a.& There are two possibilities: ei

a.& There are two possibilities: either a≥b or a<b.
1) max(a,b)=1/2 (a+b+|a-b|)
& If a≥b then (a-b)≥0 and thus |a-b|=(a-b). Let us see at the desired equality:

1/2 (a+b+|a-b|)=1/2 (a+b+(a-b))=1/2 (a+b+a-b)=1/2∙2a=a

On the other hand max(a,b)=a, because a≥b.
Now let’s check second case: a<b.

If a<b then (a-b)<0 and thus |a-b|=-(a-b)=(b-a). Let us look at the desired equality:

1/2 (a+b+|a-b|)=1/2 (a+b+(b-a))=1/2 (a+b+b-a)=1/2∙2b=b

On the other hand max(a,b)=b, because a<b.
So we’ve checked the equality for both cases, thus max(a,b)=1/2 (a+b+|a-b|) for any real numbers a,b ∈ R.

2)& min(a,b)=1/2 (a+b-|a-b|)
For second equality we can make almost the same proof.
If a≥b then (a-b)≥0 and thus |a-b|=(a-b). Let us see at the desired equality:

1/2 (a+b-|a-b|)=1/2 (a+b-(a-b))=1/2 (a+b-a+b)=1/2∙2b=b

On the other hand min(a,b)=b, because a≥b.
Now let’s check second case: a<b.
If a<b then (a-b)<0 and thus |a-b|=-(a-b)=(b-a). Let us look at the desired equality:

1/2 (a+b-|a-b|)=1/2 (a+b-(b-a))=1/2 (a+b-b+a)=1/2∙2a=a
On the other hand min (a,b) = a,& because a<b.
So we’ve checked the equality for both cases, thus min(a,b)=1/2 (a+b-|a-b|) for any real numbers a,b∈R.

b. min(a,b,c)=min(min(a,b),c)
Analogical to the part a. we can divide the problem into three cases:

1) If min(a,b,c)=a, then the left side of the equality is a. This means a≤b and at the same time a≤c. Let’s look at the right side:
min(a,b)=a, because a≤b. Then min(min(a,b),c)=min(a,c)=a, because a≤c. Thus the right side of the equality is a too.

2) If min(a,b,c)=b then the left side of the equality is b. In this case the proof is absolutely the same, just write a instead of b and write b instead of a. So b≤a and at the same time b≤c. Let’s look at the right side:
min(a,b)=b, because b≤a. Then min(min(a,b),c)=min(b,c)=b, because b≤c. Thus the right side of the equality is b too.

3) If min(a,b,c)=c then the left side of the equality is c. This means c≤a and at the same time c≤b. Then not knowing what is min(a,b) (it may be either a or b) we can conclude that c≤min(a,b), thus min(min(a,b),c)=c.

So we’ve checked the equality for each case and thus min(a,b,c)=min(min(a,b),c) is true for any real numbers a,b,c ∈ R.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

a. และมีอยู่สองทาง: a≥b ใดหรือ < b1) max(a,b) = 1/2 (+ บี + |a-b|)และถ้า ≥0 a≥b แล้ว (a-b) และ |a-b|=(a-b) ดังนั้น ให้เราดูที่ความเสมอภาคต้อง:1/2 (+ บี + |a-b|) = 1/2 (a+b+(a-b)) = 1/2 (+ b + a b) = 1/2∙2a =การในทางกลับกันสูงสุด (a, b) = a เนื่องจาก a≥bตอนนี้ลองตรวจสอบกรณีที่สอง: เป็น < bถ้าเป็น < b แล้ว (a b) < 0 และ |a-b|=-(a-b)=(b-a) ให้เราดูที่ความเสมอภาคต้อง:1/2 (+ บี + |a-b|) = 1/2 (a+b+(b-a)) = 1/2 (+ b + b-a) = 1/2∙2b = bในทางกลับกันสูงสุด (a, b) = b เนื่องจากเป็น < bเพื่อให้เราตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับทั้งสองกรณี สูงสุดดังนั้น (a, b) = 1/2 (+ บี + |a-b|) สำหรับทุกจำนวนจริง a, b ∈อาร์2) และต่ำสุด (a, b) = 1/2 (+ b-|a-b|)สำหรับความเสมอภาคที่สอง เราสามารถทำให้หลักฐานที่เดียวกันถ้า a≥b แล้ว (a b) ≥0 และ |a-b|=(a-b) ดังนั้น ให้เราดูที่ความเสมอภาคต้อง:1/2 (+ b-|a-b|) = 1/2 (a+b-(a-b)) = 1/2 (บี + - + b) = 1/2∙2b = bในอื่น ๆ มือนาที (a, b) = b เนื่องจาก a≥bตอนนี้ลองตรวจสอบกรณีที่สอง: เป็น < bถ้าเป็น < b แล้ว (a b) < 0 และ |a-b|=-(a-b)=(b-a) ให้เราดูที่ความเสมอภาคต้อง:1/2 (+ b-|a-b|) = 1/2 (a+b-(b-a)) = 1/2 (+ บีบี + การ) = 1/2∙2a =การในอื่น ๆ มือนาที (a, b) = a และเนื่องจากเป็น < bเพื่อให้เราตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับทั้งสองกรณี นาทีดังนั้น (a, b) = 1/2 (+ b-|a-b|) สำหรับทุกจำนวนจริง a, b∈Rเกิด min(a,b,c)=min(min(a,b),c)Analogical กับอ.ส่วนเราสามารถแบ่งปัญหากรณีที่สาม:1) ถ้านาที (a, b, c) =ซ้ายเป็น แล้วในด้านความเสมอภาคเป็นการ หมายถึง a≤b และ a≤c ในเวลาเดียวกัน ลองดูที่ด้านขวา:นาที (a, b) = a เนื่องจาก a≤b จาก นั้นนาที (min (a, b), c) = min (a, c) = a เนื่องจาก a≤c ดังนั้น ด้านขวาของความเสมอภาคเป็นการเกินไป2 ถ้านาที (a, b, c) = b แล้ว b เป็นด้านซ้ายของความเสมอภาค ในกรณีนี้ หลักฐานเป็นอย่างเดียวกัน เขียนเป็น b และ b เขียนแทนแทน ดังนั้น b≤a และ b≤c ในเวลาเดียวกัน ลองดูที่ด้านขวา:นาที (a, b) = b เนื่องจาก b≤a จาก นั้นนาที (min (a, b), c) = min (b, c) = b เนื่องจาก b≤c ดังนั้น ด้านขวาของความเสมอภาคได้ b มากเกินไป3) ถ้าต่ำสุด (a, b, c) = c แล้ว c เป็นด้านซ้ายของความเสมอภาคกัน หมายถึง c≤a และ c≤b ในเวลาเดียวกัน แล้ว ไม่ทราบว่า min(a,b) คืออะไร (อาจทั้งเป็น หรือ b) เราสามารถสรุปว่า c≤min(a,b) ดังนั้นนาที (min (a, b), c) = c ได้ดังนั้น เราได้ตรวจสอบความเท่าเทียมกันในแต่ละกรณี และจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนจริงใด ๆ a, b, c ∈ R. min(a,b,c)=min(min(a,b),c)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

. ก. และมีความเป็นไปได้สอง: ทั้งa≥bหรือ <b
1) max (A, B) = 1/2 (A + B + | AB |)
และหากa≥bแล้ว (AB) ≥0และทำให้ | AB | = (AB) ให้เราดูที่ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ: 1/2 (A + B + | AB |) = 1/2 (A + B + (AB)) = 1/2 (A + B + AB) = 1/2 ∙ 2a = a บนมืออื่น ๆ สูงสุด (A, B) = เพราะa≥b. ตอนนี้ขอให้ตรวจสอบกรณีที่สอง:. <b ถ้า <b แล้ว (AB) <0 และทำให้ | AB | = - (AB) = ( บริติชแอร์เวย์) ให้เราดูที่ความเสมอภาคที่ต้องการ: 1/2 (A + B + | AB |) = 1/2 (A + B + (BA)) = 1/2 (A + B + บา) = 1/2 ∙ 2b = b . ในแม็กซ์มืออื่น ๆ (A, B) = ขเพราะ <b ดังนั้นเราจึงได้มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับทั้งสองกรณีจึง max (A, B) = 1/2 (A + B + | AB |) สำหรับการใด ๆ ตัวเลขจริงมี b ∈อาร์2) และนาที (A, B) = 1/2 (ก + B- | AB |). สำหรับความเสมอภาคที่สองที่เราสามารถทำให้เกือบหลักฐานเดียวกันหากa≥bแล้ว (AB) ≥ และทำให้ 0 | AB | = (AB) ให้เราดูที่ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ: 1/2 (ก + B- | AB |) = 1/2 (ก + B- (AB)) = 1/2 (A + B-A + B) = 1/2 ∙ 2b = b ในนาทีมืออื่น ๆ (A, B) = ขเพราะa≥b. ตอนนี้ขอให้ตรวจสอบกรณีที่สอง:. <b ถ้า <b แล้ว (AB) <0 และทำให้ | AB | = - ( AB) = (BA) ให้เราดูที่ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ: 1/2 (ก + B- | AB |) = 2/1 (ก + B- (BA)) = 1/2 (A + B-B + A) = 1/2 ∙ 2a = a ในนาทีมืออื่น ๆ (A, B) = หนึ่งและเพราะ <b. ดังนั้นเราจึงได้มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับทั้งสองกรณีจึงนาที (A, B) = 1/2 (ก + B- | AB |.) สำหรับจำนวนจริงใด ๆ b∈Rข นาที (A, B, C) ​​= นาที (นาที (A, B) ค) กระเชอไปส่วนหนึ่ง เราสามารถแบ่งปัญหาออกเป็นสามกรณี: 1) หากนาที (A, B, C) ​​= แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาคเป็น ซึ่งหมายความa≤bและในเวลาเดียวกันa≤c ลองดูที่ด้านขวา: นาที (A, B) = เพราะa≤b จากนั้นนาที (นาที (A, B), C) = นาที (A, C) = เพราะa≤c ดังนั้นทางด้านขวาของความเสมอภาคเป็นเกินไป. 2) หากนาที (b, c) = b แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาคเป็นข ในกรณีนี้หลักฐานเป็นอย่างเดียวกันเพียงแค่เขียนแทนขและเขียนขแทน ดังนั้นb≤aและในเวลาเดียวกันb≤c ลองดูที่ด้านขวา: นาที (A, B) = ขเพราะb≤a จากนั้นนาที (นาที (A, B), C) = นาที (B, C) ​​= b เพราะb≤c ดังนั้นทางด้านขวาของความเสมอภาคเป็น b เกินไป. 3) หากนาที (b, c) = c แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาคคือ c ซึ่งหมายความc≤aและในเวลาเดียวกันc≤b แล้วไม่ทราบว่าสิ่งที่เป็นนาที (A, B) (มันอาจจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือข) เราสามารถสรุปได้ว่าc≤min (A, B) จึงนาที (นาที (A, B) ค) = c. ดังนั้นเราจึง 'ได้มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับแต่ละกรณีจึงนาที (A, B, C) ​​= นาที (นาที (A, B) ค) เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงใด ๆ b, c ∈อาร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . &มีความเป็นไปได้สอง : ทั้ง& GE ; B หรือ& lt ; B .
1 ) แม็กซ์ ( a , b ) = 1 / 2 ( B | A-B | )
&ถ้า& GE ; B ( A-B ) & GE ; 0 จึง | A-B | = ( A-B ) . ให้เราดูที่ที่ต้องการความเสมอภาค :

1 / 2 ( B | A-B | ) = 1 / 2 ( B ( AB ) = 1 / 2 ( A B AB ) = 1 / 2 ∙ 2A =

ในทางกลับกันแม็กซ์ ( a , b ) = เพราะว่า เป็น& GE ; B .
ตอนนี้ให้&ในเรื่อง lsquo ; ตรวจสอบคดีที่สอง : & lt ; B .

ถ้า& lt ; B ( A-B ) & lt ; 0 จึง | A-B | = - ( AB ) = ( " 141 " BA )ให้เราดูที่ที่ต้องการความเสมอภาค :

1 / 2 ( B | A-B | ) = 1 / 2 ( B ( " 141 " BA ) = 1 / 2 ( B " 141 " BA ) = 1 / 2 ∙ 2B = B

ในทางกลับกันแม็กซ์ ( a , b ) = B , เพราะ เป็น& lt ; B .
ดังนั้นเรา&การศึกษา ; และตรวจสอบความเท่าเทียมกันทั้ง 2 กรณี ดังนั้นแม็กซ์ ( a , b ) = 1 / 2 ( B | A-B | ) สำหรับตัวเลขจริง A , B &อยู่ ; R .

2 ) &มิน ( a , b ) = 1 / 2 ( B - | A-B | )
2 ความเสมอภาค เราสามารถทำให้เกือบเดียวกันพิสูจน์ .
ถ้า& GE ; B ( A-B ) & GE ; 0 จึง | A-B | = ( A-B )ให้เราดูที่ที่ต้องการความเสมอภาค :

1 / 2 ( B - | A-B | ) = 1 / 2 ( B - ( AB ) = 1 / 2 ( " 141 " BA B ) = 1 / 2 ∙ 2B = B

บนมืออื่น ๆมิน ( a , b ) = b เพราะ& GE ; B .
ตอนนี้ให้&ในเรื่อง lsquo ; ตรวจสอบคดีที่สอง : & lt ; B .
ถ้า& lt ; B ( A-B ) & lt ; 0 จึง | A-B | = - ( AB ) = ( " 141 " BA ) ให้เราดูที่ที่ต้องการความเสมอภาค :

1 / 2 ( B - | A-B | ) = 1 / 2 ( B - ( " 141 " BA ) = 1 / 2 ( b-b ) = 1 / 2 ∙ 2A =
ในทางกลับกันมิน ( a , b ) = A &เพราะ& lt ; B .
ดังนั้นเรา&การศึกษา ; และตรวจสอบความเท่าเทียมกันทั้ง 2 กรณี จึง มิน ( a , b ) = 1 / 2 ( B - | A-B | ) สำหรับตัวเลขจริง A , B &อยู่

; R . B . มิน ( A , B , C ) = มิน ( มิน ( A , B ) c )
เล่มกับส่วน A เราสามารถแบ่งปัญหาออกเป็น 3 กรณีคือ 1 ) ถ้ามิน

( a , b , c ) = แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาคคือ ซึ่งหมายความว่า &เลอ ; B และในเวลาเดียวกัน&เลอ ; c ให้&ในเรื่อง lsquo ; ดูด้านขวา :
มิน ( a , b ) = เพราะ&เลอ ; Bแล้วมิน ( มิน ( A , B , C ) = มิน ( , c ) = เพราะ&เลอ ; C . ดังนั้น ทางฝั่งขวาของความเสมอภาคเป็นเหมือนกัน

2 ) ถ้ามิน ( a , b , c ) = B แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาค บี ใน คดีนี้หลักฐานเป็นอย่างเดียวกัน แค่เขียนแทน B และ B A ดังนั้น B เขียนแทน&เลอ ; และในเวลาเดียวกัน B &เลอ ; c ให้&ในเรื่อง lsquo ; s ดูที่ด้านขวา :
มิน ( a , b ) = บี เพราะบี&เลอ ; A แล้วมิน ( มิน ( A , B , C ) = มิน ( B , C ) = Bเพราะ B &เลอ ; C . ดังนั้น ทางฝั่งขวาของความเท่าเทียมกันด้วย

3 ) ถ้ามิน ( A , B , C = C แล้วด้านซ้ายของความเสมอภาคคือ C หมายถึง C &เลอ ; และในเวลาเดียวกัน C &เลอ ; B . แล้วไม่รู้ว่าอะไรคือมิน ( A , B ) ( อาจจะให้ A หรือ B ) เราสามารถสรุปได้ว่า C &เลอ ; มิน ( A , B ) ดังนั้น มิน ( มิน ( A , B ) , C = C .

ดังนั้นเรา&การศึกษา ; และตรวจสอบความเท่าเทียมกันในแต่ละกรณี และดังนั้นจึง มิน ( b , มินมิน ( , c ) = ( a , b )c ) เป็นจริงสำหรับตัวเลขจริง A , B , C &อยู่ ; R