Dedicated to Dr. Katerina Chatzoupo

Dedicated to Dr. Katerina Chatzoupoulon for her support and encouragement.
The Steiner point of a triangle is the point which minimizes the sum of the distances
to each of the three vertices.
The problem of finding such a point was first suggested by P. de Fermat to E. Torricelli.
Torricelli, and others soon after, solved this problem in several ways, e.g., [1,
pp. 21–23] and [2, pp. 323–324, 442, 928, 1261, 1277]. Since then, many mathematicians
have dealt with this problem including G. Lame, M. A. Boutin, J. J. B. Neuberg ´
(see [2, pp. 323–324, 442, 928, 1261, 1277]). But, J. Steiner, besides giving a geometric
construction of S, recognized the immense usefulness of this result in applications
and used it in the construction of distance minimizing trees and graphs. Thus many
authors call this the Steiner point whereas, historically speaking, it is more accurate to
call it the Fermat-Torricelli point.
Steiner gave a geometric construction rather than an analytic solution, not surprising
since the analytic equations describing the location of the point are complicated. This is
an excellent instance where a synthetic geometry approach is more advantageous than
analysis. In contrast, the point that minimizes the sum of the squares of the distances
to the vertices of the triangle is easily proven analytically to be the centroid, i.e., the
common point of the medians. For this problem, a geometric approach is difficult.
Steiner’s geometric result is as follows (e.g., [6, Vol. II, pp. 85–86, 175–182]): If
the triangle has a vertex with angle at least 120◦
, then that vertex is the Steiner point.
Otherwise, if all vertex-angles are less than 120◦
, the Steiner point is the unique interior
point of the triangle such that the angles made at the point (as in the Figure 1) are
all 120◦
. We shall use this to obtain an analytic solution.
In a real world problem, the vertices A, B, and C are factories, towns, etc., that we
seek to connect by roads of minimum total length. Steiner’s result allows us to tell the
asphalt truck exactly where to head. With our formulas, we can also say how much
asphalt will be required to complete the roads.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทุ่มเทกับดร.แคเทอรินา Chatzoupoulon สนับสนุนและให้กำลังใจเธอจุดสไตเนอร์รูปสามเหลี่ยมคือ จุดซึ่งช่วยลดผลรวมของระยะทางแต่ละจุดยอดสามปัญหาการค้นหาเช่นจุดแรกแนะ โดยแฟร์มาเด P. กับ E. TorricelliTorricelli และอื่น ๆ เร็ว ๆ นี้หลังจาก แก้ไขปัญหาหลายวิธี เช่น, [1นำ 21-23] และ [2, 323-324 พีพีอ่าวมาหยา 442, 928, 1261, 1277] หลังจากนั้น mathematicians มากมีจัดการกับปัญหานี้รวมถึงกรัมอ่อนแอ ม.อ. Boutin, J. J. B. Neuberg ´(ดู [2, 323-324 พีพีอ่าวมาหยา 442, 928, 1261, 1277]) แต่ สไตเนอร์เจ นอกจากนี้ให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตก่อสร้างของ S การรับรู้ประโยชน์อันยิ่งใหญ่ของผลลัพธ์นี้ในโปรแกรมประยุกต์และใช้ในการก่อสร้างระยะห่างย่อหน้าต้นไม้และกราฟ ดังมากผู้เขียนเรียกนี้จุดสไตเนอร์ขณะ พูด ประวัติจะถูกต้องมากกว่าการเรียกว่าจุด Torricelli แฟร์มาสไตเนอร์ให้ก่อสร้างรูปทรงเรขาคณิตแทนการสร้างโซลูชั่น ไม่น่าแปลกใจเนื่องจากสมการคู่ที่อธิบายตำแหน่งของจุดที่มีความซับซ้อน นี่คืออินสแตนซ์แห่งที่ประโยชน์มากขึ้นกว่าวิธีสังเคราะห์เรขาคณิตวิเคราะห์ ในความแตกต่าง จุดที่ช่วยลดผลรวมของกำลังสองของระยะทางให้จุดยอดของสามเหลี่ยมจะได้พิสูจน์ analytically เป็น เซนทรอยด์ เช่น การจุดร่วมของ medians สำหรับปัญหานี้ วิธีการเรขาคณิตแบบได้ยากผลรูปทรงเรขาคณิตของสไตเนอร์จะเป็นดังนี้ (เช่น, [6 สอง 85-86 พีพีอ่าวมาหยา 175 – 182]): ถ้าสามเหลี่ยมมีจุดยอด ด้วยมุมน้อย 120◦แล้วที่จุดยอดเป็นจุดสไตเนอร์อื่น ๆ ถ้าจุดยอดมุมทั้งหมดไม่น้อยกว่า 120◦จุดสไตเนอร์อยู่ภายในเฉพาะจุดของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทำจุด (ดังภาพประกอบ 1)120◦ ทั้งหมด. เราจะใช้ได้รับการสร้างโซลูชันในปัญหาโลก จุดยอด A, B และ C คือ โรงงาน เมือง ฯลฯ ที่ค้นหาการเชื่อมต่อ ด้วยถนนความยาวรวมต่ำสุด ผลของสไตเนอร์ช่วยให้เราสามารถแจ้งยางมะตอยรถตรงหัว ด้วยสูตรของเรา เราสามารถยังพูดไรมากยางมะตอยจะต้องทำถนน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทุ่มเทให้กับดร. Katerina Chatzoupoulon ที่ให้การสนับสนุนและให้กำลังใจเธอ. จุดทิของรูปสามเหลี่ยมเป็นจุดซึ่งช่วยลดผลรวมของระยะทางที่ไปแต่ละสามจุด. ปัญหาการหาจุดดังกล่าวที่ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยพีเดอแฟร์มาต์ อี Torricelli. Torricelli และอื่น ๆ หลังจากนั้นไม่นานแก้ปัญหานี้ในหลายวิธีเช่น [1 หน้า 21-23] และ [2 ได้ pp. 323-324, 442, 928, 1261, 1277] ตั้งแต่นั้นมานักคณิตศาสตร์หลายคนได้กระทำกับปัญหานี้รวมทั้งจีแหลม, MA Boutin, JJB Neuberg '(ดู[2 ได้ pp. 323-324, 442, 928, 1261, 1277]) แต่เจสทินอกเหนือจากการให้เรขาคณิตก่อสร้าง S ได้รับการยอมรับประโยชน์อันยิ่งใหญ่ของผลนี้ในการใช้งานและใช้มันในการก่อสร้างระยะต้นไม้ลดและกราฟ ดังนั้นหลายคนที่ผู้เขียนเรียกว่าจุดทิขณะที่ในอดีตพูดก็มีความถูกต้องมากขึ้นที่จะเรียกมันว่าจุดแฟร์มาต์-Torricelli. ทิให้ก่อสร้างทางเรขาคณิตมากกว่าการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ไม่น่าแปลกใจตั้งแต่สมการวิเคราะห์อธิบายตำแหน่งของจุดที่มีซับซ้อน นี่คือตัวอย่างที่ดีที่วิธีการสังเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตที่เป็นประโยชน์มากกว่าการวิเคราะห์ ในทางตรงกันข้ามจุดที่ช่วยลดผลรวมของสี่เหลี่ยมของระยะทางที่จะจุดของรูปสามเหลี่ยมได้รับการพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายวิเคราะห์จะเป็นเซนทรอยด์คือที่จุดร่วมกันของมีเดีย สำหรับปัญหานี้เป็นวิธีการทางเรขาคณิตเป็นเรื่องยาก. ผลเรขาคณิตสทิดังต่อไปนี้ (เช่น [6 ฉบับที่สอง, หน้า 85-86, 175-182..]): ถ้ารูปสามเหลี่ยมที่มีจุดสุดยอดด้วยมุมอย่างน้อย120◦ แล้วจุดที่เป็นจุดทิ. มิฉะนั้นถ้าทุกมุมยอดน้อยกว่า120◦จุดทิคือการตกแต่งภายในที่ไม่ซ้ำกันจุดของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวที่ทำมุมที่จุด(ในรูปที่ 1) มีทั้งหมด120◦ เราจะใช้นี้จะได้รับการแก้ปัญหาการวิเคราะห์. ในปัญหาโลกแห่งความจริงจุด A, B และ C มีโรงงานเมืองอื่น ๆ ที่เราพยายามที่จะเชื่อมต่อด้วยถนนสายความยาวรวมขั้นต่ำ ผลสทิช่วยให้เราสามารถที่จะบอกรถบรรทุกยางมะตอยว่าที่จะมุ่งหน้า ด้วยสูตรของเราเรายังสามารถพูดเท่าไหร่ยางมะตอยจะต้องเสร็จสมบูรณ์ถนน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยเฉพาะ ดร. แคทเธอรีน chatzoupoulon สำหรับการสนับสนุนและให้กำลังใจเธอ
สไตเนอร์จุดของรูปสามเหลี่ยม คือ จุดที่ช่วยลดผลรวมของระยะทาง
กับแต่ละสามจุด .
ปัญหาที่พบดังกล่าวเป็นจุดที่ถูกเสนอโดย เดอ แฟร์มาต์ไป กฎ .
ทอร์ริเชลลี , และคนอื่น ๆ เร็ว ๆนี้หลังจากแก้ไขปัญหานี้ได้หลายวิธี เช่น [ 1
. 21 – 23 ] และ [ 2 , pp . 323 – 324 ,ดังนั้น ผู้ 1261 , , , 814 ] ตั้งแต่นั้นมาหลายนักคณิตศาสตร์
เคยรับมือกับปัญหานี้รวมถึงกรัม ง่อย ม. อ. บูแตน เจ เจ บี นอยเบิร์กใหม่
( ดู [ 2 , pp . 323 – 324 , 442 ผู้ 1261 864 , , , ] ) แต่ เจเนอร์ นอกเหนือจากการให้เรขาคณิต
สร้าง s , ได้รับการยอมรับมากประโยชน์ของผลนี้ในการใช้งาน
และใช้มันในการสร้างระยะทางลดต้นไม้และกราฟ ดังนั้นหลาย
ผู้เขียนเรียกนี้ไม่มีจุด ส่วนในอดีตพูดมันถูกต้องมากขึ้น

เรียกว่ากฎจุดแฟร์มาต์ .
สไตเนอร์ให้ก่อสร้างทางเรขาคณิตมากกว่าโซลูชั่นแบบไม่น่าแปลกใจ
ตั้งแต่วิเคราะห์สมการอธิบายตำแหน่งของจุดที่ค่อนข้างซับซ้อน นี้คือตัวอย่างที่ยอดเยี่ยม
เป็นเรขาคณิตสังเคราะห์แนวทางเป็นประโยชน์กว่า
การวิเคราะห์ในทางตรงกันข้าม , จุดที่ลดผลรวมของกำลังสองของระยะทาง
กับจุดยอดของสามเหลี่ยมจะพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายวิเคราะห์เป็นเซนทรอยด์คือ
จุดสามัญของมีเดีย . สำหรับปัญหานี้ วิธีการดังกล่าวเป็นเรื่องยาก .
ของสไตเนอร์เรขาคณิต ผลเป็นดังนี้ ( เช่น [ 6 , ฉบับที่ 2 , pp . 85 - 86 , 175 – 182 ] ) : ถ้า
รูปสามเหลี่ยมมีจุดยอดมุมอย่างน้อย 120 ◦
,แล้วที่จุดยอดเป็นจุด Steiner .
ถ้ามุมจุดยอดทั้งหมดจะน้อยกว่า 120 ◦
, จุด Steiner เป็นจุดภายใน
เป็นเอกลักษณ์ของสามเหลี่ยมที่มุมที่จุด ( ตามในรูปที่ 1 ) มีทั้งหมด 120 ◦

เราจะใช้มันเพื่อให้ได้โซลูชั่นเชิงวิเคราะห์
ในปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง จุด A , B และ C มี โรงงาน เมือง ฯลฯ ที่เรา
ค้นหา เชื่อมต่อด้วยถนนความยาวรวมต่ำสุด สไตเนอร์ก็ส่งผลให้เราบอก
ยางมะตอยรถตรงที่หัว ด้วยสูตรของเรา นอกจากนี้เรายังสามารถพูดเท่าไหร่
ยางมะตอยจะต้องเสร็จสมบูรณ์ถนน .