on the geometry of m-convex sets in

on the geometry of m-convex sets in the Euclidean space
Introduction
The notion of convexity is essential in both geometry and analysis. So, it has
been generalized in many aspects and different reasons. In this article, we
introduce some generalizations of this concept in En.
F.A. Valentine in [8], proved that for a closed connected 3- convex set A
in En, A is either convex or is starshaped with respect to each of its points
of local non-convexity. But this is not true for a closed connected 4- convex
set. So, it is not generally true for an m- convex set. Also, he proved that
A can be considered as the union of three or less closed convex sets having a
non-empty intersection.
Also, M. Breen in [3], presented a similar decomposition without requiring
the set A to be closed. It is proved in this article that, a 3- convex set A in En
is expressible as the union of at most two maximal subsets having a non-empty
intersection ( kernel of A ).
The notion of radial contraction is considered. M. Beltagy and S. Shenawy
in [2], proved that for a non-empty subset A of En, p ∈ En, and λ ∈ (0, 1),
then A is convex if and only if Cλ
p (A) is. It is proved in this article that, A is
an m- convex set if and only if Cλ
p (A) is. We introduce also the concept of maffinity,
and proved that Cp(A) is an m- affine set if A is an m- affine set.
Also, we take in consideration some geometrical and topological properties
for m- convex sets such as the union of two m- convex sets, the intersection of
a 2- convex set and an m- convex set, and the extreme points of an m- convex
set. For more properties of m- convex sets, see [4, 5].
2 Notations and Definitions
Let x, y be in A. The closed segment joining x and y is denoted by [xy] where
(xy) = [xy] {x, y} denotes the open segment joining x and y. The straight
line determined by x and y is denoted by L(x → y).
We say that x sees y via A if and only if [xy] is contained in A [2, 3, 5].



3 The Results
In this section we present the main results of this paper, and we begin with
the following propositions.
Proposition 3.1 Let A be an m- convex subset in En. Then A is an
(m + k)- convex set for every positive integer k.
Examples can be found to show that the converse is not generally true.
Proposition 3.2 The union of an m- convex set and a convex set is at
most (m + 1)- convex set. Also, their intersection is an m- convex set.
Proof. Let A be an m- convex set, and B be a 2- convex set. First, consider



A is



m-Closed Sets in Topological Spaces

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในเรขาคณิตชุด m นูนในพื้นที่ Euclideanแนะนำแนวคิดของ convexity เป็นสิ่งจำเป็นในทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์ ดังนั้น จึงมีการตั้งที่ค่าทั่วไปในหลายแง่มุมและเหตุผลต่าง ๆ ในบทความนี้ เราแนะนำบาง generalizations ของแนวคิดนี้ในน้ำวันวาเลนไทน์หลังการเก็บเกี่ยวใน [8], พิสูจน์ว่า สำหรับการปิดการเชื่อมต่อ 3-นูนตั้ง Aในน้ำ เป็นทั้งนูน หรือเป็น starshaped กับคะแนนของแต่ละของไม่ใช่ท้องถิ่น-convexity แต่นี้ไม่เป็นความจริงสำหรับปิดเชื่อมต่อ 4 แบบนูนตั้งค่า ดังนั้น มันไม่ใช่จริงโดยทั่วไปเป็น m - นูนชุด นอกจากนี้ เขาได้ที่A จะถือว่าเป็นสหภาพของสาม หรือน้อยปิดนูนชุดมีการไม่ว่างตัดยัง บรีนม.ใน [3], แสดงการแยกส่วนประกอบที่คล้ายกันโดยชุด A ถูกปิด มันเป็นเครื่องพิสูจน์ในบทความนี้ว่า 3 แบบนูนตั้งน้ำในจะเป็นสหภาพของมากที่สุดสองสูงสุดชุดย่อยมีการไม่ว่าง expressibleสี่แยก (เคอร์เนลของ A)ถือว่าเป็นแนวคิดของการหดตัวของรัศมี M. Beltagy และ Shenawy s ได้ใน [2], พิสูจน์ที่สำหรับย่อยไม่ว่าง A En, p ∈ En และλ∈ (0, 1),แล้วคือ ถ้านูนและเฉพาะ Cλp (A) ได้ มันเป็นเครื่องพิสูจน์ในบทความนี้ว่า เป็นm - นูนชุดถ้าและเฉพาะในกรณี Cλp (A) ได้ เราแนะนำนอกจากนี้แนวคิดของ maffinityและพิสูจน์ว่า Cp(A) m - affine ตั้งหากคือ ตัว m affine ชุดเราใช้เวลาในการพิจารณาคุณสมบัติบาง topological และ geometricalสำหรับ m - นูนชุดเช่นสหภาพ 2 m - ชุดนูน สี่แยก2 แบบชุดนูน และมี m - นูนชุด และคะแนนมากเป็น m-นูนตั้งค่า คุณสมบัติเพิ่มเติมของ m - นูนชุด ดู [4, 5]ข้อกำหนดและฯลฯ 2ให้ x, y อยู่ในอ. ปิดเมนต์เข้าร่วม x และ y สามารถระบุ โดย [xy] ที่(xy) = [xy] {x, y } แสดงเซ็กเมนต์เปิดเข้าร่วม x และ y ตรงบรรทัดที่กำหนด โดย x และ y สามารถระบุ โดย L (x → y)เราบอกว่า x เห็น y ผ่าน A ถ้าและเฉพาะถ้า [xy] อยู่ใน A [2, 3, 5]3 ผลในส่วนนี้ เรานำเสนอผลลัพธ์หลักของเอกสารนี้ และเราเริ่มต้นด้วยขั้นต่อไปนี้เสนอ 3.1 A ให้เป็น m - นูนย่อยในน้ำได้ จาก นั้นเป็นการ(m + k) - นูนตั้ง k ทุกจำนวนเต็มบวกสามารถพบตัวอย่างเพื่อแสดงว่า ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไปที่ตรงกันข้ามข้อเสนอเป็น m - นูนชุดและชุดนูนอยู่ที่ 3.2มากที่สุด (m + 1) - นูนตั้ง ยัง สี่แยกของพวกเขาจะเป็น m - นูนชุดหลักฐานการ ให้ A เป็นตัว m - นูนชุด และ B 2 แบบนูนตั้ง พิจารณาก่อนคือ ชุดปิด m ในช่องว่างที่ Topological

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในเรขาคณิตชุดเมตรนูนในพื้นที่ยุคลิดบทนำความคิดของนูนเป็นสิ่งจำเป็นทั้งในรูปทรงเรขาคณิตและการวิเคราะห์ ดังนั้นจึงได้รับการทั่วไปในหลาย ๆ ด้านและเหตุผลที่แตกต่าง ในบทความนี้เราแนะนำภาพรวมบางส่วนของแนวคิด En. นี้เอฟเอวาเลนไทน์[8] ได้รับการพิสูจน์ว่าสำหรับการปิดการเชื่อมต่อ 3 ชุดนูนในตัว, เป็นทั้งนูนหรือ starshaped ด้วยความเคารพในแต่ละจุดของของในท้องถิ่นที่ไม่นูน แต่นี้ไม่เป็นความจริงสำหรับปิดการเชื่อมต่อ 4 นูนชุด ดังนั้นจึงเป็นไม่ได้โดยทั่วไปจริงสำหรับชุดนูน m- นอกจากนี้เขาพิสูจน์ให้เห็นว่าสามารถถือได้ว่าเป็นสหภาพของสามหรือน้อยกว่าชุดนูนปิดที่มีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า. นอกจากนี้เอ็มบรีนใน [3] นำเสนอการสลายตัวที่คล้ายกันโดยไม่ต้องมีการตั้งค่าที่จะถูกปิด ได้พิสูจน์ให้เห็นในบทความนี้ว่าเป็น 3 ชุดนูนในตัวเป็นแสดงออกเป็นสหภาพของที่มากที่สุดสองส่วนย่อยสูงสุดมีไม่ว่างเปล่าแยก(เคอร์เนลของ A). ความคิดของการหดตัวรัศมีถือว่า เอ็มเอสและ Beltagy Shenawy ใน [2] ได้รับการพิสูจน์ว่าไม่ใช่- ย่อยที่ว่างเปล่าของตัวพี∈ตัว, และλ∈ (0, 1) แล้วเป็นนูนถ้าหาก C λพี (A ) คือ. ได้พิสูจน์ให้เห็นในบทความนี้ว่าเป็นเอ็ม- ชุดนูนถ้าหาก C λพี (A) คือ เราแนะนำยังแนวคิดของ maffinity ที่และพิสูจน์ให้เห็นว่าซีพี(A) เป็นชุดเลียนแบบ m- ถ้าเป็นชุดเลียนแบบ m-. นอกจากนี้เรายังใช้เวลาในการพิจารณาคุณสมบัติบางเรขาคณิตและทอพอโลยีสำหรับชุดนูน m- เช่นสหภาพ ของสองชุดนูน m-, จุดตัดของ 2- ชุดนูนและชุดนูน m- และจุดที่สูงที่สุดของนูน m- ชุด สำหรับคุณสมบัติอื่น ๆ ของชุดนูน m- ให้ดู [4, 5]. 2 สัญลักษณ์และคำนิยามให้x, y จะอยู่ในเอส่วนการเข้าร่วมปิด x และ y จะเขียนแทนด้วย [เซ็กซี่] ที่(เซ็กซี่) = [เซ็กซี่] {x, y} หมายถึงส่วนที่เปิดให้บริการมาร่วมงานกับ x และ y ตรงสายที่กำหนดโดย x และ y จะเขียนแทนด้วย L (x → y). เราบอกว่า x เห็น y ที่ผ่านถ้าหาก [เซ็กซี่] มีอยู่ใน [2, 3, 5]. 3 ผลในเรื่องนี้ส่วนที่เรานำเสนอผลหลักของบทความนี้และเราเริ่มต้นด้วยข้อเสนอดังต่อไปนี้. ข้อเสนอ 3.1 ให้ A เป็นเซตนูน m- ในตัว แล้วเป็น(m + k) -. ชุดนูนทุกจำนวนเต็มบวก k ตัวอย่างสามารถพบได้แสดงให้เห็นว่าการสนทนาไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป. โจทย์ 3.2 สหภาพของชุดนูน m- และชุดนูนที่มากที่สุด( m + 1) - ชุดนูน นอกจากนี้พวกเขาแยกเป็นชุดนูน m-. หลักฐาน ให้ A เป็นชุดนูน m- และ B เป็น 2 ชุดนูน ก่อนพิจารณาเป็น? มปิดการตั้งค่าในช่องว่าง topological

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในเรขาคณิตของชุด m-convex ในใช้พื้นที่

ความคิดเบื้องต้นของนูนเป็นสิ่งจำเป็นทั้งในเรขาคณิตและการวิเคราะห์ ดังนั้น มันมี
อยู่ทั่วไปในหลายด้าน และเหตุผลที่แตกต่างกัน ในบทความนี้เรา
แนะนำทั่วไปของแนวคิดนี้ใน a .
บ. วาเลนไทน์ใน [ 8 ] , พิสูจน์แล้วว่าให้ปิดการเชื่อมต่อ - ตั้งค่า
ใน EN นูนเป็นทั้งนูน หรือเป็น starshaped เกี่ยวกับแต่ละของจุด
ของนูนบนท้องถิ่น แต่นี้ไม่เป็นความจริงสำหรับปิดการเชื่อมต่อ 4 - นูน
ชุด ดังนั้น มันไม่ได้เป็นโดยทั่วไปจะเป็นจริงสำหรับ M - นูนตั้ง เขายังได้พิสูจน์ว่า การที่ถือได้ว่าเป็นสหภาพของสามหรือน้อยกว่าปิดนูนชุดมี

ยังไม่ว่าง สี่แยก ม. บรีนใน [ 3 ]เสนอการย่อยสลายคล้ายกันโดยไม่ต้อง
กำหนดที่จะปิด มันพิสูจน์ให้เห็นในบทความนี้ , 3 - เซตนูนใน en
เป็น expressible เป็นสหภาพของมากที่สุดสองสูงสุดจากมีไม่ว่าง
แยก ( เคอร์เนลของ )
ความคิดของรัศมีหดตัว ถือว่า เมตร beltagy และ S . shenawy
[ 2 ] พิสูจน์ว่าไม่ว่างย่อยของ a , P ∈ en และλ∈ ( 0 , 1 ) ,