Another early problem was determini

Another early problem was determining the arc length of an arch of the cycloid. This was
solved in 1658 by the famous British architect and mathematician, Sir Christopher Wren.
He showed that the arc length of one arch of the cycloid is exactly eight times the radius of
the generating circle. [For a solution to this problem using Formula (9), see Exercise 71.]
The cycloid is also important historically because it provides the solution to two famous
mathematical problems—the brachistochrone problem (from Greek words meaning
“shortest time”) and the tautochrone problem (from Greek words meaning “equal time”).
The brachistochrone problem is to determine the shape of a wire along which a bead might
P slide from a point P to another point Q, not directly below, in the shortest time. The tau-
Q
Figure 10.1.16
tochrone problem is to find the shape of a wire from P to Q such that two beads started at
any points on the wire between P and Q reach Q in the same amount of time. The solution
to both problems turns out to be an inverted cycloid (Figure 10.1.16).
In June of 1696, Johann Bernoulli posed the brachistochrone problem in the form of a
challenge to other mathematicians. At first, one might conjecture that the wire should form
a straight line, since that shape results in the shortest distance from P to Q. However, the
inverted cycloid allows the bead to fall more rapidly at first, building up sufficient speed
to reach Q in the shortest time, even though it travels a longer distance. The problem
was solved by Newton, Leibniz, and L’Hôpital, as well as by Johann Bernoulli and his
older brother Jakob; it was formulated and solved incorrectly years earlier by Galileo, who
thought the answer was a circular arc. In fact, Johann was so impressed with his brother
Jakob’s solution that he claimed it to be his own. (This was just one of many disputes about
the cycloid that eventually led to the curve being known as the “apple of discord.”) One
solution of the brachistochrone problem leads to the differential equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหาก่อนอื่นถูกกำหนดความยาวของส่วนโค้งของส่วนโค้งของไซคลอยด์ นี้แก้ไขใน 1658 โดยสถาปนิกชาวอังกฤษที่มีชื่อเสียงและนักคณิตศาสตร์ เซอร์คริสโตเฟอร์เรนเขาพบว่า ความยาวส่วนโค้งของซุ้มหนึ่งของไซคลอยด์เป็นแปดเท่ารัศมีของสร้างวงกลม [สำหรับการแก้ไขปัญหานี้โดยใช้สูตร (9), ดูกาย 71]ไซคลอยด์ความสำคัญประวัติเนื่องจากมีโซลูชั่นที่สองที่มีชื่อเสียงปัญหาทางคณิตศาสตร์คือปัญหา brachistochrone (จากคำภาษากรีกหมายถึง"เวลาอันสั้น") และปัญหา tautochrone (จากคำภาษากรีกหมายถึง "เวลาเท่า")ปัญหา brachistochrone คือการ กำหนดรูปร่างของลวดตามแนวที่สายอาจP เลื่อนจาก P จุดไปอีกจุด Q ไม่ต่อ ในเวลาอันสั้น เต่า-Qรูป 10.1.16tochrone ปัญหาคือการ หารูปร่างของลวดจาก P ไป Q เช่นว่าลูกปัดทั้งสองเริ่มต้นที่จุดใด ๆ ในเส้นลวดระหว่าง P และ Q ถึง Q ในระยะเวลาเดียวกัน การแก้ปัญหาปัญหาทั้งสองถึงเปิดออกจะ มีไซคลอยด์กลับหัว (รูป 10.1.16)ในเดือน 1696 มิถุนายน โยฮันน์ Bernoulli เกิดปัญหา brachistochrone ในรูปแบบของการท้าทายการ mathematicians อื่น ๆ ครั้งแรก หนึ่งอาจนึกได้ว่า ควรเป็นสายเส้นตรง เนื่องจากรูปร่างที่ผลในระยะทางที่สั้นที่สุดจาก P ไป Q อย่างไรก็ตาม การไซคลอยด์ที่กลับทำให้ลูกปัดตกรวดเร็วยิ่งขึ้นในตอนแรก อาคารเร็วเพียงพอto reach Q in the shortest time, even though it travels a longer distance. The problemwas solved by Newton, Leibniz, and L’Hôpital, as well as by Johann Bernoulli and hisolder brother Jakob; it was formulated and solved incorrectly years earlier by Galileo, whothought the answer was a circular arc. In fact, Johann was so impressed with his brotherJakob’s solution that he claimed it to be his own. (This was just one of many disputes aboutthe cycloid that eventually led to the curve being known as the “apple of discord.”) Onesolution of the brachistochrone problem leads to the differential equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหาที่เกิดขึ้นในช่วงต้นของการกำหนดอีกยาวส่วนโค้งของซุ้มประตูของ cycloid ได้อีกด้วย นี้ได้รับการแก้ไขใน 1658 โดยสถาปนิกที่มีชื่อเสียงของอังกฤษและคณิตศาสตร์เซอร์คริสโตเฟอร์เรน. เขาพบว่ายาวส่วนโค้งของหนึ่งในโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงแปดครั้งรัศมีของวงกลมที่สร้าง [สำหรับวิธีการแก้ปัญหานี้โดยใช้สูตร (9) ให้ดูที่การออกกำลังกาย 71] cycloid ยังเป็นสิ่งสำคัญในอดีตเพราะมีวิธีการที่มีชื่อเสียงสองปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ปัญหาbrachistochrone (จากคำภาษากรีกหมายถึง"เวลาอันสั้น") และ ปัญหา tautochrone (จากคำภาษากรีกหมายถึง "เวลาที่เท่าเทียมกัน"). ปัญหา brachistochrone คือการกำหนดรูปทรงของสายตามที่ลูกปัดอาจสไลด์P จากจุด P Q เพื่อจุดอื่นไม่ตรงด้านล่างในเวลาที่สั้นที่สุด tau- Q รูปที่ 10.1.16 ปัญหา tochrone คือการหารูปร่างของเส้นลวดจาก P เพื่อ Q ดังกล่าวว่าทั้งสองเม็ดที่เริ่มจุดใดๆ บนลวดระหว่าง p และ q เข้าถึง Q ในปริมาณที่เท่ากันของเวลา วิธีการแก้ปัญหาในการแก้ไขปัญหาทั้งสองจะออกมาเป็นวงกลมคว่ำ (รูปที่ 10.1.16.) ในเดือนมิถุนายน 1696, ฮัน Bernoulli เกิดปัญหา brachistochrone ในรูปแบบของการท้าทายที่จะคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ตอนแรกหนึ่งอาจคาดเดาว่าลวดควรเป็นเส้นตรงตั้งแต่ที่ผลรูปทรงในระยะทางที่สั้นที่สุดจาก P เพื่อ Q. อย่างไรก็ตาม cycloid คว่ำช่วยลูกปัดจะลดลงมากขึ้นอย่างรวดเร็วในตอนแรกสร้างขึ้นความเร็วเพียงพอที่จะไปถึงคิวในเวลาที่สั้นแม้ว่ามันจะเดินทางเป็นระยะทางอีกต่อไป ปัญหาที่เกิดขึ้นได้รับการแก้ไขโดยนิวตันไลบ์นิซและ L'Hôpital, เช่นเดียวกับฮัน Bernoulli ของเขาและพี่ชายของจาคอบ; มันเป็นสูตรที่ไม่ถูกต้องและแก้ไขปีก่อนโดยกาลิเลโอที่คิดว่าคำตอบเป็นวงกลม ในความเป็นจริงก็คือโยฮันน์ประทับใจให้กับพี่ชายของเขาวิธีการแก้ปัญหาของจาคอบที่เขาอ้างว่ามันจะเป็นของเขาเอง (นี่เป็นเพียงหนึ่งในข้อพิพาทมากมายเกี่ยวกับวงกลมที่ในที่สุดนำไปสู่โค้งที่ถูกเรียกว่า "แอปเปิ้ลของความขัดแย้ง.") หนึ่งในทางออกของปัญหาbrachistochrone นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อีกปัญหาคือการกำหนดก่อนโค้งความยาวของโค้งของเคมนิทซ์ . นี้คือ
แก้ไขใน 1658 โดยมีชื่อเสียงสถาปนิกและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เซอร์คริสโตเฟอร์ เร็น
เขาพบว่า ความยาวของส่วนโค้งของไซคลอยด์หนึ่งโค้งตรงแปดเท่ารัศมี
สร้างวงกลม [ สำหรับการแก้ไขปัญหานี้ ใช้สูตร ( 9 ) , ดูแบบฝึกหัด ]
71ในเคมนิทซ์ก็สำคัญในอดีตเพราะมีโซลูชั่นที่มีชื่อเสียง 2
คณิตศาสตร์ปัญหาปัญหา ( จากกรีกคำความหมายบราคิสโทโครน
" เวลาสั้น " ) และปัญหาเทาโทโครเนอ ( จากคำภาษากรีกหมายถึง " เวลา " เท่ากัน )
บราคิสโทโครนปัญหาคือการตรวจสอบรูปร่างของเส้นลวดที่เป็นลูกปัดอาจ
พร้อม p เลื่อนจากจุด P ไปยังอีกจุด Q ,ไม่ตรงด้านล่าง ในเวลาที่สั้นที่สุด ส่วนเตา -
q

รูป 10.1.16 tochrone ปัญหาคือการหารูปร่างของเส้นลวดจาก p ไป q เช่นสองเม็ดเริ่มที่จุดใด ๆ บนลวด
ระหว่าง P และ Q ถึง Q ในจำนวนเดียวกันของเวลา โซลูชั่น
ทั้งปัญหาจะออกมาเป็นแบบไซคลอยด์ ( รูป 10.1.16 )
1412 ในเดือนมิถุนายน ,โยฮันน์แบร์นูลลีจึงบราคิสโทโครนปัญหาในรูปแบบของ
ท้าทายนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ ตอนแรกหนึ่งอาจคาดเดาว่าสายควรฟอร์ม
เส้นตรง เนื่องจากรูปร่างที่ผลลัพธ์ในระยะทางที่สั้นจาก P Q . อย่างไรก็ตาม ,
คว่ำเคมนิทซ์ให้ลูกแก้วตกอย่างรวดเร็วมากขึ้นในตอนแรก สร้างขึ้นเพียงพอความเร็ว
ถึงคิวในเวลาที่สั้นที่สุดแม้ว่าการเดินทางระยะทางยาว ปัญหา
ก็แก้ไขได้โดยไลบ์นิซ และนิวตัน l'h เป็นการ . . . พยาบาลเป็นอย่างดีโดยโยฮันน์แบร์นูลลีและ
พี่เจคอป ; มันเป็นยุทธศาสตร์ และการแก้ไข ] ปีก่อนหน้านี้ โดยกาลิเลโอที่
คิดว่าคำตอบ arc วงกลม ในความเป็นจริง , โยฮันน์ ประทับใจมากกับพี่ชาย
ของเขาเจคอปด้วยโซลูชั่นที่เขาอ้างว่ามันเป็นของตัวเอง( นี่เป็นเพียงหนึ่งในหลายข้อพิพาทเกี่ยวกับ
เคมนิทซ์ที่ในที่สุดนำไปสู่เส้นโค้งที่ถูกเรียกว่า " แอปเปิ้ลแห่งความขัดแย้ง " )
ทางออกของบราคิสโทโครนปัญหานำไปสู่สมการ