่วนในหลายกรณี มีไม่เข้า xðt รับรู้ πÞ ในเอกสารนี้ เราคิดว่า ข้อมูลนี้บางส่วนเป็น zðt รับรู้ πÞของตัวแปรสุ่มชื่อดัง Zðxðt πÞ πÞ ภายใต้สมมติฐานนี้ ของ zðt นี้รับรู้ ได้สามารถมี deduced πÞจาก Xðt πÞ: zðtþ1; πÞ¼fðt π zðt πÞ uðt; zðt πÞÞ ð17Þ wðtÞÞ u ขึ้นอยู่กับ zðt เวกเตอร์ πÞอยู่ เพราะเรายังในกรณีปิดผลตอบรับที่ได้ กรณีข้อมูลทั้งหมดของ 4.1 ส่วนที่สอดคล้องกับ P½Zðxðt กรณี πÞ πÞ¼xðt πÞ ¼1 แล้ว ตั้ง yðtÞ¼ðzðt πÞ πÞทำให้สมการเดียวกัน (16): yðtþ1Þ¼fðt; yðtÞ; uðt; yðtÞÞ; ð18Þ wðtÞÞ ที่ y(t) อีกครั้งเรียกว่าระบบรัฐจากมุมมองชีวิตแบบเฟ้นสุ่ม อีกครั้ง ถ้า z และ f ไม่เกี่ยวข้องกับπ แล้ว ใช้ yðtÞ¼zðtÞ เปลี่ยนสมการ (17) ลงใน (16) ทำงานกับของ Eq. (16) เท่านั้นที่เหมาะสมถ้าความรู้ของ yðtÞ¼ðzðt πÞ πÞช่วยในการประเมินความน่าเชื่อถือของระบบ ดังนั้น ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ เรายังคิดว่า มันจะสามารถคำนวณความน่าเป็นมีเงื่อนไข PðXðt; πÞASðtÞjyðtÞÞ อัสสัมชัญนี้เก็บในกรณีข้อมูลทั้งหมดเนื่องจาก นั้น PðXðt; πÞASðtÞjyðtÞÞ¼1 ifyðtÞ¼ðxðt πÞ πÞที่ xðt πÞถูกสำนึกของ Xðt πÞ และ 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4 . ความเกี่ยวข้องของความมีชีวิต Stochastic ในเวลาตัวแปรความน่าเชื่อถือ
ความเกี่ยวข้องของความมีชีวิต stochastic เพื่อแก้ปัญหาในการออกแบบและหลัก - tenance เวลาตัวแปรความน่าเชื่อถือคือตอนนี้แสดงให้เห็นถึง เราใช้ระบบควบคุมป้อนกลับเพื่อให้ควบคุม U ในวันที่ T ยังขึ้นอยู่กับข้อมูลเกี่ยวกับระบบ เราจะสำรวจวิธีการนี้การเปลี่ยนแปลงการออกแบบทั่วไปและการบำรุงรักษาปัญหา
ส่วน 3.2 ,จึงตัดสินใจเดินทางในกรณีที่ข้อมูลที่ครบถ้วนในส่วนต่างๆ แล้ว ในกรณีทั่วไปข้อมูลบางส่วนในส่วน 4.2 . ตาม มาตรา 4.3 แสดงความมีชีวิต Stochastic และเกี่ยวข้อง Stochastic ความมีชีวิตเมล็ดซึ่งเกี่ยวข้องกับความน่าเชื่อถือเคอร์เนลของปัญหาของมาตรา 4.2 . ความสัมพันธ์นี้จะช่วยให้การแนะนำการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อแก้ปัญหานั้นได้ตามรายละเอียดในส่วน 4.4 . วิธีการนี้ยังนำไปสู่การประมาณของข้ามเท่ากันในส่วน 4.5
4.1 . การตอบสนองที่ปิดวงด้วยข้อมูล
ข้อมูลเต็ม หมายความว่า ณ วันที เราสามารถเข้าถึงความรู้ทั้งหมดของรัฐ x ð t ; πÞซึ่งเป็นที่รับรู้ของ randomvariable x ð t ; πÞ .การดำรงอยู่ของระบบควบคุมป้อนกลับหมายความว่าทางเลือกของคุณที่อาจไม่ได้ขึ้นอยู่กับรัฐ x ð t ; πÞ . ภายในระบบควบคุมการกำหนด กลยุทธ์ คุณð  Þ ( แนะนำว่าเป็นในส่วน 3.2 ) การตัดสินใจร่วมดูแลรักษาð T U ; x ð t ; πÞÞแต่ละวันที่ T และรัฐวาย เพราะเราทำงานกับที่รับรู้มากกว่าที่มีเวกเตอร์สุ่ม X ð t ; πÞตัวเอง อีคิว ( 11 ) จะกลายเป็นð x þ 1 t ; F πÞ¼ð t ; π ; x ð t ; πÞ ; U ð t ;x ð t ; πÞÞ ; w ð T ÞÞð 15 Þที่ W ( T ) หมายถึงการรับรู้ของ W ð T Þในอีคิว ( 15 ) มันหมายถึงการสุ่มในการอัปเดตสถานะจากวันที่ T T þ 1 และเราเรียกสถานการณ์ลำดับ W ð  Þ¼ðÞð 0 W ; W ð 1 Þ ; . . . ; w ð T
1 ÞÞ . ให้เราแนะนำðÞ¼ð x ð Y T T ; πÞ ; πÞ , เวกเตอร์ที่ aggre ประตู - รัฐและการออกแบบเวกเตอร์ กรอบที่เรียกว่า Stochastic และ theory3 [ 341 ] เน้นแบบไดนามิกของ Y ( t ) แทนของ x ð t ; πÞ . แบบไดนามิก ( 15 ) จะกลายเป็น Y ð T þ 1 Þ¼ F ð t ; Y ðÞ T ; U ð t ; Y ð T ÞÞ ; w ð T ÞÞð 16 Þ Stochastic และจากนั้นโทร Y ( t ) รัฐเวกเตอร์ และแบบตอบรับว่า Y ( t ) แต่ถ้าทั้ง x และ f ขึ้นอยู่กับการออกแบบ การð T x T Y Þ¼ðÞทำให้อีคิว ( 15 ) ภายใต้รูปแบบของอีคิว ( 16 ) ( ดูมาตรา 5 )
3 .ความคิดเห็นที่ปิดวงด้วยบางส่วน ข้อมูล ใน หลายกรณี ไม่มีการเข้าถึงโดยตรงเพื่อก่อให้เกิดการ x ð t ; πÞ . ในกระดาษนี้เราถือว่าข้อมูลบางส่วนนี้จะก่อให้เกิดการð z t ; πÞของตัวแปรสุ่ม X หรือ Z ðð t ; πÞ ; πÞ . ภายใต้สมมติฐานนี้ พลวัตของการð z t ; πÞสามารถ deduced จาก X ð T ; T : Z ðπÞþ 1 ; πÞ¼ F ð t ; π ; Z ð t ; πÞð T ; U ; Z ðπÞÞ t ; ;ð T w ÞÞð 17 Þที่ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ Z ð t ; πÞเพราะเรายังคงมีกระแสการตอบรับกรณี ข้อมูลเต็มรูปแบบกรณีมาตรา 4.1 สอดคล้องกับกรณี P ½ Z ð x ð t ; πÞ ; πÞ¼ x ð t ; πÞ  ¼ 1 แล้ว ฉาก Y ð T Þ¼ð Z ð t ; πÞ ; πÞผลผลิตเดิมๆ ( 16 ) : Y ð T þ 1 Þ¼ F ð t ; ðÞ T Y ; U ð t ; Y ð T ÞÞ ; w ð T ÞÞð 18 Þที่ Y ( t ) เป็นอีกครั้งเรียกสถานะของระบบจากมุมมองที่สามารถสุ่มสร้างอีกครั้ง ถ้า Z และ F ไม่อย่างชัดเจนขึ้นอยู่กับπแล้วใช้ð T T Y Þ¼ Z ðÞเปลี่ยนสมการ ( 17 ) ( 16 ) การทำงานกับพลวัตของอีคิว ( 16 ) ทำให้รู้สึกว่า ความรู้ของ Y ð T Þ¼ð Z ð t ; πÞ ; πÞช่วยในการประเมินความเชื่อถือได้ของระบบ ดังนั้น ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ เรายังคิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะคำนวณความน่าจะเป็นเงื่อนไข P ð x ð t ; πÞเป็นð T T Þ JY ðÞÞ .สมมติฐานนี้ถือในกรณีข้อมูลเต็มเพราะ P ð x ð t ; πÞเป็นð T T Þ JY ðÞÞ¼ 1 ify ð T Þ¼ð x ð t ; πÞ ; πÞที่ x ð t ; πÞคือการรับรู้ของ x ð t ; πÞและ 0 มิฉะนั้น