vThese notes are copyrighted by Bar

vThese notes are copyrighted by Barry Dayton, 2002. The PDF files are freely available on
the web and may be copied into your hard drive or other suitable electronic storage devices.
These files may be shared or distributed. Single copies may be printed for personal use but
must list the website www.neiu.edu/˜bhdayton/theq/ on the title page along with
this paragraph.
“Maple” and “MAPLE” represent registered trademarks of Waterloo Maple Inc.
Chapter 4
Ancient and Modern Algebra
T HE EXACT SOLUTION OF P OLYNOMIAL E QUATIONS
In this chapter we turn our attention to exact solutions of polynomial equations.
The Babylonians used tables of values of n
3
+ n to find numerical solutions of easy
cubic equations, however the Greeks around the time of Euclid became obsessed with
exactness. Largely due to the dominant influence of Euclid’s Elements there was a
great interest in exact solutions up to the proof by Abel and Galois of the impossibility
of such solutions in general. In the first few sections of this chapter we review some of
the history of exact solutions. A good overview of this history is included in B.L van
der Waerden’s A History of Algebra.
4.1 Solutions of Quadratic Equations
Although Euclid, in keeping with the philosophy of his time, rejected all numbers
he still indirectly considered quadratic equations. His version of the solution of the
quadratic equation ax + x
2
= b
2
is the geometric theorem:
If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight
line, the rectangle contained by the whole (with the added straight line) and
the added straight line together with the square on the half is equal to the
square on the straight line made up of the half and the added straight line.
Essentially this is completing the square

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุ vThese เป็นลิขสิทธิ์ โดย Barry เดย์ตัน 2002 ไฟล์ PDF มีอิสระ
เว็บ และอาจถูกคัดลอกลงฮาร์ดดิสก์หรืออุปกรณ์จัดเก็บข้อมูลทางอิเล็กทรอนิกส์ที่เหมาะสมอื่น ๆ ได้
แฟ้มเหล่านี้อาจใช้ร่วมกัน หรือการแจกจ่ายได้ อาจจะพิมพ์สำเนาเดียวสำหรับใช้ส่วนบุคคล แต่
ต้องรายการ www.neiu.edu/ เว็บไซต์ ˜bhdayton/theq/หน้า ชื่อพลอย
ย่อหน้านี้ได้
"เมเปิ้ล" และ "เมเปิ้ล" แสดงเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของวอเตอร์ลูเปิ้ล อิงค์
4 บท
โบราณและพีชคณิตสมัย
T เขาแน่นอนโซลูชันของ P OLYNOMIAL E QUATIONS
ในบทนี้ เราหันเหความสนใจไปแก้ปัญหาที่แน่นอนของพหุนามสมการ
Babylonians ที่ใช้ตารางค่าของ n
3
n เพื่อค้นหาคำตอบเป็นตัวเลขของง่าย
สมการลูกบาศก์ แต่ กรีกรอบเวลาของยุคลิดเป็นหลังด้วย
ไป ส่วนใหญ่เนื่องจากอิทธิพลหลักขององค์ประกอบของยุคลิด มีการ
ในโซลูชั่นที่แน่นอนได้พิสูจน์โดย Abel Galois ของที่เป็นไปได้ทำ
โซลูชั่นดังกล่าวโดยทั่วไป ในสามส่วนแรกของบทนี้ เราทบทวนบาง
ประวัติของโซลูชั่นที่แน่นอน ภาพรวมดีประวัติเหล่านี้จะรวมอยู่ในตู้ B.L
der Waerden A ประวัติของพีชคณิต
4.1 แก้ปัญหาสมการกำลังสอง
แม้ว่ายุคลิด เน้นปรัชญาของเวลา ปฏิเสธตัวเลขทั้งหมด
เขายังอ้อมถือว่าสมการกำลังสอง โซลูชันของรุ่นของเขา
สมการกำลังสอง ax x
2
= b
2
เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต:
ถ้าเป็น bisected เป็นเส้นตรง และเส้นตรงจะเพิ่มลงในตรง
บรรทัด สี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ทั้งหมด (มีเพิ่มเส้นตรง) และ
เส้นเพิ่มกับสแควร์บนครึ่งตัวจะเท่ากับ
สแควร์บนเส้นตรงที่สร้างขึ้นในครึ่ง แล้วการเพิ่มตรงบรรทัด
หลักนี้เป็นสองสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

vthese บันทึกที่มีลิขสิทธิ์โดย แบรี่ เดย์ตัน ปี 2002 ไฟล์ PDF เป็นอิสระที่มีอยู่บน
เว็บและอาจจะถูกคัดลอกลงในฮาร์ดดิสก์ของคุณหรืออุปกรณ์จัดเก็บข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์ที่เหมาะสมอื่น ๆไฟล์เหล่านี้อาจจะใช้ร่วมกัน
หรือกระจาย ชุดเดียวอาจจะพิมพ์สำหรับใช้ส่วนบุคคลแต่
ต้องมีรายชื่อเว็บไซต์ www.neiu . edu / ˜ bhdayton / TheQ / บนหน้าชื่อเรื่องพร้อมกับ

วรรคนี้" เมเปิ้ล " และ " เมเปิ้ล " เป็นเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของวอเตอร์เมเปิลอิงค์
บทที่ 4
โบราณและพีชคณิตสมัยใหม่
t เขาแน่นอน โซลูชั่นของ P olynomial E quations
ในบทนี้เราหันความสนใจของเราที่จะแน่นอนคำตอบของสมการพหุนาม .
ชาวบาบิโลนใช้ตารางค่าของ n
3
n เพื่อหาผลเฉลยเชิงตัวเลขสมการลูกบาศก์ง่าย
,อย่างไรก็ตาม ชาวกรีกรอบเวลาของยุคลิดกลายเป็นหมกมุ่นกับ
อย่างถูกต้อง ส่วนใหญ่เนื่องจากการเด่นอิทธิพลขององค์ประกอบของยูคลิดมี
สนใจอย่างมากแน่นอน โซลูชั่น ถึงหลักฐานโดย Abel ของกาลัวและเป็นไปไม่ได้
เช่นโซลูชั่นทั่วไป ในไม่กี่ส่วนแรกของบทนี้เราจะตรวจสอบบางส่วนของ
ประวัติแน่นอน โซลูชั่นภาพรวมที่ดีของประวัติศาสตร์นี้จะรวมอยู่ใน B . l รถตู้พยาบาล เดอ waerden ประวัติของพีชคณิต .
4.1 แก้ไขสมการกําลังสอง
ถึงแม้ว่ายูคลิด ในการรักษาด้วยปรัชญาของเวลาที่เขาปฏิเสธตัวเลขทั้งหมด
เขาทางอ้อมพิจารณาสมการ . เขารุ่นของผลเฉลยของสมการกําลังสอง ax
x
2
= b
2
:
เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิตถ้าเส้นตรงเป็นเส้นตรงเป็นเปอร์เซ็นต์และเพิ่มให้มันเป็นเส้นตรง
, สี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ โดยทั้งหมด ( เป็นเส้นตรง ) และ
เพิ่มเส้นตรงพร้อมกับตารางในครึ่งเท่ากับ
ตารางบนเส้นตรงที่สร้างขึ้นจากครึ่งปีและเพิ่ม เส้นตรง
หลักนี้เป็นจบตาราง